アイゼンシュタイン級数のソースを表示

{{要改訳}}
{{distinguish|{{仮リンク|アイゼンシュタイン和|en|Eisenstein sum}} }}
:本記事は'''正則'''アイゼンシュタイン級数について記述している。非正則な場合は[[実解析的アイゼンシュタイン級数]]を参照。

'''アイゼンシュタイン級数'''(Eisenstein series)は、ドイツの数学者[[フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン|ゴットホルト・アイゼンシュタイン]](Gotthold Eisenstein)にちなみ、直接書き下すことができる[[無限級数]]展開を持つ特別な[[モジュラ形式]]である。元来は[[モジュラ群]]に対して定義されていたアイゼンシュタイン級数は、[[保型形式]]の理論へ一般化することができる。
<!---{{distinguish|Eisenstein sum}}
:''This article describes '''holomorphic''' Eisenstein series; for the non-holomorphic case see [[real analytic Eisenstein series]]''

'''Eisenstein series''', named after [[Germany|German]] [[mathematician]] [[Gotthold Eisenstein]], are particular [[modular form]]s with [[infinite series]] expansions that may be written down directly. Originally defined for the [[modular group]], Eisenstein series can be generalized in the theory of [[automorphic form]]s.-->

==モジュラ群のアイゼンシュタイン級数==
[[Image:Gee_three_real.jpeg|thumb|[[単位円板]]上の q の函数としての G<sub>6</sub> の実部]]
[[Image:Gee_three_imag.jpeg|thumb|[[単位円板]]上の q の函数としての G<sub>6</sub> の虚部]]

τ を虚部が 正となる[[複素数]]とする。k ≥ 2 を整数としたとき、ウェイト 2k の'''正則アイゼンシュタイン級数'''(holomorphic Eisenstein series) G<sub>2k</sub>(τ) を
:<math>G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n)\in\mathbf{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}</math>
と定義する。

この級数は、[[上半平面]]で τ の正則函数へ[[絶対収束]]し、下記に与える級数のフーリエ展開は、 τ = i∞ へ正則函数として拡張されることを示している。アイゼンシュタイン級数が[[モジュラ形式]]であることは注目すべき事実である。実際、キーとなる性質は、級数の SL(2, '''Z''')-不変性である。明らかに、a, b, c, d ∈ '''Z''' で ad − bc = 1 であれば、
:<math>G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)</math>
となり、従って、G<sub>2k</sub> はウェイト 2k のモジュラ形式である。k ≥ 2 であるという前提は重要で、そうでないと非合理的に和の順番を変更したり、 SL(2, '''Z''')-不変性が保てなくなる。事実、ウェイト 2 の非自明なモジュラ形式は存在しない。にもかかわらず、正則アイゼンシュタイン級数の類似物が k = 1 に対して、{{仮リンク|準モジュラ形式|en|quasimodular form}}(quasimodular form)でしかないが、定義することが可能ではある。
<!---==Eisenstein series for the modular group==
[[Image:Gee_three_real.jpeg|thumb|The real part of ''G''<sub>6</sub> as a function of ''q'' on the [[unit disk]].]]
[[Image:Gee_three_imag.jpeg|thumb|The imaginary part of ''G''<sub>6</sub> as a function of ''q'' on the unit disk.]]

Let τ be a [[complex number]] with strictly positive [[imaginary part]]. Define the '''holomorphic Eisenstein series''' ''G''<sub>2''k''</sub>(τ) of weight 2''k'', where ''k'' ≥ 2 is an integer, by the following series:

:<math>G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n)\in\mathbf{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.</math>

This series [[absolute convergence|absolutely converges]] to a holomorphic function of τ in the [[upper half-plane]] and its Fourier expansion given below shows that it extends to a holomorphic function at τ = i∞. It is a remarkable fact that the Eisenstein series is a [[modular form]]. Indeed, the key property is its SL(2, '''Z''')-invariance. Explicitly if ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ∈ '''Z''' and ''ad''−''bc'' = 1 then

:<math>G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)</math>

and ''G''<sub>2''k''</sub> is therefore a modular form of weight 2''k''. Note that it is important to assume that ''k'' ≥ 2, otherwise it would be illegitimate to change the order of summation, and the SL(2, '''Z''')-invariance would not hold. In fact, there are no nontrivial modular forms of weight 2. Nevertheless, an analogue of the holomorphic Eisenstein series can be defined even for ''k'' = 1, although it would only be a [[quasimodular form]].-->

==モジュラ不変量との関係==
[[楕円曲線]]の[[j-不変量|モジュラ不変量]] g<sub>2</sub> と g<sub>3</sub> は、アイゼンシュタイン級数の最初の 2 つの項で、次のように与えられる。
:<math>g_2 = 60 G_4</math>
:<math>g_3 = 140 G_6</math>
<!-- モジュラ不変量は、これらの 2つの[[テータ関数|テータ函数]]での表現をもたらす。-->
これら２つの函数は[[テータ関数|テータ函数]]によって表すこともできる。
<!---==Relation to modular invariants==
The [[Elliptic modular function|modularnvariants]] ''g''<sub>2</sub> and ''g''<sub>3</sub> of an [liptic curve]] are given by the first two terms of the Eisein series as

:<math>g_2 = 60 G_4</math>
:<math>g_3 = 140 G_6</math>

The article on modular invariants provides expressions for these two functions in terms of [[theta function]]s.-->

==漸化式==
モジュラ群のどのモジュラ形式も、G<sub>4</sub> と G<sub>6</sub> の多項式として書き表すことができる。特に、高次オーダーの G<sub>2k</sub> は[[漸化式]]を通して、G<sub>4</sub> と G<sub>6</sub> の項として書くことができる。d<sub>k</sub> =(2k+3)k!G<sub>2k+4</sub> とすると、全ての n ≥ 0 に対し、d<sub>k</sub> は関係式
:<math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}</math> 
を満たす。ここに、<math>{n \choose k}</math> は[[二項係数]]であり、<math>d_0=3G_4</math> であり、<math>d_1=5G_6</math> である。

d<sub>k</sub> は、[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数]]
:<math>\wp(z) =\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!} =\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}</math>
の級数展開で発生する。
<!---==Recurrence relation==
Any holomorphic modular form for the modular group can be written as a polynomial in ''G''<sub>4</sub> and ''G''<sub>6</sub>. Specifically, the higher order ''G''<sub>2''k''</sub>'s can be written in terms of ''G''<sub>4</sub> and ''G''<sub>6</sub> through a [[recurrence relation]].  Let ''d<sub>k</sub>'' =(2''k''+3)''k''!''G''<sub>2''k''+4</sub>. Then the ''d<sub>k</sub>'' satisfy the relation

:<math>\sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}</math>

for all ''n'' ≥ 0. Here, <math>{n \choose k}</math> is the [[binomial coefficient]] and <math>d_0=3G_4</math> and <math>d_1=5G_6</math>.

The ''d''<sub>''k''</sub> occur in the series expansion for the [[Weierstrass's elliptic functions]]:

:<math>\wp(z) =\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!} =\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}.</math>-->

==フーリエ級数==
[[Image:Eisenstein_4.jpg|right|thumb|G_4]]
[[Image:Eisenstein_6.jpg|right|thumb|G_6]]
[[Image:Eisenstein_8.jpg|right|thumb|G_8]]
[[Image:Eisenstein_10.jpg|right|thumb|G_10]]
[[Image:Eisenstein_12.jpg|right|thumb|G_12]]
[[Image:Eisenstein_14.jpg|right|thumb|G_14]]

<math>q=e^{2\pi i\tau}</math> と定義する。（古い書籍では、q を[[ノーム (数学)|ノーム]](nome) <math>q=e^{i\pi\tau}</math> として定義してあるものもあるが、現在では <math>q=e^{2\pi i\tau}</math> が数論では標準的である。）するとアイゼンシュタイン級数の[[フーリエ級数]]は、
:<math>G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)</math>
であり、ここに[[フーリエ級数#定義|フーリエ係数]] c<sub>2k</sub> は、
:<math>c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}.</math>
で与えられる。

ここに、B<sub>n</sub> は[[ベルヌーイ数]]であり、ζ(z) は[[リーマンゼータ函数]]であり、σ<sub>p</sub>(n) は[[約数関数|約数函数]]で、n の約数の p 乗の和である。特に、
:<math>\begin{align}
G_4(\tau)&=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right] \\
G_6(\tau)&=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]. 
\end{align}</math>
を得る。
<!---==Fourier series==
[[Image:Eisenstein_4.jpg|right|thumb|G_4]]
[[Image:Eisenstein_6.jpg|right|thumb|G_6]]
[[Image:Eisenstein_8.jpg|right|thumb|G_8]]
[[Image:Eisenstein_10.jpg|right|thumb|G_10]]
[[Image:Eisenstein_12.jpg|right|thumb|G_12]]
[[Image:Eisenstein_14.jpg|right|thumb|G_14]]

Define <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>. (Some older books define ''q'' to be the [[nome (mathematics)|nome]] <math>q=e^{i\pi\tau}</math>, but <math>q=e^{2\pi i\tau}</math> is now standard in number theory.) Then the [[Fourier series]] of the Eisenstein series is

:<math>G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)</math>

where the [[Fourier coefficient]]s ''c''<sub>2''k''</sub> are given by

:<math>c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}.</math>

Here, ''B''<sub>''n''</sub> are the [[Bernoulli number]]s, ζ(''z'') is [[Riemann's zeta function]] and σ<sub>''p''</sub>(''n'') is the [[divisor function|divisor sum function]], the sum of the ''p''<sup>th</sup> powers of the divisors of ''n''. In particular, one has

:<math>\begin{align}
G_4(\tau)&=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right] \\
G_6(\tau)&=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]. 
\end{align}</math>-->

n を渡る和の部分は、{{仮リンク|ランベルト級数|en|Lambert series}}(Lambert series)として表すことができる。すなわち、任意の[[複素数]] |q| ≤ 1 と a に対して、
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}</math>
を得る。アイゼンシュタイン級数の[[モジュラ形式#q-展開|q-展開]](q-expansion)を考えると、別な表し方である。
:<math>E_{2k}(\tau)=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2k-1} q^n}{1-q^n} = 1 - \frac{4k}{B_{2k}} \sum_{d,n \geq 1} n^{2k-1} q^{n d}  </math>
が良くつかわれる。
<!---The summation over ''q'' can be resummed as a [[Lambert series]]; that is, one has

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}</math>

for arbitrary [[complex number|complex]] |''q''| ≤ 1 and ''a''. When working with the [[q-expansion]] of the Eisenstein series, the alternate notation

:<math>E_{2k}(\tau)=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2k-1} q^n}{1-q^n} = 1 - \frac{4k}{B_{2k}} \sum_{d,n \geq 1} n^{2k-1} q^{n d}  </math>

is frequently introduced.-->

== アイゼンシュタイン級数を意味する等式 ==

=== テータ函数として ===

<math>q=e^{2\pi i \tau}</math>とし、
:<math>E_4(\tau)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}</math>
:<math>E_6(\tau)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}</math>
:<math>E_8(\tau)=1+480\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}</math>
として、
:<math>a=\theta_{2}(0; e^{\pi i\tau})=\vartheta_{10}(0; \tau)</math>
:<math>b=\theta_{3}(0; e^{\pi i\tau})=\vartheta_{00}(0; \tau)</math>
:<math>c=\theta_{4}(0; e^{\pi i\tau})=\vartheta_{01}(0; \tau)</math>
と定義する。ここに <math>\theta_{m}</math> and <math>\vartheta_{n}</math> は[[:en:Theta function#Auxiliary functions|ヤコビのテータ函数]](Jacobi theta functions)の代わる記法である。すると、
:<math>E_4(\tau)=\tfrac{1}{2}(a^8+b^8+c^8)</math>
:<math>E_6(\tau)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\frac{(a^8+b^8+c^8)^3-54(abc)^8}{2}}</math>
となる。<math>E_4^2 = E_8</math> と <math>a^4-b^4+c^4 = 0</math> であるので、これは、
:<math>E_8(\tau)=\tfrac{1}{2}(a^{16}+b^{16}+c^{16})</math>
を意味する。
<!---== Identities involving Eisenstein series ==

=== As Theta functions ===

Given <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>, let,

:<math>E_4(\tau)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}</math>

:<math>E_6(\tau)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}</math>

:<math>E_8(\tau)=1+480\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}</math>

and define,

:<math>a=\theta_{2}(0; e^{\pi i\tau})=\vartheta_{10}(0; \tau)</math>

:<math>b=\theta_{3}(0; e^{\pi i\tau})=\vartheta_{00}(0; \tau)</math>

:<math>c=\theta_{4}(0; e^{\pi i\tau})=\vartheta_{01}(0; \tau)</math>

where <math>\theta_{m}</math> and <math>\vartheta_{n}</math> are alternative notations for the [[Theta_function#Auxiliary_functions|Jacobi theta functions]]. Then,

:<math>E_4(\tau)=\tfrac{1}{2}(a^8+b^8+c^8)</math>

:<math>E_6(\tau)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\frac{(a^8+b^8+c^8)^3-54(abc)^8}{2}}</math>

Since <math>E_4^2 = E_8</math> and <math>a^4-b^4+c^4 = 0</math>, this implies,

:<math>E_8(\tau)=\tfrac{1}{2}(a^{16}+b^{16}+c^{16})</math>-->

=== アイゼンシュタイン級数の積 ===

アイゼンシュタイン級数は、全モジュラ群 SL(2, '''Z''') の[[モジュラ形式]]の最も明白な例である。ウェイト 2k のモジュラ形式の空間は、2k = 4, 6, 8, 10, 14 に対しては次元１となるため、これらのウェイトを持つようなアイゼンシュタイン級数の積が複数あるとき、それらは互いに定数倍となる。このようにして、等式
:<math>E_4^2 = E_8, \quad E_4 E_6 = E_{10}, \quad E_4 E_{10} = E_{14}, \quad E_6 E_8 = E_{14}</math>
を得る。上で与えられたアイゼンシュタイン級数の q-展開を使い、約数のべき和を意味する等式
:<math>(1+240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^n)^2 = 1+480\sum_{n=1}^\infty \sigma_7(n) q^n,</math> 
に言い換えられる。

よって、

:<math>\sigma_7(n)=\sigma_3(n)+120\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\sigma_3(n-m),</math>
が成り立ち、他も同様に成り立つ。さらに興味深いことには、8 次元偶数モジュラ格子 Γ の[[テータ函数]]は、全モジュラ群に対し、ウェイト 4 のモジュラ形式である。このことは、{{仮リンク|E8格子|label=タイプ E<sub>8</sub> のルート格子|en|E8 lattice}}(E8 lattice)の長さ<math>\sqrt{2n}</math> のベクトルの数 r<sub>Γ</sub>(n) ついて、等式
:<math> \theta_{\Gamma}(\tau)=1+\sum_{n=1}^\infty r_{\Gamma}(2n) q^{n} = E_4(\tau), \quad r_{\Gamma}(n) = 240\sigma_3(n) </math>
をもたらす。
<!---=== Products of Eisenstein series ===

Eisenstein series form the most explicit examples of [[modular form]]s for the full modular group SL(2, '''Z'''). Since the space of modular forms of weight 2''k'' has dimension 1 for 2''k'' = 4, 6, 8, 10, 14, different products of Eisenstein series having those weights have to be proportional. Thus we obtain the identities:

:<math>E_4^2 = E_8, \quad E_4 E_6 = E_{10}, \quad E_4 E_{10} = E_{14}, \quad E_6 E_8 = E_{14}. </math>

Using the ''q''-expansions of the Eisenstein series given above, they may be restated as identities involving the sums of powers of divisors:

:<math>(1+240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^n)^2 = 1+480\sum_{n=1}^\infty \sigma_7(n) q^n,</math>

hence

:<math>\sigma_7(n)=\sigma_3(n)+120\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\sigma_3(n-m),</math>

and similarly for the others. Perhaps, even more interestingly, the [[theta function]] of an eight-dimensional even unimodular lattice Γ  is a modular form of weight 4 for the full modular group, which gives the following identities:

:<math> \theta_{\Gamma}(\tau)=1+\sum_{n=1}^\infty r_{\Gamma}(2n) q^{n} = E_4(\tau), \quad r_{\Gamma}(n) = 240\sigma_3(n) </math>

for the number ''r''<sub>Γ</sub>(''n'') of vectors of the squared length ''2n'' in the  [[E8 lattice|root lattice of the type E<sub>8</sub>]].-->

{{仮リンク|ディレクレ指標|en|Dirichlet character}}(Dirichlet character)でツイストされた正則アイゼンシュタイン級数に対する同様のテクニックは、正の整数nに対しn を2、4、もしくは8個の平方数の和として表す方法の数の、nの因子を用いた公式をもたらす。

上記の漸化式を使い、全ての高次の E<sub>2k</sub> は E<sub>4</sub> と E<sub>6</sub> の多項式で表現することができる。例えば、
:<math>\begin{align}
E_{8} &=   E_4^2 \\
E_{10} &=  E_4\cdot E_6 \\
691 \cdot E_{12} &=  441\cdot E_4^3+    250\cdot E_6^2 \\
E_{14} &= E_4^2\cdot E_6 \\
3617\cdot E_{16} &=  1617\cdot E_4^4+   2000\cdot E_4  \cdot E_6^2 \\
43867 \cdot E_{18} &= 38367\cdot E_4^3\cdot E_6+5500\cdot E_6^3 \\
174611 \cdot E_{20} &= 53361\cdot E_4^5+ 121250\cdot E_4^2\cdot E_6^2 \\
77683 \cdot E_{22} &= 57183\cdot E_4^4\cdot E_6+20500\cdot E_4\cdot E_6^3 \\
236364091 \cdot E_{24} &= 49679091\cdot E_4^6+ 176400000\cdot E_4^3\cdot E_6^2 + 10285000\cdot E_6^4
\end{align}.</math>

アイゼンシュタイン級数の積の間の多くの関係は、[[ハンケル行列|ハンケルの判別式]](Hankel determinants)、つまり、ガーヴァンの等式(Garvan's identity)を使い、エレガントな方法で、
: <math> \Delta^2=-\frac{691}{1728^2\cdot250}\det \begin{vmatrix}E_4&E_6&E_8\\ E_6&E_8&E_{10}\\ E_8&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}</math>
と表すことができる。ここに
:<math> \Delta=\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}</math> 
は[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数#モジュラー判別式|モジュラ判別式]]である。<ref>{{cite|last=Milne|first=Steven C.|year=2000|url=http://arxiv.org/pdf/math/0009130v3.pdf|title=Hankel Determinants of Eisenstein Series}}</ref>
<!---Similar techniques involving holomorphic Eisenstein series twisted by a [[Dirichlet character]] produce formulas for the number of representations of a positive integer ''n'' as a sum of two, four, or eight squares in terms of the divisors of ''n''.

Using the above recurrence relation, all higher ''E''<sub>2''k''</sub> can be expressed as polynomials in ''E''<sub>4</sub> and ''E''<sub>6</sub>. For example:

:<math>\begin{align}
E_{8} &=   E_4^2 \\
E_{10} &=  E_4\cdot E_6 \\
691 \cdot E_{12} &=  441\cdot E_4^3+    250\cdot E_6^2 \\
E_{14} &= E_4^2\cdot E_6 \\
3617\cdot E_{16} &=  1617\cdot E_4^4+   2000\cdot E_4  \cdot E_6^2 \\
43867 \cdot E_{18} &= 38367\cdot E_4^3\cdot E_6+5500\cdot E_6^3 \\
174611 \cdot E_{20} &= 53361\cdot E_4^5+ 121250\cdot E_4^2\cdot E_6^2 \\
77683 \cdot E_{22} &= 57183\cdot E_4^4\cdot E_6+20500\cdot E_4\cdot E_6^3 \\
236364091 \cdot E_{24} &= 49679091\cdot E_4^6+ 176400000\cdot E_4^3\cdot E_6^2 + 10285000\cdot E_6^4
\end{align}</math>

Many relationships between products of Eisenstein series can be written in an elegant way using [[Hankel matrix|Hankel determinants]], e.g. Garvan's identity

: <math> \Delta^2=-\frac{691}{1728^2\cdot250}\det \begin{vmatrix}E_4&E_6&E_8\\ E_6&E_8&E_{10}\\ E_8&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}</math>

where

:<math> \Delta=\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}</math>

is the [[modular discriminant]].<ref>{{cite|last=Milne|first=Steven C.|year=2000|url=http://arxiv.org/pdf/math/0009130v3.pdf|title=Hankel Determinants of Eisenstein Series}}</ref>-->

=== ラマヌジャンの恒等式 ===
[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]](Ramanujan)は、最初のいくつかのアイゼンシュタイン級数の微分を含む興味深い関係式を導いた。
:<math>L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n}=E_2(\tau)</math>
:<math>M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}=E_4(\tau)</math>
:<math>N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}=E_6(\tau),</math>
とすると、
:<math>q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}</math>
:<math>q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}</math>
:<math>q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}</math>
が成り立つ。

これらの恒等式は、級数の間の恒等式のように、[[約数関数|約数函数]]の[[畳み込み]]の等式をもたらす。ラマヌジャンに従い、これらの等式を最も単純な形とするためには、0 を含む σ<sub>p</sub>(n) の領域を拡張する必要がある。そのため、

:<math>\sigma_p(0) = \frac12\zeta(-p).\;</math>&nbsp; &nbsp; つまり

::<math>\begin{align}
\sigma(0) &= -\frac{1}{24}\\
\sigma_3(0) &= \frac{1}{240}\\
\sigma_5(0) &= -\frac{1}{504}.
\end{align}</math>

と置く。すると、例えば、
:<math>\sum_{k=0}^n\sigma(k)\sigma(n-k)=\frac5{12}\sigma_3(n)-\frac12n\sigma(n)</math>  
となる。

L, M, N の函数の間の前述の関係式に直接関係しないこのタイプの他の等式は、[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]と{{仮リンク|ギウゼッペ・メルフィ|en|Giuseppe Melfi}}(Giuseppe Melfi)により証明された。例として、挙げると、
:<math> \sum_{k=0}^n\sigma_3(k)\sigma_3(n-k)=\frac1{120}\sigma_7(n)</math>
:<math> \sum_{k=0}^n\sigma(2k+1)\sigma_3(n-k)=\frac1{240}\sigma_5(2n+1)</math>
:<math> \sum_{k=0}^n\sigma(3k+1)\sigma(3n-3k+1)=\frac19\sigma_3(3n+2).</math>

約数函数に対する畳み込み等式の包括的なリストと関連するトピックは、以下を参照。
* [[S. Ramanujan]], ''On certain arithmetical functions'', pp 136-162, reprinted in ''Collected Papers'', (1962), Chelsea, New York.
* Heng Huat Chan and Yau Lin Ong, ''[http://www.ams.org/proc/1999-127-06/S0002-9939-99-04832-7/S0002-9939-99-04832-7.pdf  On Eisenstein Series]'', (1999) Proceedings of the Amer. Math. Soc. '''127'''(6) pp.1735-1744
* [[Giuseppe Melfi|G. Melfi]], ''On some modular identities'', in Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary. Walter de Grutyer and Co. (1998), 371-382.
<!---=== Ramanujan identities ===
[[Ramanujan]] gave several interesting identities between the first few Eisenstein series involving differentiation. Let

:<math>L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n}=E_2(\tau)</math>
:<math>M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}=E_4(\tau)</math>
:<math>N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}=E_6(\tau),</math>

then

:<math>q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}</math>
:<math>q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}</math>
:<math>q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}.</math>

These identities, like the identities between the series, yield arithmetical [[convolution]] identities involving the [[divisor function|sum-of-divisor function]]. Following Ramanujan, to put these identities in the simplest form it is necessary to extend the domain of σ<sub>''p''</sub>(''n'') to include zero, by setting

:<math>\sigma_p(0) = \frac12\zeta(-p).\;</math>&nbsp; &nbsp; E.g.:

::<math>\begin{align}
\sigma(0) &= -\frac{1}{24}\\
\sigma_3(0) &= \frac{1}{240}\\
\sigma_5(0) &= -\frac{1}{504}.
\end{align}</math>

Then, for example

:<math>\sum_{k=0}^n\sigma(k)\sigma(n-k)=\frac5{12}\sigma_3(n)-\frac12n\sigma(n).</math>

Other identities of this type, but not directly related to the preceding relations between ''L'', ''M'' and ''N'' functions, have been proved by [[Ramanujan]] and [[Giuseppe Melfi|Melfi]], as for example

:<math> \sum_{k=0}^n\sigma_3(k)\sigma_3(n-k)=\frac1{120}\sigma_7(n)</math>
:<math> \sum_{k=0}^n\sigma(2k+1)\sigma_3(n-k)=\frac1{240}\sigma_5(2n+1)</math>
:<math> \sum_{k=0}^n\sigma(3k+1)\sigma(3n-3k+1)=\frac19\sigma_3(3n+2).</math>

For a comprehensive list of convolution identities involving sum-of-divisors functions and related topics see
* [[S. Ramanujan]], ''On certain arithmetical functions'', pp 136-162, reprinted in ''Collected Papers'', (1962), Chelsea, New York.
* Heng Huat Chan and Yau Lin Ong, ''[http://www.ams.org/proc/1999-127-06/S0002-9939-99-04832-7/S0002-9939-99-04832-7.pdf  On Eisenstein Series]'', (1999) Proceedings of the Amer. Math. Soc. '''127'''(6) pp.1735-1744
* [[Giuseppe Melfi|G. Melfi]], ''On some modular identities'', in Number Theory, Diophantine, Computational and Algebraic Aspects: Proceedings of the International Conference held in Eger, Hungary. Walter de Grutyer and Co. (1998), 371-382.-->

==一般化==
[[保型形式]](Automorphic form)は、一般[[リー群]]のモジュラ形式の考え方を一般化し、アイゼンシュタイン級数を似たような形で一般化する。

''O<sub>K</sub>'' を[[総実体]] ''K'' の[[整数環]]とすると、PSL(2,O<sub>K</sub>) として{{仮リンク|ヒルベルト・ブレメンタールのモジュラ群|en|Hilbert-Blumenthal modular group}}(Hilbert-Blumenthal modular group)が定義される。従って、アイゼンシュタイン級数をヒルベルト・ブレメンタールのモジュラ群のすべての[[カスプ形式|カスプ]]に関連付けることができる。
<!---==Generalizations==
[[Automorphic form]]s generalize the idea of modular forms for general [[Lie group]]s; and Eisenstein series generalize in a similar fashion.

Defining ''O<sub>K</sub>'' to be the [[ring of integers]] of a [[totally real algebraic number field]] K, one then defines the [[Hilbert-Blumenthal modular group]] as PSL(2,''O<sub>K</sub>''). One can then associate an Eisenstein series to every [[cusp form|cusp]] of the Hilbert-Blumenthal modular group.-->

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== さらに進んだ文献 ==
* Naum Illyich Akhiezer, ''Elements of the Theory of Elliptic Functions'', (1970) Moscow, translated into English as ''AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79'' (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Tom M. Apostol, ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition'' (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
* [[Henryk Iwaniec]], ''Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition'', (2002) (Volume 53 in ''Graduate Studies in Mathematics''), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 ''(See chapter 3)''
* [[Jean-Pierre Serre|Serre, Jean-Pierre]], ''A course in arithmetic''. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.
* Goro Shimura: ''Euler Products and Eisenstein Series'', AMS (CBMS 93), ISBN 0-8218-0574-6 (1997).
{{デフォルトソート:あいせんしゆたいんきゆうすう}}
[[Category:級数]]
[[Category:モジュラー形式]]
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]