アイヒラー・志村同型のソースを表示

{{distinguish|アイヒラー・志村の合同関係式}}
数学において、'''アイヒラーコホモロジー''' (Eichler cohomology) （また、'''放物型コホモロジー''' (parabolic cohomology) や'''カスプコホモロジー''' (cuspidal cohomology) とも呼ぶ）は、{{仮リンク|フックス群|en|Fuchsian group}} (Fuchsian group) のコホモロジー論であり、{{harvs|txt|last=Eichler|authorlink=Martin Eichler|year=1957}}により導入された。このコホモロジー論は、通常のコホモロジー群の中の{{仮リンク|コンパクト台を持つコホモロジー|en|cohomology with compact support}}(cohomology with compact support)の像に類似な群コホモロジーの変形である。'''アイヒラー・志村同型''' (Eichler–Shimura isomorphism) は、複体のコホモロジーとしてアイヒラーにより導入され、実コホモロジーに対し{{harvs|txt|last=Shimura|authorlink=Goro Shimura|year=1959}}で導入され、アイヒラーコホモロジー群とカスプ形式の空間の間の同型写像である。{{harv|Gunning|1961}}に述べてあるように、係数として実数でも複素数でも使うことができ、アイヒラーコホモロジーでも通常の群コホモロジーでも使うことができるので、アイヒラー・志村同型はいくつかの変形がある。実コホモロジーの代わりに、[[l-進コホモロジー]]を使うアイヒラー・志村同型もあり、そこではカスプ形式の係数とこれらの群上に作用する[[フロベニウス自己準同型|フロベニウス写像]]の固有値の間を関連付ける。このことを使い、{{harvtxt|Deligne|1971}}は、後に証明した[[ヴェイユ予想]]へ[[ラマヌジャン予想]]を帰着させた。
<!--{{distinguish|Eichler–Shimura relation}}
In [[mathematics]], '''Eichler cohomology''' (also called '''parabolic cohomology''' or '''cuspidal cohomology''') is a cohomology theory for [[Fuchsian group]]s, introduced by {{harvs|txt|last=Eichler|authorlink=Martin Eichler|year=1957}}, that is a variation of group cohomology analogous to the image of the [[cohomology with compact support]] in the ordinary cohomology group. The '''Eichler–Shimura isomorphism''', introduced by Eichler for complex cohomology and by {{harvs|txt|last=Shimura|authorlink=Goro Shimura|year=1959}} for real cohomology, is an isomorphism between an Eichler cohomology group and a space of cusp forms. There are several variations of the Eichler–Shimura isomorphism, because one can use either real or complex coefficients, and can also use either Eichler cohomology or ordinary group cohomology as in {{harv|Gunning|1961}}. There is also a variation of the Eichler–Shimura isomorphisms using ''l''-adic cohomology instead of real cohomology, which relates the coefficients of cusp forms to eigenvalues of Frobenius acting on these groups.  {{harvtxt|Deligne|1971}} used this to reduce the [[Ramanujan conjecture]] to the [[Weil conjectures]] that he later proved.-->

==アイヒラーコホモロジー==

''G'' を{{仮リンク|フックス群|en|Fuchsian group}}(Fuchsian group)とし、M をその表現とすると、アイヒラーコホモロジー群 
<math>H^1_P(G,M)</math> は <math>H^1(G,M)</math> から <math>\prod_cH^1(G_c,M)</math> への写像の核として定義される。ただし積は ''G'' の基本領域のカスプ ''c'' を渡る積をとり、<math>G_c</math> はカスプ ''c'' を固定する部分群である。
<!--==Eichler cohomology==

If ''G'' is a [[Fuchsian group]] and ''M'' is a representation of it then the Eichler cohomology group ''H''{{su|p=1|b=''P''}}(''G'',''M'') is defined to be the kernel of the map from ''H''{{su|p=1|b=}}(''G'',''M'') to 
Π<sub>''c''</sub> ''H''{{su|p=1|b=}}(''G''<sub>''c''</sub>,''M''), where the product is over the cusps ''c'' of a fundamental domain of ''G'', and ''G''<sub>''c''</sub> is the subgroup fixing the cusp ''c''.-->

==参考文献==

*{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347-363 | url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1968-1969__11__139_0 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-05356-9 | doi=10.1007/BFb0058801 | year=1971 | volume=179 | chapter=Formes modulaires et représentations l-adiques }}
*{{Citation | last1=Eichler | first1=Martin | title=Eine Verallgemeinerung der Abelschen Integrale | doi=10.1007/BF01258863 | mr=0089928  | year=1957 | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | issn=0025-5874 | volume=67 | pages=267–298}}
*{{Citation | last1=Gunning | first1=Robert C. | title=The Eichler cohomology groups and automorphic forms | url=http://www.jstor.org/stable/1993353 |mr=0140126 | year=1961 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=100 | pages=44–62 | doi=10.2307/1993353}}
*{{SpringerEOM|title=Eichler cohomology|last= Knopp|first=M.I.|urlname=Eichler_cohomology}}
*{{Citation | last1=Shimura | first1=Goro | title=Sur les intégrales attachées aux formes automorphes | doi=10.4099/jmath.11.291 |mr=0120372 | year=1959 | journal=Journal of the Mathematical Society of Japan | issn=0025-5645 | volume=11 | pages=291–311}}

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