いとこ素数のソースを表示

'''いとこ素数'''（いとこそすう、英:cousin primes）は、差が {{math|4}} である[[素数]]の組である。1000以下のいとこ素数は次の通りである。（[[オンライン整数列大辞典]]の数列{{OEIS2C|id=A023200}}、{{OEIS2C|id=A046132}}）
:{{math|(3, 7)}}, {{math|(7, 11)}}, {{math|(13, 17)}}, {{math|(19, 23)}}, {{math|(37, 41)}}, {{math|(43, 47)}}, {{math|(67, 71)}}, {{math|(79, 83)}}, {{math|(97, 101)}}, {{math|(103, 107)}}, {{math|(109, 113)}}, {{math|(127, 131)}}, {{math|(163, 167)}}, {{math|(193, 197)}}, {{math|(223, 227)}}, {{math|(229, 233)}}, {{math|(277, 281)}}, {{math|(307, 311)}}, {{math|(313, 317)}}, {{math|(349, 353)}}, {{math|(379, 383)}}, {{math|(397, 401)}}, {{math|(439, 443)}}, {{math|(457, 461)}}, {{math|(463, 467)}}, {{math|(487, 491)}}, {{math|(499, 503)}}, {{math|(613, 617)}}, {{math|(643, 647)}}, {{math|(673, 677)}}, {{math|(739, 743)}}, {{math|(757, 761)}}, {{math|(769, 773)}}, {{math|(823, 827)}}, {{math|(853, 857)}}, {{math|(859, 863)}}, {{math|(877, 881)}}, {{math|(883, 887)}}, {{math|(907, 911)}}, {{math|(937, 941)}}, {{math|(967, 971)}}

2組のいとこ素数に属するのは7だけである。(n, n+4, n+8)は、どれかひとつは必ず3で割り切れてしまうため、3者とも素数であるのはn=3の場合のみである。

いとこ素数は無数に存在すると予想されている。2009年5月現在知られている最大のいとこ素数は、それを {{math|(''p'', ''p'' + 4)}} とすると {{mvar|p}} は
:{{math|''p'' {{=}} (311778476 × 587502 × 9001# × (587502 × 9001# + 1) + 210) × (587502 × 9001# &minus; 1) / 35 + 1}}
で与えられる<ref>{{cite mailing list
|url = http://tech.groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/20235
|title = 11594 digit cousin prime pair
|date = 2009-05-08
|accessdate = 2009-05-09
|mailinglist = primenumbers
|last = Davis
|first = Ken
|authorlink =
}}</ref>。ここで {{math|9001#}} は[[素数階乗]]である。この11,594桁の数は Ken Davis により発見された。

現在知られている最大の[[素数判定#確率的素数判定法|確率的素数]]によるいとこ素数は、
:{{math|474435381 × 2{{sup|98394}} &minus; 1}}
:{{math|474435381 × 2{{sup|98394}} &minus; 5}} 
である。この29,629桁の数は Angel, Jobling, Augustin により発見された。[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=60270] 1つ目の数は素数であることが証明された一方で、2つ目の数が素数であるか否かを容易に決定する素数判定法は存在しない。

[[:en:Twin prime#First Hardy–Littlewood conjecture|ハーディ・リトルウッドの最初の予想]]からすると、いとこ素数は[[双子素数]]と同じく漸近の密度をもっているということになる。初項 {{math|(3, 7)}} を除いて、いとこ素数の逆数和を、双子素数における[[ブルン定数]]と同様に定義することができる。
:<math>B_4 =\left( \frac{1}{7} +\frac{1}{11} \right) +\left( \frac{1}{13} +\frac{1}{17} \right) +\left( \frac{1}{19} +\frac{1}{23} \right) +\cdots.</math>
{{math|2{{sup|42}}}} までのいとこ素数を使用し, [[1996年]]に Marek Wolf が {{math|''B''{{sub|4}}}} の値を概算した。
:{{math|''B''{{sub|4}} ≈ 1.1970449}}<ref>Marek Wolf, [http://www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/twins_ps.ps ''On the Twin and Cousin Primes''] ([[PostScript]] file).</ref>
{{math|''B''{{sub|4}}}} は [[四つ子素数]]の逆数和（[[ブルン定数]]）で用いられることがあり、混同に注意が必要である。

== 参考文献 ==
<references/>

== 関連事項 ==
*[[双子素数]]（素数の差が {{math|2}}）
*[[セクシー素数]]（素数の差が {{math|6}}）

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|urlname=CousinPrimes|title=Cousin Primes}}（2010年9月26日閲覧）

{{素数の分類}}
{{DEFAULTSORT:いとこそすう}}
[[Category:素数]]
[[Category:数学に関する記事]]