アインシュタイン多様体のソースを表示

{{要改訳}}
[[微分幾何学|微分幾何]]と[[数理物理学|数理物理]]において、'''アインシュタイン多様体'''（アインシュタインたようたい、Einstein manifold）は、[[リッチテンソル]]が[[計量テンソル]]に比例する[[リーマン多様体]]もしくは、[[擬リーマン多様体]]である。通常、[[一般相対論]]で研究する 4次元の[[擬リーマン多様体#ローレンツ多様体|ローレンツ多様体]]とは違い、この条件は、符合と同様に計量の次元も任意であることが可能であるにもかかわらず、この条件と計量が（[[宇宙定数]]を持つ）[[真空]]の[[アインシュタイン方程式]]の解であることとが同値であるとの理由から、アインシュタイン多様体は[[アルベルト・アインシュタイン]](Albert Einstein)の名前に由来している。

M が基礎となる n-次元多様体で、g がその[[計量テンソル]]であれば、アインシュタインの条件は、ある定数 k が存在し、

:<math>\mathrm{Ric} = k\,g,</math>

であることを意味する。ここに、Ric は g の[[リッチテンソル]]を表わす。k = 0 であるアインシュタイン多様体は、[[リッチ平坦多様体]]と呼ばれる。
<!--In [[differential geometry]] and [[mathematical physics]], an '''Einstein manifold''' is a [[Riemannian manifold|Riemannian]] or [[pseudo-Riemannian manifold]] whose [[Ricci tensor]] is proportional to the [[metric tensor|metric]]. They are named after [[Albert Einstein]] because this condition is equivalent to saying that the metric is a solution of the [[vacuum]] [[Einstein field equations]] (with [[cosmological constant]]), although the dimension, as well as the signature, of the metric can be arbitrary, unlike the four-dimensional [[Lorentzian manifold]]s usually studied in [[general relativity]].

If ''M'' is the underlying ''n''-dimensional [[manifold]] and ''g'' is its [[metric tensor]] the Einstein condition means that

:<math>\mathrm{Ric} = k\,g,</math>

for some constant ''k'', where Ric denotes the [[Ricci tensor]] of ''g''. Einstein manifolds with ''k'' = 0 are called [[Ricci-flat manifold]]s.-->

==アインシュタインの条件とアインシュタイン方程式==

局所座標により、(M,&nbsp;g) がアインシュタイン多様体である条件は、単純で、

:<math>R_{ab} = k\,g_{ab}</math>

である。両辺のトレースをとると、アインシュタイン多様体の比例定数 k は[[スカラー曲率]] R に

:<math>R = nk</math>

により関係付けられる。ここに n は M の次元である。

[[一般相対論]]では、[[宇宙定数]] &Lambda; と持つ[[アインシュタイン方程式]]は、[[幾何学単位系]] G = c = 1 と用いると、

:<math>R_{ab} - \frac{1}{2}g_{ab}R + g_{ab}\Lambda = 8\pi T_{ab}, </math>

である。[[エネルギー・運動量テンソル]] T<sub>ab</sub> は、基礎となる時空の物質とエネルギーの有様を与える。[[真空]]（時空に物質のない領域）では、T<sub>ab</sub> = 0 であり、アインシュタイン方程式を（n &gt; 2 とすると）
:<math>R_{ab} = \frac{2\Lambda}{n-2}\,g_{ab}</math>
と記述できる。従って、アインシュタイン方程式の真空解は、宇宙定数との比例定数 k をもつ（ローレンツ）アインシュタイン多様体であう。
<!--==The Einstein condition and Einstein's equation==

In local coordinates the condition that (''M'',&nbsp;''g'') be an Einstein manifold is simply

:<math>R_{ab} = k\,g_{ab}.</math>

Taking the trace of both sides reveals that the constant of proportionality ''k'' for Einstein manifolds is related to the [[scalar curvature]] ''R'' by

:<math>R = nk\,</math>

where ''n'' is the dimension of ''M''.

In [[general relativity]], [[Einstein's equation]] with a [[cosmological constant]] &Lambda; is

:<math>R_{ab} - \frac{1}{2}g_{ab}R + g_{ab}\Lambda = 8\pi T_{ab}, </math>

written in [[geometrized units]] with ''G'' = ''c'' = 1. The [[stress–energy tensor]] ''T''<sub>''ab''</sub> gives the matter and energy content of the underlying spacetime. In a [[vacuum]] (a region of spacetime with no matter) ''T''<sub>''ab''</sub> = 0, and one can rewrite Einstein's equation in the form (assuming ''n'' &gt; 2):
:<math>R_{ab} = \frac{2\Lambda}{n-2}\,g_{ab}.</math>
Therefore, vacuum solutions of Einstein's equation are (Lorentzian) Einstein manifolds with ''k'' proportional to the cosmological constant.-->

== 例 ==

アインシュタイン多様体の例を挙げる。

*{{仮リンク|定数断面曲率|en|constant sectional curvature}}(constant sectional curvature)を持つ任意の多様体は、アインシュタイン多様体である。特に、
** [[ユークリッド空間]]、この空間は平坦で、リッチ平坦な単純な例である。よってアインシュタイン計量である。
** [[n-球面]]、S<sup>n</sup>、周囲の計量が k = n &minus; 1 のアインシュタイン計量である。
** {{仮リンク|双曲空間|en|Hyperbolic space}}(Hyperbolic space)、標準的な計量はアインシュタイン計量で負の値の k をもつ。
* [[射影空間|複素射影空間]]、[[フビニ・スタディ計量]]をもつ '''CP'''<sup>''n''</sup>．
* [[カラビ・ヤウ多様体]]は、アインシュタイン定数 k = 0 を持つ[[ケーラー多様体]]でもあり、アインシュタイン計量を持つ。そのような計量は、一意ではないが、族をなす。カラビ・ヤウ計量はすべてのケーラークラスに存在し、複素構造の選択に依存しない。たとえば、[[K3曲面]]上のそのような計量は 60個のパラメータを持つ族で、等長や利スケールにより関連付けられないアインシュタイン計量は 57個のパラメータの族である。

閉じた[[向き付け可能]]な [[4次元多様体]]がアインシュタイン多様体である必要条件は、{{仮リンク|ヒッチン・ソープ不等式|en|Hitchin&ndash;Thorpe inequality}}(Hitchin&ndash;Thorpe inequality)を満たすことである。
<!--== Examples ==

Simple examples of Einstein manifolds include:

*Any manifold with [[constant sectional curvature]] is an Einstein manifold&mdash;in particular:
** [[Euclidean space]], which is flat, is a simple example of Ricci-flat, hence Einstein metric.
** The [[n-sphere|''n''-sphere]], ''S''<sup>''n''</sup>, with the round metric is Einstein with ''k'' = ''n'' &minus; 1.
** [[Hyperbolic space]] with the canonical metric is Einstein with negative ''k''.
* [[Complex projective space]], '''CP'''<sup>''n''</sup>, with the [[Fubini–Study metric]].
* [[Calabi Yau manifold]]s admit an Einstein metric that is also [[Kähler metric|Kähler]], with Einstein constant "k"="0". Such metrics are not unique, but rather come in families; there is a Calabi-Yau metric in every Kähler class, and the metric also depends on the choice of complex structure. For example, there is a 60-parameter family of such metrics on K3, 57 parameters of which give rise to Einstein metrics which are not related by isometries or rescalings.

A necessary condition for [[closed manifold|closed]], [[oriented]], [[4-manifold]]s to be Einstein is satisfying the [[Hitchin&ndash;Thorpe inequality]].-->

==応用==

4次元リーマンアインシュタイン多様体は、[[量子重力理論|重力の量子論]]の[[重力インスタントン]]として数理物理学でも重要である。重力インスタントンという言葉は、普通、{{仮リンク|ワイルテンソル|en|Weyl tensor}}(Weyl tensor)が自己双対となっているアインシュタイン 4-次元多様体に限定して使われ、計量が 4次元ユークリッド空間の標準計量に漸近近似している（従って、{{仮リンク|完全計量|en|complete metric}}(complete metric)であるが[[コンパクト空間|非コンパクト]]である）。微分幾何学では、4-次元の自己双対アインシュタイ多様体は、リッチ平坦な場合は[[超ケーラー多様体]]としも知られ、そうでない場合は{{仮リンク|四元数ケーラー多様体|en|quaternion Kähler manifold}}(quaternion Kähler manifold)として知られている。

高次元のローレンツアインシュタイン多様体は、[[弦理論]]、[[M-理論]]や[[超重力理論]]のような現代の重力理論で使われる。（アインシュタイン多様体の特別な種類である）超ケーラー多様体や四元数ケーラー多様体も、[[超対称性]]をもつ[[非線型シグマモデル]]のような対象空間での物理学で応用を持つ。

コンパクトなアインシュタイン多様体は、微分幾何学で研究されており、多くの例が知られているが、それらを構成することはチャレンジングなことである。コンパクトリッチ平坦多様体は、特に見つけることが困難で、ペンネームの{{仮リンク|アーサー・ベッセ|en|Arthur Besse}}(Arthur Besse)のこの主題の単行本には、新しい例を発見すると読者には{{仮リンク|ミシュランの星|en|Michelin star}}(Michelin star)での食事が提供されます。
<!--==Applications==

Four dimensional Riemannian Einstein manifolds are also important in mathematical physics as [[gravitational instantons]] in [[quantum gravity|quantum theories of gravity]]. The term "gravitational instanton" is usually used restricted to Einstein 4-manifolds whose [[Weyl tensor]] is self-dual, and it is usually assumed that metric is asymptotic to the standard metric of Euclidean 4-space (and are therefore [[complete metric|complete]] but [[compact space|non-compact]]). In differential geometry, self-dual Einstein 4-manifolds are also known as (4-dimensional) [[hyperkähler manifold]]s in the Ricci-flat case, and [[quaternion Kähler manifold]]s otherwise.

Higher-dimensional Lorentzian Einstein manifolds are used in modern theories of gravity, such as [[string theory]], [[M-theory]] and [[supergravity]]. Hyperkähler and quaternion Kähler manifolds (which are special kinds of Einstein manifolds) also have applications in physics as target spaces for [[nonlinear σ-model]]s with [[supersymmetry]].

Compact Einstein manifolds have been much studied in differential geometry, and many examples are known, although constructing them is often challenging. Compact Ricci-flat manifolds are particularly difficult to find: in the monograph on the subject by the pseudonymous author [[Arthur Besse]], readers are offered a meal in a [[Michelin star|starred restaurant]] in exchange for a new example.-->

==関連項目==

*{{仮リンク|アインシュタイン・エルミートベクトル束|en|Einstein–Hermitian vector bundle}}

== 参考文献 ==

*{{cite book | first = Arthur L. | last = Besse | authorlink = Arthur Besse | title = Einstein Manifolds | series = Classics in Mathematics | publisher = Springer | location = Berlin | year = 1987 | isbn = 3-540-74120-8}}

{{DEFAULTSORT:あいんしゆたいんたようたい}}
[[Category:リーマン多様体]]
[[Category:アルベルト・アインシュタイン]]
[[Category:多様体論]]
[[Category:数理物理学]]
[[Category:数学に関する記事]]