ひずみのソースを表示

{{Otheruseslist|[[材料工学]]の歪み|化学におけるひずみ|ひずみ (化学)|[[HARUHI]]のシングル曲|ひずみ (曲)|その他の歪み|歪み}}
{{出典の明記|date=2011年8月}}
{{連続体力学}}
'''ひずみ'''（{{lang-en-short|Strain}}）は、[[連続体力学]]における[[物体]]の[[変形]]状態を表す尺度であり、物体の基準（初期）状態の単位長さあたりに物体内の物質点がどれだけ[[変位]]するかを示す<ref>{{cite|和書 |author=渋谷寿一|author2=本間寛臣 |title=現代材料力学 |publisher=朝倉書店 |year=1986 |isbn=4-254-23051-6 |page=6}}</ref>。

==概要==
物体の一般的な変形は、変形後の物質点の位置'''''x''''' が基準位置'''''X''''' の関数であるとして'''''x''''' = '''''F''''' ('''''X''''' ) で表される。この変形に対して、例えば、ひずみは以下のように定義される。
:<math>
   \boldsymbol{\varepsilon} \doteq \cfrac{\partial}{\partial\boldsymbol{X}}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{X}\right)
     = \cfrac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{X}} - \boldsymbol{1}
</math>
したがって、ひずみは[[無次元量|無次元]]の物理量である。ひずみは、変形がどの程度与えられたかを表している<ref>{{cite book
 |last         = Lubliner
 |first        = Jacob
 |title        = Plasticity Theory (Revised Edition)
 |publisher    = Dover Publications
 |year         = 2008
 |url          = http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
 |isbn         = 0-486-46290-0
 |archiveurl   = https://web.archive.org/web/20100331022415/http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf
 |archivedate  = 2010年3月31日
 |deadlinkdate = 2018年3月
}}</ref>。

ひずみは[[応力]]と同様に、垂直成分とせん断成分に分解することができる。物体において、部材軸方向に沿った変形を表すのが'''垂直ひずみ'''、部材軸と垂直な方向の変形を表すのが'''せん断ひずみ'''である<ref name=rees>{{Cite book
| last = Rees|first = David
| title = Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications
| publisher = Butterworth-Heinemann
| year = 2006
| url = https://books.google.ca/books?id=4KWbmn_1hcYC&hl=en
| isbn = 0-7506-8025-3}}</ref> 。

物体の長さが増加している場合、垂直ひずみは引張ひずみと呼ばれるが、逆に減少している場合、圧縮ひずみと呼ばれる。

==定義==
ひずみの大きさに応じて、変形の解析は3つの理論に分類される。
; 微小ひずみ理論（小ひずみ理論、小変形理論、小変位理論、小変位勾配理論）
: ひずみと回転の両方が小さい場合において適用される。この場合、物体の変形前と変形後の状態が同じであるとみなすことができる。これは、コンクリートや銅のように[[弾性]]挙動を示す材料において用いられる。
; 有限ひずみ理論（大ひずみ理論、大変形理論）
: 任意の大きさの回転とひずみの両方による変形において適用される。この場合、[[連続体]]の変形前と変形後の状態が大きく異なっており、それらを明確に区別する必要がある。また、変位とひずみの関係は非線形となる。これは一般に、[[エラストマー]]や[[塑性]]変形材料、その他[[流体]]、生体[[軟組織]]などにおいて用いられる。
; 大変位理論、大回転理論
: ひずみは小さいが、回転と変位が大きい場合において適用される。

それぞれの理論において、ひずみの定義が異なっている。'''工学ひずみ'''は微小変形の場合に用いられ、機械工学や構造力学などで利用される材料に適用されている最も一般的な定義である。一方、エラストマーや[[ポリマー]]など、工学ひずみが1%を超えるような<ref>{{Cite book
| last = Rees|first = David
| title = Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications
| publisher = Butterworth-Heinemann
| year = 2006|page=41
| url = https://books.google.ca/books?id=4KWbmn_1hcYC&hl=en
| isbn = 0-7506-8025-3}}</ref>大きな変形を条件とする材料においては、'''ストレッチ'''や'''対数ひずみ'''、'''グリーンひずみ'''、'''アルマンジひずみ'''といった、より複雑なひずみの定義が必要となる。

===微小ひずみ理論===
====垂直ひずみ====
[[File:2D geometric strain.svg|class=skin-invert-image|400px|right|thumb|2次元微小矩形材料要素の変形]]
[[フックの法則]]に従う等方性材料は、[[垂直応力]]により垂直ひずみが生じる。

面積が ''dx'' &times; ''dy'' の2次元微小矩形材料要素を考える。これは変形後にひし形になる。図より、
:<math>   \mathrm{length}(AB) = dx, \, </math>
:<math>\begin{align}
\mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\
&= dx~\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2} \\
\end{align}\,\!</math>
[[変位勾配]]が微小であることを仮定すると、導関数の2乗の項は無視できる。
:<math>  \mathrm{length}(ab)\approx dx +\frac{\partial u_x}{\partial x}dx </math>
矩形要素のx軸方向垂直ひずみは、以下の式で定義される。
:<math>
  \varepsilon_x = \frac{\text{extension}}{\text{original length}} = \frac{\mathrm{length}(ab)-\mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)}
     = \frac{\partial u_x}{\partial x}
 </math>
同様に、y軸方向、z軸方向の垂直ひずみは、以下のようになる。
:<math>\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y}  , \quad  \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}\,\!</math>

====せん断ひずみ====
{{物理量
| 英語 = Shear strain
| 次元 = 1
| unit = [[dimensionless quantity|1]], or [[radian]]
| 記号 = γ, ϵ
| derivations = γ = [[Shear stress|τ]] / [[Shear modulus|G]]
}}

せん断ひずみは、 <math>\overline {AC}\,\!</math> と  <math>\overline {AB}\,\!</math> の間の角度の変化である。
図より、以下の式を得る。
:<math>  \gamma_{xy}= \alpha + \beta\,\! </math>
:<math>
  \begin{align}
    \tan \alpha & =\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}} \\
    \tan \beta & =\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}}
  \end{align}
</math>
変位勾配が小さいと仮定すると、以下のようになる。
:<math>   \cfrac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~;~~ \cfrac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1 </math>
さらに回転も小さいとすると、&alpha;と&beta;が 1 より非常に小さいので、
<math>\tan \alpha \approx \alpha,~\tan \beta \approx \beta\,\!</math> となる。
:<math>
   \alpha \approx \cfrac{\partial u_y}{\partial x} ~;~~ \beta \approx \cfrac{\partial u_x}{\partial y}
 </math>
:<math>\gamma_{xy}= \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}\,\!</math>

''x'' , ''y'' , ''u''<sub>x</sub> , ''u''<sub>y</sub> の交換によって、&gamma;<sub>xy</sub> = &gamma;<sub>yx</sub> が示される。同様に、yz平面、zx平面について、次式が得られる。
:<math>\gamma_{yz}=\gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y}, \quad
\gamma_{zx}=\gamma_{xz}= \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\,\!</math>

微小ひずみテンソルのせん断ひずみ成分は、次のように記述できる。
:<math>\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
   \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
   \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\
  \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \gamma_{xy}/2 & \gamma_{xz}/2 \\
   \gamma_{yx}/2 & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz}/2 \\
   \gamma_{zx}/2 & \gamma_{zy}/2 & \varepsilon_{zz} \\
  \end{matrix}\right]\,\!</math>

===工学ひずみ===
工学ひずみ、またはコーシーひずみは、荷重を加えたことによる物体の初期状態に対する総変形の比として表現される。部材軸方向荷重による工学垂直ひずみ''e'' は、物体の初期状態における長さ''L'' に対する、長さの変化量として記述される。垂直ひずみは、引張荷重の場合は正となり、圧縮荷重の場合は負となる。
:<math>\ e=\frac{\Delta L}{L}=\frac{\ell -L}{L}</math>
ここで<math>\ \ell </math> は変形後の物体の長さである。

===ストレッチ===
ストレッチ、または延伸比は、特異線要素における垂直ひずみの測度であり、線要素の変形後の長さ <math>\ \ell </math> と変形前の長さ''L'' の比で定義される。
:<math>\ \lambda=\frac{\ell}{L}</math>
ストレッチは、次式によって工学ひずみと関連づけられる。
:<math>\ e=\frac{\ell-L}{L}=\lambda-1</math>
ストレッチ&lambda; = 1 の時、垂直ひずみ''e'' = 0 になり、変形は生じない。

ストレッチは、3から4のストレッチを与えても降伏しないエラストマーのように、大きな変形を示す材料の解析に用いられる。一方、コンクリートや鋼などは、低いストレッチで降伏する。

===対数ひずみ===
対数ひずみは、自然ひずみ、真ひずみ、ヘンキーひずみとも呼ばれる。以下のひずみ増分を考える。
: <math>\ \delta \varepsilon=\frac{\delta \ell}{\ell}</math>
対数ひずみは、このひずみ増分を積分することによって得られる。
:<math>\ \begin{align}
\int\delta \varepsilon &=\int_{L}^{\ell}\frac{\delta \ell}{\ell}\\
\varepsilon&=\ln\left(\frac{\ell}{L}\right)=\ln \lambda \\
&=\ln(1+e) \\
&=e-e^2/2+e^3/3- \cdots \\
\end{align}</math>
ここで ''e'' は工学ひずみである。対数ひずみは、ひずみ経路の影響を考慮して、増分変形の連続で生じた最終的なひずみを表す<ref name=rees/>。

===有限ひずみ理論===
;グリーンひずみ
:グリーンひずみ、またはグリーン・ラグランジュひずみは、基準長さに対する変形の度合いを表し、以下のように定義される。
::<math>\ \varepsilon_G=\frac{1}{2}\left(\frac{\ell^2-L^2}{L^2}\right)=\frac{1}{2}(\lambda^2-1)</math>
;アルマンジひずみ
:アルマンジひずみ、またはオイラー・アルマンジひずみは、変形後の長さに対する変形の度合いを表し、以下のように定義される。
::<math>\ \varepsilon_E=\frac{1}{2}\left(\frac{\ell^2-L^2}{\ell^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\lambda^2}\right)</math>

3次元におけるこれらのひずみの定義は[[変形勾配]]を参照のこと。

== 地震におけるひずみ ==
[[岩盤]]（[[プレート]]）が変形すること、またはその大きさをひずみという。地下の岩盤の一部においてもプレート運動の影響で応力が発生しており、これによりひずみが蓄積されて岩盤の[[耐力]]の限界に達すると、[[地震]]が発生する。

== 適合条件式 ==
ひずみテンソルは2階の対称テンソルであるため自由度が6であるが、元々の変数である変位の自由度は3であるから、ひずみ成分の間にはある関係が存在する。この関係式を'''適合条件式'''（{{en|equation of compatibility}}）という<ref>{{cite|和書 |author=野田直剛 |author2=谷川義信 |author3=須見尚文 |author4=辻知章 |title=基礎弾性力学 |publisher=日新出版 |edition=8 |year=1999 |isbn=4-8173-0146-5 |page=5}}</ref>。
:<math>\begin{align}
& 2\frac{\partial^2\epsilon_{12}}{\partial x_1\partial x_2} - \frac{\partial^2\epsilon_{11}}{\partial x_2^2} - \frac{\partial^2\epsilon_{22}}{\partial x_1^2} = 0 \\
& 2\frac{\partial^2\epsilon_{23}}{\partial x_1\partial x_2} - \frac{\partial^2\epsilon_{22}}{\partial x_3^2} - \frac{\partial^2\epsilon_{33}}{\partial x_2^2} = 0 \\
& 2\frac{\partial^2\epsilon_{31}}{\partial x_1\partial x_2} - \frac{\partial^2\epsilon_{33}}{\partial x_1^2} - \frac{\partial^2\epsilon_{11}}{\partial x_3^2} = 0 \\

& \frac{\partial}{\partial x_1}\left(- \frac{\partial\epsilon_{23}}{\partial x_1} + \frac{\partial\epsilon_{31}}{\partial x_2} + \frac{\partial\epsilon_{12}}{\partial x_3}\right) - \frac{\partial^2\epsilon_{11}}{\partial x_2\partial x_3} = 0 \\
& \frac{\partial}{\partial x_2}\left( \frac{\partial\epsilon_{23}}{\partial x_1} - \frac{\partial\epsilon_{31}}{\partial x_2} + \frac{\partial\epsilon_{12}}{\partial x_3}\right) - \frac{\partial^2\epsilon_{22}}{\partial x_3\partial x_1} = 0 \\
& \frac{\partial}{\partial x_3}\left( \frac{\partial\epsilon_{23}}{\partial x_1} + \frac{\partial\epsilon_{31}}{\partial x_2} - \frac{\partial\epsilon_{12}}{\partial x_3}\right) - \frac{\partial^2\epsilon_{33}}{\partial x_1\partial x_2} = 0
\end{align}</math>
あるいはまとめて
:<math>\epsilon_{ij,kl}+\epsilon_{kl,ij}-\epsilon_{jk,li}-\epsilon_{li,jk}=0 \quad(i,j,k,l=1,2,3)</math>
とも表記される。

ひずみが適合条件式を満たし、変位場'''''u''''' が変位規定境界&part;''R<sub>u</sub>'' における境界条件
:<math>\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}^a,\quad \text{at}\; \partial R_u</math>
を満たすとき、その変位場'''''u''''' を'''運動学的に許容な場'''という<ref>{{cite|和書 |author=渋谷陽二 |title=塑性の物理 |publisher=森北出版 |year=2011 |isbn=978-4-627-66761-7 |page=33}}</ref>。

==出典==
{{Reflist}}

==参考文献== 
*{{cite book
| last = Dill|first = Ellis Harold
| title =Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity
| publisher = CRC Press
| year = 2006
| location = Germany
| url = https://books.google.co.jp/books?id=Nn4kztfbR3AC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-8493-9779-0}}
*{{cite book
| last = Hutter|first = Kolumban
| coauthors = Klaus Jöhnk
| title = Continuum Methods of Physical Modeling
| publisher = Springer
| year = 2004
| location = Germany
| url = https://books.google.ca/books?id=B-dxx724YD4C&hl=en
| isbn = 3-540-20619-1}}
*{{cite book
| last = Lubarda
| first = Vlado A.
| title = Elastoplasticity Theory
| publisher = CRC Press
| year = 2001
| url = https://books.google.ca/books?id=1P0LybL4oAgC&hl=en
| isbn = 0-8493-1138-1}}
*{{cite book
| last = Macosko
| first = C. W.
| authorlink =
| coauthors =
| title = Rheology: principles, measurement and applications
| publisher = VCH Publishers
| year = 1994
| isbn = 1-56081-579-5}}
*{{cite book
| last = Mase
| first = George E.
| title = Continuum Mechanics
| publisher = McGraw-Hill Professional
| year = 1970
| url = https://books.google.co.jp/books?id=bAdg6yxC0xUC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-07-040663-4}}
*{{cite book
| last = Mase
| first = G. Thomas
| coauthors = George E. Mase
| title = Continuum Mechanics for Engineers
| publisher = CRC Press
| year = 1999
|edition= Second
| url = https://books.google.co.jp/books?id=uI1ll0A8B_UC&redir_esc=y&hl=ja
| isbn = 0-8493-1855-6}}
*{{cite book
| last = Nemat-Nasser
| first = Sia
| title = Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials
| publisher = Cambridge University Press
| year = 2006
| location = Cambridge
| url = https://books.google.ca/books?id=5nO78Rt0BtMC&hl=en
| isbn = 0-521-83979-3}}

== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|}} -->
* [[ひずみエネルギー]]
* [[フックの法則]]、[[応力]]、[[ヤング率]]、[[ポアソン比]]
* [[降伏 (物理)|降伏]]、[[塑性]]、[[耐力]]、[[加工硬化]] 
* [[ひずみゲージ]]
* [[スプリット・ホプキンソン圧力棒法]]
* [[平面ひずみ状態]]
* [[弾性曲線方程式]]

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{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ひすみ}}
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[[Category:連続体力学]]
[[Category:無次元数]]
[[Category:変形]]

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[[pl:Odkształcenie]]