Δ集合環のソースを表示

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[[数学]]における '''δ-集合環'''（デルタしゅうごうかん、{{lang-en-short|''δ-ring [of sets]''}}）は[[完全加法族| σ-集合代数]]（σ-加法族）の定義を少し一般化するもので、δ-集合環をもとにして[[測度論]]を定式化することもできる（σ-加法族を用いて定式化するのがふつう）。δ-集合環で定式化すると、[[測度]]無限大の部分集合を導入することが避けられるという意味で有意である。

== 定義と例 ==
; 定義 : ''X'' 上の '''&delta;-集合環'''とは、''X'' 上の[[集合環]]で[[可算]][[共通部分 (数学)|交叉]]に関して閉じているものを言う<ref>{{Ouvrage|titre=Measure Theory|auteur=Vladimir Bogachev|éditeur=Springer|année=2007|isbn=978-3-540-34513-8}}, p. 8</ref>。

* 任意の[[σ集合環| &sigma;-集合環]]は &delta;-集合環である<ref>{{Ouvrage|titre=Beginning functional analysis|auteur=Karen Saxe|éditeur=Springer|année=2002|isbn=9780387952246}}, exercice 3.2.1, p. 69</ref>。このことは、関係式<div style="margin: 1ex 2em"><math>
  \bigcap_{i=1}^{+\infty} A_i=A_1\smallsetminus\bigcup_{i=2}^{+\infty}(A_1\smallsetminus A_i)</math></div>からわかる。従って、[[σ集合環|&sigma;-集合環]]の項で挙げられた全ての例（およびより強く任意の σ-集合代数）が、そのまま &delta;-集合環の例になる。
* &delta;-集合環だが &sigma;-集合環にならないものが存在する。その単純な例は、無限集合 ''X'' に対して、''X'' の有限部分集合全体の成す族によって与えられる。
* この例はもっと一般の例の集まりの中の特別の場合であるが、任意の[[測度空間]] <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> に対し、σ-加法族 <math>\mathcal{A}</math> の元で測度有限なるもの全体の成す族は &delta;-集合環になる。

== 測度論との関係 ==
[[集合環]] <math>\mathcal{R}</math> 上で定義された測度を、<math>\mathcal{R}</math> が生成する[[完全加法族| σ-加法族]]にまで延長することを述べた古典的な[[カラテオドリの拡張定理]]の示すところによれば、この構成で得られる測度は[[有限測度]]ではなく、測度無限大の部分集合を考慮せねばならないということになる。σ-有限な測度から構成を始めるならば、別な拡張法もある。これは <math>\mathcal{A}</math> によって生成される（σ-集合代数ではなく）&delta;-集合環を与える拡張定理として述べることができる。この状況では測度の定義に値として +&infin; を導入することが許される<ref>Bogacev, ''op. cit.'', p. 24-25. この方法論に基づく測度論の解説は {{Ouvrage|titre=Measure And Integral|auteur=John L. Kelley et T. P. Srinivasan|éditeur=Springer|année=1987|isbn=9780387966335}}.</ref>。

集合 ''X'' 上の &delta;-集合環 <math>\mathcal{D}</math> が与えられたとき、''X'' の部分集合 ''A'' が<math>\mathcal{D}</math> に関して'''局所可測''' {{lang|en|(locally measurable)}} であるとは、
: <math>\mathcal{D}</math> の任意の元 ''E'' に対し <math>E\cap A\in\mathcal{D}</math>
となることを言う。<math>\mathcal{D}</math> に関する局所可測部分集合全体の成す族は σ-加法族である。<math>\mathcal{D}</math> 上の有限測度 &mu; が与えられたとき、<math>\mathcal{D}</math> に関する局所可測集合 ''A'' に対して
: <math>\mu(A)=\sup\{\mu(B)\mid B\in \mathcal{D}\text{ and }B\subset A\}</math>
と定めることにより、&mu; を <math>\mathcal{D}</math> に関する局所可測集合全体の成す σ-加法族上の測度に延長することができる<ref>Kelley et Srinivasan, ''op. cit.'', p. 91-92</ref>。

== 参考文献 ==
<references />

{{DEFAULTSORT:Dてるたしゆうこうかん}}

[[Category:集合族]]
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]