アインシュタイン模型のソースを表示

{{統計力学}}
'''アインシュタイン模型'''（アインシュタインもけい、{{Lang-en-short|Einstein model}}）とは、固体の[[比熱容量|比熱]]<ref group="注">熱容量は示量性の物理量であり、これを質量やモル数などの示量性の量で割って示強性にしたものが比熱である。本項では、熱容量と呼ぶべきところを、慣習に従って比熱と呼ぶ。</ref> {{Mvar|C{{Sub|V}}}} の温度依存性を説明するために、[[アルベルト・アインシュタイン|アインシュタイン]]が提唱した固体の[[格子振動]]に関する模型のことである。N個の同種原子からなる結晶の格子振動を、N個の独立な３次元[[調和振動子]]とみなし、且つ全てが同じ角振動数 {{Mvar|&omega;<sub>E</sub>}} を持つとした。

アインシュタインは、[[1906年]]に執筆した論文『輻射に関するプランクの理論と比熱の理論』<ref>{{Harvtxt|Einstein|1906}}</ref><ref group="注">論文が雑誌に掲載され刊行されたのは[[1907年]]である。</ref>および[[1910年]]に執筆した論文『一原子分子からなる固体における弾性的性質と比熱の関係』<ref>{{Harvtxt|Einstein|1910}}</ref><ref group="注">論文が雑誌に掲載され刊行されたのは[[1911年]]である。</ref>でこの理論を発表した。

== 歴史的経緯 ==
1907年にアインシュタインが提唱したこの理論は、歴史的に見ても大きな意味を持つ。[[経験則]]である[[デュロン＝プティの法則|デュロン-プティの法則]]で予測される固体の比熱は、[[古典力学]]では温度に依存しないはずであった。しかし、低温での実験では、[[絶対零度]]で熱容量がゼロに変化することがわかった。温度が上がると比熱は上昇し、高温になるとデュロン-プティの法則に近づく。アインシュタインの理論は、[[マックス・プランク|プランク]]の量子仮説を用いることで、実験的に観測された比熱の温度依存性を初めて説明することに成功した。これは[[光電効果]]とともに、量子化の必要性を示す最も重要な証拠のひとつとなった。

== 格子比熱 ==
格子振動のエネルギーが関与する比熱を'''格子比熱'''（{{Lang-en-short|lattice specific heat}}）と呼ぶ。格子振動を[[量子化 (物理学)|量子化]]した[[フォノン]]のエネルギーは、フォノンの波数ベクトルを '''{{Mvar|k}}'''、フォノンの振動モードを {{Mvar|&alpha;}} として、

<math display="block">E=\sum_{\boldsymbol{k}, \alpha}
\hbar\omega_{\boldsymbol{k}, \alpha}
\left (n_{\boldsymbol{k}, \alpha}+ \frac{1}{2} \right )</math>

で表される。整数 {{Mvar|n<sub>k,α</sub>}} で指定される一粒子状態に占有する粒子数の[[期待値]]がわかれば、エネルギーの平均値として内部エネルギーが与えられる。結果的に、フォノンの個数の期待値は

<math display="block">\left \langle n_{\boldsymbol{k}, \alpha} \right \rangle
=\frac{1}{e^{\hbar\omega_{\boldsymbol{k},\alpha}/k_BT}-1}</math>

となるので、内部エネルギー {{Mvar|U}} と格子比熱 {{Mvar|C{{Sub|V}}}} はそれぞれ

<math display="block">U=\sum_{\boldsymbol{k},\alpha}\hbar\omega_{\boldsymbol{k},\alpha}
\left ( \left \langle n_{\boldsymbol{k},\alpha} \right \rangle+\frac{1}{2} \right )
=\sum_{\boldsymbol{k},\alpha}\hbar\omega_{\boldsymbol{k},\alpha}
\left ( \frac{1}{e^{\hbar\omega_{\boldsymbol{k},\alpha}/k_BT}-1}+\frac{1}{2} \right )</math>

<math display="block">C_V
={\partial U\over\partial T}
={\partial\over\partial T}{\sum_{\boldsymbol{k},\alpha}\hbar\omega_{\boldsymbol{k},\alpha}
\left ( \frac{1}{e^{\hbar\omega_{\boldsymbol{k},\alpha}/k_BT}-1}+\frac{1}{2} \right )}</math>

となる。{{Math|{{hbar}}}} は[[ディラック定数]]、{{Mvar|k<sub>B</sub>}} は[[ボルツマン定数]]、{{Mvar|T}} は温度である。括弧内の1/2は温度微分で０となるので、最終的な格子比熱の表式

<math display="block">C_V
={\partial\over\partial T}{\sum_{\boldsymbol{k},\alpha}
\frac{\hbar\omega_{\boldsymbol{k},\alpha}}{e^{\hbar\omega_{\boldsymbol{k},\alpha}/k_BT}-1}}</math>

が得られる。

== アインシュタイン模型 ==
全ての格子振動の角振動数 {{Mvar|ω}} が波数 {{Mvar|k}} に依存せず、一定値 {{Mvar|ω<sub>E</sub>}} とするモデルが'''アインシュタイン模型'''である。このとき、波数ベクトル '''{{Mvar|k}}''' の総和は[[ブリュアンゾーン|第一ブリュアンゾーン]]内の逆格子点の数 {{Mvar|N}} になる。また、振動モードは１つの縦モードと２つの横モードの合計３つのモード（３次元に由来）が存在するので、総和は

<math display="block">\sum_{\boldsymbol{k},\alpha}1
=3N</math>

を与える。つまり、このモデルは角振動数が {{Mvar|ω<sub>E</sub>}} の {{Mvar|3N}} 個の独立した調和振動子からなる系と見なせる。これを格子比熱の表式に代入すると

<math display="block">C_V
={\partial\over\partial T}
\left ( 3N \frac{\hbar\omega_E}{e^{\hbar\omega_E/k_BT}-1} \right )
=3Nk_B \left ( \frac{\hbar\omega_E}{k_BT} \right )^2
\frac{e^{\hbar\omega_E / k_BT}}{(e^{\hbar\omega_E/k_BT}-1)^2}</math>

となり、角振動数 {{Mvar|ω<sub>E</sub>}} を温度に換算した

<math display="block">\theta_E= {\hbar\omega_E \over k_B}</math>

を用いると

<math display="block">C_V
=3Nk_B \left ( \frac{\theta_E}{T} \right )^2
\frac{e^{\theta_E/T}}{(e^{\theta_E/T}-1)^2}</math>

と表される。この式は一般的に、「アインシュタイン模型」あるいは「'''アインシュタインの比熱式'''」と呼ばれ、{{Mvar|&theta;<sub>E</sub>}} は'''アインシュタイン温度'''と呼ばれる。

== 実験事実の再現と乖離 ==
高温領域（<math>T \gg \theta_E</math>）では、比熱が <math>C_V
\approx 3Nk_B</math> となり、[[デュロン＝プティの法則|デュロン-プティの法則]]に漸近することがわかる。また、低温領域（<math>T \ll \theta_E</math>）では指数関数的にゼロに近づく。この低温での指数関数的な温度依存性は、フォノンが確率 <math>e^{-\hbar\omega_E/k_BT}</math> で励起することに起因している。この２点の実験事実に理論的な説明を与えたのが、アインシュタイン模型のとても大きな成果である。

しかし、アインシュタイン模型は低温領域では実験事実を正しく再現しない。上述の通り、低温領域でアインシュタイン模型は指数関数的な温度依存性を示すが、実際の実験では冪関数的な温度依存性を見せ、<math>T^3</math> でゼロに近づく。この原因はアインシュタイン模型が低い角振動数の存在を大胆に無視したからである。フォノンの分散関係は角振動数の低い領域で波数に比例する。この点を修正したモデルは[[デバイ模型]]と呼ばれ、[[ピーター・デバイ]]によって1912年に理論的根拠が与えられた。

== 脚注 ==
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=== 注釈 ===
<references group="注" />

=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
=== 原論文 ===
* {{cite journal|first=A.|last=Einstein|authorlink=アルベルト・アインシュタイン|title=Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme|url=http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1907_22_180-190.pdf|format=[[Portable Document Format|PDF]]|trans-title=輻射に関するプランクの理論と比熱の理論|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|series=Ser. 4|publisher={{仮リンク|Wiley-VCH Verlag|de|Wiley-VCH Verlag|en|Wiley-VCH}}|location=[[ヴァインハイム|Weinheim]]|language=[[ドイツ語|German]]|volume=327|issue=1|pages=180–190|date=November 9, 1906|lccn=50013519|issn=0003-3804|oclc=5854993|doi=10.1002/andp.19063270110|bibcode=1906AnP...327..180E|ref=harv}}
* {{cite journal|first=A.|last=Einstein|authorlink=アルベルト・アインシュタイン|title=Eine Beziehung zwischen dem elastischen Verhalten und der Spezifischen Wärme mit einatomigem Molekül|url=http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1911_34_170-174.pdf|format=[[Portable Document Format|PDF]]|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|series=Ser. 4|trans-title=一原子分子からなる固体における弾性的性質と比熱の関係|publisher={{仮リンク|Wiley-VCH Verlag|de|Wiley-VCH Verlag|en|Wiley-VCH}}|location=[[ヴァインハイム|Weinheim]]|volume=339|issue=1|pages=170–174|date=November 30, 1910|language=[[ドイツ語|German]]|lccn=50013519|issn=0003-3804|oclc=5854993|doi=10.1002/andp.19113390110|bibcode=1911AnP...339..170E|ref=harv}}

=== 訳書 ===
* {{Cite book|和書 |first=A. |last=Einstein |authorlink=アルベルト・アインシュタイン |others=[[湯川秀樹]]監修 |editor=[[中村誠太郎]]・[[谷川安孝]]・井上健訳 |date=1971-03-01 |title=アインシュタイン選集1―特殊相対性理論・量子論・ブラウン運動― |publisher=[[共立出版]] |id={{全国書誌番号|69018983}} |isbn=978-4-320-03019-0 |url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320030190 |ncid=BN00729724 |asin=4320030192 |oclc=834568557 |ref=harv}}

== 外部リンク ==
* {{Cite web|和書|url=http://www.einstein1905.info/einstein/life.html|title=Albert Einsteinの生涯と代表論文 年表|first=Hisaaki|last=Shinkai|authorlink=真貝寿明|work=Einstein 1905「数理科学/宇宙物理」研究の最新情報と「研究者/研究生活」に関する情報サイト|date=2005-07-09|year=2005|accessdate=2016-11-18|ref=harv}}
* {{Kotobank|アインシュタインの比熱式|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}

{{アルベルト・アインシュタイン}}
{{Physics-stub}}
{{DEFAULTSORT:あいんしゆたいんもけい}}
[[Category:固体物理学]]
[[Category:アルベルト・アインシュタイン]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:比熱]]