Ε均衡のソースを表示

{{小文字}}
[[ゲーム理論]]において '''ε 均衡''' (イプシロンきんこう，epsilon-equilibrium) または'''近似ナッシュ均衡''' (near-Nash equilibrium) とは，[[ナッシュ均衡]]の条件を近似的にみたすような[[戦略#ゲーム理論における戦略|戦略]]プロファイルのことである．

== 定義 ==
ゲームと非負の実数 ε とを所与として，戦略プロファイルが ε 均衡であるとは，どのプレーヤーにとっても，自分の戦略からの単独での逸脱によって，期待利得を ε より大きく改善することができないことをいう．任意の[[ナッシュ均衡]]は，ε = 0 の場合の ε 均衡に等しい．

形式的に書こう．''N'' 人のプレーヤーがいて，各プレーヤーの行動集合が <math>A_i</math>, 効用関数が ''u'' であるようなゲームを <math>G = (N, A = A_1 \times \cdots \times A_N, u: A \to \reals^N)</math> とする．戦略の組 <math>\sigma \in \Delta = \Delta_1 \times \cdots \times \Delta_N</math> が ''G'' の ε 均衡であるとは，
: <math>u_i (\sigma) \geq u_i (\sigma_i', \sigma_{-i}) - \varepsilon \; \mbox{for all} \; \sigma_i' \in \Delta_i, i \in N</math>
であるときをいう．

== 例 ==
ε 均衡の概念は，無限に継続する可能性のある[[確率ゲーム]]の理論において重要である．[[ナッシュ均衡]]が存在しないが，0 より厳密に大きい任意の ε について ε 均衡が存在するような，簡単な確率ゲームの例がある．

おそらくもっとも簡単な例は，[[ヒュー・エヴェレット3世|エヴェレット]]により提案された，次のような[[マッチングペニー]]の変種だろう．プレーヤー 1 はペニー硬貨を隠し，プレーヤー 2 はそれが表か裏かを推測する．プレーヤー 2 が正しく当てたならば，プレーヤー 1 からペニーをもらってゲームが終了する．プレーヤー 2 が，表と推測して外したならば，両プレーヤーの利得を 0 としてゲームが終了する．プレーヤー 2 が裏と推測して外したならば，ゲームは'''繰りかえす'''．もしゲームが永久に続くならば，両プレーヤーの利得は 0 になる．

パラメータ ε > 0 を所与として，プレーヤー 2 が，(ゲームのステージによらず，それ以前のステージとも独立に) 表を確率 ε, 裏を確率 1 &minus; ε と推測するような任意の戦略プロファイルは，このゲームの ε 均衡になる．このような戦略プロファイルにおけるプレーヤー 2の 期待利得は少なくとも 1 &minus; ε になる．しかし，ちょうど 1 の期待利得を保証するようなプレーヤー 2 の戦略は存在しないことが簡単にわかる．したがって，このゲームは[[ナッシュ均衡]]をもたない．

べつの簡単な例として，''T'' 期間の有限回[[繰り返しゲーム|繰りかえし]][[囚人のジレンマ]]を考え，利得は ''T'' 期間の平均で与えられるものとしよう．このゲームの唯一の[[ナッシュ均衡]]は，各期において裏切りを選ぶというものである．ここで，2 つの戦略，[[しっぺ返し戦略]]と[[トリガー戦略|グリムトリガー]]を考えよう．しっぺ返しもグリムトリガーもこのゲームのナッシュ均衡にならないが，どちらもある正なる ε について ε 均衡になる．ε の許容される値は，ステージゲーム利得と繰りかえしの期間数 ''T'' に依存する．

[[経済学]]において，[[純粋戦略]] ε 均衡の概念は，[[混合戦略]]によるアプローチが現実的でないとみなされるときに使われている．純粋戦略 ε 均衡においては，各プレーヤーは，最適な純粋戦略から ε 以内だけ離れた純粋戦略を選択する．例として，{{仮リンク|ベルトラン・エッジワースモデル|en|Bertrand–Edgeworth model}}においては，純粋戦略均衡は存在しないが，純粋戦略 ε 均衡は存在しうる．

== 参考文献==
*Dixon, H [http://ideas.repec.org/a/bla/restud/v54y1987i1p47-62.html Approximate Bertrand Equilibrium in a Replicated Industry], Review of Economic Studies, 54 (1987), pages 47-62.
*H. Everett. "Recursive Games". In H.W. Kuhn and A.W. Tucker, editors.  ''Contributions to the theory of games'', vol. III, volume 39 of ''Annals of Mathematical Studies''. Princeton University Press, 1957.
* {{Citation | last2=Shoham | first2=Yoav | last1=Leyton-Brown | first1=Kevin | title=Essentials of Game Theory: A Concise, Multidisciplinary Introduction  | publisher=Morgan & Claypool Publishers | isbn=978-1-59829-593-1 | url=http://www.gtessentials.org | year=2008 | location=San Rafael, CA}}. An 88-page mathematical introduction; see Section 3.7. [http://www.morganclaypool.com/doi/abs/10.2200/S00108ED1V01Y200802AIM003 Free online] at many universities.
*R. Radner. ''Collusive behavior in non-cooperative epsilon equilibria of oligopolies with long but finite lives'', Journal of Economic Theory, '''22''', 121-157, 1980.
* {{Citation | last1=Shoham | first1=Yoav | last2=Leyton-Brown | first2=Kevin | title=Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-89943-7 | url=http://www.masfoundations.org | year=2009 | location=New York}}. A comprehensive reference from a computational perspective; see Section 3.4.7. [http://www.masfoundations.org/download.html Downloadable free online]. 
*S.H. Tijs. ''Nash equilibria for noncooperative n-person games in normal form'', Siam Review, '''23''', 225-237, 1981.

{{ゲーム理論}}
{{DEFAULTSORT:いふしろんきんこう}}
[[Category:ゲーム理論]]
[[Category:数学に関する記事]]