ねじれ群のソースを表示

[[群論]]における'''捩れ群'''（ねじれぐん、{{lang-en-short|''torsion group''}}）または'''周期群'''（しゅうきぐん、{{lang-en-short|''periodic group''}}）はその各元が[[位数 (群論)|有限位数]]を持つ[[群 (数学)|群]]を言う。

任意の有限群は周期的である。なお、周期群と[[巡回群]]とは違うものである。

; 定義<ref>{{PlanetMath|urlname=Exponent|title=exponent}}</ref>: ねじれ群 {{mvar|G}} に対して、そのすべての元の位数の[[最小公倍数]]を（存在すれば）{{mvar|G}} の'''冪数'''<ref>{{citation|和書|last=山﨑|first=圭次郎|title=環と加群 I|series=[[岩波講座 基礎数学]]|publisher=岩波書店|year=1976}}</ref>{{rp|126}} (''exponent'') と呼ぶ。
任意の[[有限群]]は冪数を持ち、それは {{mvar|G}} の位数 {{math|{{abs|''G''}}}} の約数である。

有限群とねじれ群の間の関係性を扱う{{仮リンク|バーンサイド問題|en|Burnside's problem|preserve=1}}は、{{mvar|G}} が[[有限生成群]]とだけ仮定する場合には、古典的な問題である。それは冪数を特定することが有限性を導くかを問うもの（そして一般には答えは「否」）である。
 
無限ねじれ群の例として、有限体上の多項式環の加法群や、有理数の加法群を整数の加法群で割った商およびそれらの直和因子、[[プリューファー群]]などが挙げられる。他にも、[[二面体群]]すべての合併などもそうである。以上の例は有限生成でなく、また任意の有限生成ねじれ[[線型群]]は有限群になる。有限生成無限周期群の陽な例は、{{harvtxt|Golod|1964}} が{{ill2|イゴール・シャファレヴィッチ|en|Igor Shafarevich|label=シャファレヴィッチ}}と共同で構成した（{{ill2|ゴロド&ndash;シャファレヴィッチの定理|en|Golod–Shafarevich theorem}}を参照）。あるいはまた {{harvtxt|Aleshin|1972}} と {{harvs|txt|last=Grigorchuk|year1=1980|year2=1984}} が[[オートマトン]]を用いて構成した。

== 数理論理学 ==
ねじれ群の興味深い性質の一つは、それが[[一階述語論理]]で定式化できないことである。これは偏に、定義に必要となる <math display="block">\forall x.\, ((x=e) \lor (x\circ x=e) \lor ((x\circ x)\circ x=e) \lor \cdots)</math> なる形の公理が無限個の[[選言]]を含むため、一階論理では許容されないことによる。公理系が無限集合となることを許してこの無限選言を回避することは不可能である（[[コンパクト性定理]]から、ねじれ群を特徴付けることのできる一階論理式の集合は存在しないことが導かれる<ref>{{cite book|last1=Ebbinghaus|first1=H.-D.|last2=Flum|first2=J.|last3=Thomas|first3=W.|title=Mathematical logic|year=1994|publisher=Springer|location=New York [u.a.]|isbn=978-0-387-94258-2|pages=50|url=http://www.springer.com/mathematics/book/978-0-387-94258-2|edition=2. ed., 4. pr.|accessdate=18 July 2012|quote=However, in first-order logic we may not form infinitely long disjunctions. Indeed, we shall later show that there is no set of first-order formulas whose models are precisely the periodic groups.}}</ref>）。

ねじれ群を特徴付ける一階論理の公理系 <math>T</math> が存在したと仮定する。新しい定数記号 <math>c</math> を言語に追加する。そして、全ての正整数 <math>n</math> に対して「<math>c</math> の次数が <math>n</math> 以上である」という意味の論理式 <math>\varphi_n \colon c\neq e \wedge c^2\neq e\wedge \cdots \wedge c^{n-1}\neq e</math> を <math>T</math> に追加する。こうして得られる公理系を <math>T'</math> としよう。すると <math>T'</math> のどの有限部分集合もモデルを持つ。なぜなら、<math>\varphi_n</math> の形の論理式は有限個しか含まれないので、十分大きな位数 <math>n</math> の有限巡回群 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> において <math>c</math> を <math>\bar{1}</math> と解釈すればよいからである。コンパクト性定理より <math>T'</math> はモデル <math>G</math> を持つ。<math>G</math> はねじれ群であるにもかかわらず無限位数の元 <math>c^G</math> を含む。これは矛盾である。

上記の証明は、定数記号を追加すれば、「ねじれなし元を含む群」（つまりねじれ群でない群）が一階論理で（無限）公理化可能であることも示している。また、ねじれなし群は一階論理で（無限）公理化可能である。なぜなら、群の公理系に <math>\psi_n\colon \forall x.(x^n = e \to x = e)\ (n=1,2,3,\ldots)</math> という無限個の論理式を添加した公理系を考えれば、そのモデルはちょうどねじれなし群となるからである。

== 関連する概念 ==
[[アーベル群]] {{mvar|A}} の[[ねじれ部分群]]は {{mvar|A}} の位数有限な元全体の成す部分群である。{{ill2|ねじれアーベル群|en|torsion abelian group}}は任意の元が有限位数を持つアーベル群で、{{ill2|ねじれのないアーベル群|en|torsion-free abelian group}}は単位元を除く全ての元が無限位数を持つアーベル群を言う。

== 関連項目 ==
* [[捩れ (代数学)]]
* {{ill2|ジョルダン&ndash;シューアの定理|en|Jordan–Schur theorem}}

== 注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation|first= Evgeny. S. |last= Golod | author-link= イヴゲニー・ゴロド | title= On nil-algebras and finitely approximable p-groups | journal= Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. |volume= 28 |pages= 273–276 | year= 1964|language= Russian|ref=harv}}.
* {{citation|first= S. V. | last= Aleshin | title= Finite automata and the Burnside problem for periodic groups | language= Russian | journal= Mat. Zametki | volume= 11 |year= 1972 | pages= 319&ndash;328|ref=harv}}.
* {{citation|first= R. I. | last= Grigorchuk | title= On Burnside's problem on periodic groups | journal= Functional Anal. Appl | volume= 14 | year= 1980 | issue= no. 1 | pages=41–43|language= Russian|ref=harv}}.
* {{citation| first= R. I. | last= Grigorchuk | title= Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means | journal= Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. | volume=48 | issue=5 | year=1984 | pages= 939–985 | language= Russian|ref=harv}}

== 外部リンク ==
* {{Nlab|urlname=torsion+group|title=torsion group}}
* {{PlanetMath|urlname=PeriodicGroup|title=periodic group}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Torsion|title=Definition:Torsion}}
* {{SpringerEOM|urlname=Torsion_group|title=Torsion group}}

{{abstract-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:ねしれくん}}
[[Category:群の性質]]
[[Category:数学に関する記事]]