アステロイド (曲線)のソースを表示

{{Pathnavbox|
* {{Pathnav|[[数学]]|[[幾何学]]|[[曲線]]|{{仮リンク|輪転曲線|en|Roulette (curve)}}|[[トロコイド#内トロコイド|内トロコイド]]|[[サイクロイド#内サイクロイド|内サイクロイド]]}}}}
[[file:Asteroid.png |thumb|200px|right|標準アステロイド]] 
[[file:HypotrochoidOn4.gif|thumb|200px|内擺線としてのアステロイド]]
[[file:Astroid.gif|thumb|200px|right|楕円族の包絡線としてのアステロイド]]
[[file:Astroid envelope segment.gif|thumb|200px|right|線分の包絡線としてのアステロイド]]
'''アステロイド'''（{{Lang-en-short|astroid}}<ref>英語で asteroid と表記されることもあるが、これは[[小惑星]]の意味を持つため、区別のためには astroid（アストロイド）が望ましい。日本語表記ではアステロイドがよく用いられる。</ref>）の語義は{{lang-el|aster}}（星の）+ -oid（ようなもの）であり、'''星芒形'''（せいぼうけい）、'''星形'''とも呼ばれる。アステロイドは四つの尖点を持つ[[内サイクロイド]]（四尖点内擺線）であり、四尖点形 {{lang|en|('''tetracuspid''')}} の名称も古くから用いられている（ほかには、cubocycloid, paracycle など）。アステロイドを[[縮閉線|縮閉]]、[[伸開線|伸開]]、[[包絡線|包絡]]などの概念を用いて他の曲線から得ることができる。類似の曲線として[[楕円]]の[[縮閉線]]がある。また、アステロイドは[[ラメ曲線|スーパー楕円]]の一種である。

== 性質 ==
=== [[解析幾何学]] ===
[[直交座標|直交座標系]]において一般に ''a'' を任意の実数として
: <math>x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}</math>
と表される図形をアステロイドと総称する。これらは全て標準アステロイド
: <math>x^{2/3} + y^{2/3} = 1</math>
に相似である。[[媒介変数|パラメータ]]表示では 
:<math>x = a\cos^3 \theta,\quad y = a\sin^3 \theta</math> 
となる。これは半径 ''a'' の円に内接し、かつ ''x''軸、''y''軸に対して[[線対称]]である。曲線で囲まれた[[面積]]は <math>S=\frac{3}{8} \pi a^2</math>、曲線の[[弧長]]は <math>l = 6a</math>である。

=== [[微分幾何学]] ===
半径 ''a'' の円内をその1/4の半径を持つ円が滑ることなく転がるとき、内円の円周上の任意の一点の軌跡はアステロイド
: <math>x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}</math>
を描く。標準アステロイドは、
: <math>x = 3\cos \theta + \cos 3\theta,\quad y = 3\sin \theta - \sin 3\theta</math>
と書くこともできるが、これは半径比が ''n'' + 1 : 1 の[[内サイクロイド|内擺線]]（の ''n'' = 3 の場合）としての表示である。

''x''-軸および ''y''-軸に片方ずつの端点が載っているような長さ一定の線分族は全て一つのアステロイドに接する。したがってそのような線分族の[[包絡線]]はアステロイドを描く。

アステロイドの[[縮閉線]]はアステロイド（を2倍にして、45度回転させたもの）である。

=== [[代数幾何学]] ===
アステロイドは[[種数]] 0 の平面[[代数曲線]]の実軌跡として、代数方程式
:<math>(x^2+y^2-1)^3+27x^2y^2=0</math>
で表すことができる。これは六次の曲線で実平面 '''R'''<sup>2</sup> 上に（星の頂点の部分に）四つの尖点特異性を持つ。また、複素変数（[[リーマン球面]]）に拡張して、さらに二つの尖点特異性を無限遠点にもち、四つの二重点があるから、計10個の特異点をもつことになる。

この式で表されるアステロイドの[[双対曲線]]は[[十字曲線]] ''x''<sup>2</sup>&thinsp;''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> である。

==代数方程式の導出==
:<math>x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}. \,</math>

の両辺を3乗すると:

:<math>x^{6/3} + 3x^{4/3}y^{2/3} + 3x^{2/3}y^{4/3} + y^{6/3} = a^{6/3} \,</math>
:<math>x^2 + 3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3} + y^{2/3}) + y^2 = a^2 \,</math>
:<math>x^2 + y^2 - a^2 = -3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3} + y^{2/3}) \,</math>

再び両辺を3乗すると:

:<math>(x^2 + y^2 - a^2)^3 = -27x^2y^2(x^{2/3} + y^{2/3})^3 \,</math>

ここで:

:<math>x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3} \,</math>

だったので

:<math>(x^{2/3} + y^{2/3})^3 = a^2. \,</math>

これより:

:<math>(x^2 + y^2 - a^2)^3 = -27x^2y^2a^2 \,</math>

よって

:<math>(x^2 + y^2 - a^2)^3 + 27x^2y^2a^2 = 0. \,</math>

== 一般化 ==
アステロイドはスーパー楕円あるいは[[ラメ曲線]]と呼ばれる曲線
: <math>\left|\frac{x}{a}\right|^\alpha+\left|\frac{y}{b}\right|^\alpha=1</math>
の &alpha; = 2/3, ''a'' = ''b'' とした特別な場合であり、また ''a'' &ne; ''b'' を許した
:<math>\left(\frac{x}{a} \right)^{2/3} + \left(\frac{y}{b}\right)^{2/3} = 1</math> 
で表される曲線はアステロイドを軸の方向に引き伸ばしあるいは押しつぶした形になる。例えば[[楕円]]の[[縮閉線]]は（二焦点を原点対称となるように ''x''-軸あるいは ''y''-軸上に配置すれば）この形に表すことができる。これのパラメータ表示は 
:<math>x = a\cos^3 \theta,\quad y = b\sin^3 \theta</math>
で示され、曲線で囲まれた面積は
:<math>S=\frac{3}{8} \pi ab </math>
であり、曲線の弧長は 
:<math>l = \frac{4(a^2 + ab + b^2)}{a + b}</math>
となる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | first=J. Dennis |last=Lawrence | title=A catalog of special plane curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=4–5,34–35,173–174 }}
* {{Citation  | last = Wells |first=D. | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 10&ndash;11}}
* {{Citation  | first=R.C. |last=Yates | title=A Handbook on Curves and Their Properties | location=Ann Arbor, MI | publisher=J. W. Edwards | pages=1 ff.|chapter=Astroid| year=1952 }}

== 関連項目 ==
*[[ストーナー＝ウォールファース・アステロイド]]（磁化反転アステロイド）：磁気学で用いられる。
*[[デルトイド]]（シュタイナーの内擺線、三尖曲線、オイラーのデルタ）

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|アステロイド}}
* {{Kotobank|星芒形}}
* {{高校数学の美しい物語|785|アステロイド曲線の重要な性質まとめ}}
* {{MathWorld |urlname=Astroid |title=Astroid}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Astroid.html "Astroid" at The MacTutor History of Mathematics archive]
* [http://www.2dcurves.com/roulette/roulettea.html Article on 2dcurves.com]
* [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.html Visual Dictionary Of Special Plane Curves, Xah Lee]
* [http://demonstrations.wolfram.com/BarsOfAnAstroid/ Bars of an Astroid] by Sándor Kabai, [[ウルフラム・デモ・プロジェクト|The Wolfram Demonstrations Project]].

{{DEFAULTSORT:あすてろいと}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:閉曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]