アイソスピンのソースを表示

{{フレーバー}}
'''アイソスピン'''（{{lang-en-short|isospin}}）は、[[ハドロン]]の持つ[[量子数]]の一つである。

[[クォークモデル]]の確立により、アイソスピンも[[クォーク]]へと拡張されている。

== 概要 ==
[[素粒子物理学]]において、アイソスピンは[[強い相互作用]]に関連する[[量子数]]である。

'''isospin'''（アイソスピン）という語は、'''isotopic spin'''（同位体のスピン）から由来するが、これは[[核子]]の数が異なる[[原子核]]を意味する'''isotope'''（[[同位体]]）と紛らわしい。<!--対照的に、アイソスピンの回転は核子の数を維持する。-->原子核物理学者は、'''isobaric spin'''（同重体のスピン）の言い回しを好む。この語は、実体をより正確に言い表している。

アイソスピン対称性は、[[バリオン]]および[[中間子]]の相互作用においてより広く見られる[[フレーバー対称性]]の部分集合である。アイソスピン対称性は、素粒子物理学において重要な概念を保持している。歴史的にこの対称性を詳細に吟味してきたことが、[[クォーク]]の発見および理解、また[[ヤン＝ミルズ理論]]の発展へと直接つながっている。

[[弱アイソスピン]]は、アイソスピンと類似しているが、混同してはならない。弱アイソスピンは、全ての世代における左巻き粒子のクォークと[[レプトン (素粒子)|レプトン]]二重項を結合する[[弱い相互作用]]の[[ゲージ対称性]]である。例えば、[[アップクォーク|アップ]]および[[ダウンクォーク]]、[[トップクォーク|トップ]]および[[ボトムクォーク]]、また[[電子]]および[[電子ニュートリノ]]の結合に関与する。反対に、（強）アイソスピンはアップおよびダウンクォークのみを結合する。これは、両方の[[カイラリティ]]（左巻きおよび右巻き）に作用し、大局的対称性である（ゲージ対称性ではない）。

== 詳細 ==
クォークが発見されるより以前、まだ[[陽子]]（p）や[[中性子]]（n）をはじめとするハドロンが内部構造を持たない素粒子であると考えられていた時代に、陽子や中性子のような[[質量]]などの性質が似ている粒子の一群は[[同種粒子]]が異なる量子状態をとっているものと考えたことから導入された量子数がアイソスピンである。

[[スピン角運動量|スピン]]との類推でこれをベクトルで表して、
{{Indent|
<math>\psi_\mathrm{nucl} = \begin{pmatrix}
 p \\ n \\
\end{pmatrix}
</math>
}}
となり、この[[核子]]の作る複素2次元[[ベクトル空間]]は'''アイソスピン空間'''と呼ばれる。
アイソスピン空間は普通の空間とは区別される'''内部空間'''の一つである。

アイソスピン空間における複素ベクトルの回転
{{Indent|
<math> \psi_\mathrm{nucl} \mapsto \psi_\mathrm{nucl}' = U \psi_\mathrm{nucl} </math>
}}
を考える。
U は<math>\det U = 1</math>を満たす2次の[[ユニタリ行列]]であり、変換 U の全体は[[群 (数学)|群]] [[特殊ユニタリ群|SU(2)]] をなす。

SU(2)の元は[[パウリ行列]]
{{Indent|
<math> \mathbf{\tau}^1 = \begin{pmatrix}
 0 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{pmatrix}
,~
\mathbf{\tau}^2 = \begin{pmatrix}
 0 & -i \\
 i & 0 \\
\end{pmatrix}
,~
\mathbf{\tau}^3 = \begin{pmatrix}
 1 & 0 \\
 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
</math>
}}
を用いて表すことができて、角度を<math>\vec{\omega}</math>とすると、
{{Indent|
<math> U = \exp(\vec{\omega}\cdot\vec{\tau}/2) </math>
}}
である。
ここで、<math>\vec{I} = \vec{\tau}/2</math>とすると、
<math>\vec{I}</math>は[[角運動量|角運動量代数]]
{{Indent|
<math>[I_x,I_y] = iI_z,~
[I_y,I_z] = iI_x,~
[I_z,I_x] = iI_y</math>
}}
を満たす。

<math>\vec{I}</math>を角運動量代数を満たす演算子として核子以外にも拡張したものがアイソスピン演算子である。
<math>\vec{I}^2</math> の[[固有値]]は <math>I(I+1)</math>となり、<math>I_z</math> の固有値は、<math>-I, -I+1, \ldots, I-1, I</math>となる。ここで[[量子数]] I は整数または半整数をとり、アイソスピンの大きさと呼ばれる。

核子のアイソスピンの大きさは I = 1/2 で、I<sub>z</sub> は、
{{Indent|
<math>I_z \psi_\mathrm{nucl} = \begin{pmatrix}
 +\tfrac{1}{2} & 0 \\
 0 & -\tfrac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 p \\ n \\
\end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
 +\tfrac{1}{2} \cdot p \\
 -\tfrac{1}{2} \cdot n \\
\end{pmatrix}</math>
}}
である。
核子以外では、例えば[[パイ中間子]]はアイソスピンの大きさは I = 1 で、I<sub>z</sub> は、
{{Indent|
<math>I_z \psi_\pi = \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \pi^+ \\ \pi^0 \\ \pi^- \\
\end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
 +1 \cdot \pi^+ \\
 0 \cdot \pi^0 \\
 -1 \cdot \pi^- \\
\end{pmatrix}</math>
}}
である。

実験により多数の新粒子が発見されていき、それらを分類、整理していく中で、[[クォークモデル]]が提唱された。
{{main|クォークモデル}}

クォークモデルによると、核子は[[アップクォーク]]（u）と[[ダウンクォーク]]（d）により構成される（陽子は2個のuと1個のd、中性子は1個のuと2個のd）。クォークu,dは核子p,nと同様のアイソスピン
{{Indent|
<math>q = \begin{pmatrix}
 u \\ d \\
\end{pmatrix}</math>
}}
{{Indent|
<math>I_z q = \begin{pmatrix}
 +\tfrac{1}{2} & 0 \\
 0 & -\tfrac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 u \\ d \\
\end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
 +\tfrac{1}{2} \cdot u \\
 -\tfrac{1}{2} \cdot d \\
\end{pmatrix}</math>
}}
を為し、核子のアイソスピンは3個のクォークのアイソスピンを合成したものとなる。
また、パイ中間子はクォークと反クォークにより構成され、そのアイソスピンはクォークと反クォークのアイソスピンを合成したものとなる。

<!--
== 脚注 ==
-->
== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=南部陽一郎、他|authorlink=南部陽一郎
|title=大学院素粒子物理1
|publisher=[[講談社]]
|year=1997
|isbn=4-06-153224-3
}}

== 関連項目 ==
* [[超電荷]]
* [[中野・西島・ゲルマンの法則]]
* [[弱アイソスピン]]
== 外部リンク ==
* [[Image:Queryensdf.jpg]] '''[http://www-nds.iaea.org/queryensdf Nuclear Structure and Decay Data - IAEA ]''' [[核種]]のアイソスピン

{{DEFAULTSORT:あいそすひん}}
[[Category:量子数]]
[[Category:素粒子物理学]]