アニュラスのソースを表示

[[Image:Annulus area.svg|right|150px|アニュラス]]
[[数学]]において、'''アニュラス'''（{{lang-la-short|annulus}}, ラテン語で「小さい環」を意味する）あるいは'''円環'''とは、輪の形をした対象、特に 2 つの同心円によって囲まれた[[領域 (解析学)|領域]]である。
==数学的な記述==
開アニュラスは[[円柱 (数学)|円柱側面（円筒）]] {{math|''S''{{msup|1}} &times; (0,1)}} や{{仮リンク|穴あき平面|en|punctured plane}} {{math|'''R'''{{msup|2}} {{setminus}} {(0, 0)}}} に[[同相]]である。

アニュラスの面積は半径 {{mvar|R}} の大きい[[円 (数学)|円]]の面積から半径 {{mvar|r}} の小さい円の面積を引いたものである：
:<math>A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2).</math>

アニュラスの面積はアニュラスの中に完全に置ける最長の線分の長さ（添付図の {{math|2''d''}}）から得られる。これは[[ピタゴラスの定理]]によって証明できる。

アニュラスの中に完全に置ける最長の線分は小さい円に[[接線|接し]]、その点における半径と直角をなす。

したがって {{mvar|d}} と {{mvar|r}} は斜辺 {{mvar|R}} の直角三角形の残りの辺の長さであり、面積は次で与えられる：
:<math>A = \pi(R^2 - r^2) = \pi d^2.</math>

面積は[[微分積分学]]によっても計算できる。

アニュラスを幅 {{mvar|d&rho;}}、面積 {{math|{{gaps|2''&pi;&rho;''|''d&rho;''}}}} の無限個の[[無限小]]アニュラスに分割し、{{math|''&rho;'' {{=}} ''r''}} から {{math|''&rho;'' {{=}} ''R''}} まで[[積分]]する：
:<math>A = \int_r^R 2\pi\rho\, d\rho = \pi(R^2 - r^2).</math>

{{mvar|&theta;}} ラジアンに対する "扇形"（円環扇形）の面積は
:<math> A = \frac{\theta}{2}(R^2 - r^2).</math>

==複素構造==
[[複素解析]]において、[[複素数平面]]の'''アニュラス''' {{math|ann(''a''; ''r'', ''R'')}} は
: <math> r < |z-a| < R</math>
で定義される[[領域 (解析学)|開領域]]のことを言う。{{math|''r''}} が {{math|0}} のとき、この領域は点 {{mvar|a}} を中心とする半径 {{mvar|R}} の'''穴空き円板''' (punctured disk) である。

複素[[平面]]の部分集合として、アニュラスは[[リーマン面]]と考えることができる。アニュラスの複素構造は比 {{math|''r''/''R''}} のみに依存する。実際、各アニュラス {{math|ann(''a''; ''r'', ''R'')}} は {{math|''z'' {{mapsto}} {{sfrac|''z'' &minus; ''a''|''R''}}}} と置くことにより、大きい方の半径が {{math|1}} で原点に中心を持つ標準アニュラス {{math|ann(0; {{sfrac|''r''|''R''}}, 1)}} に[[正則関数|正則]]に写る。

[[アダマールの三円定理]]は正則関数がアニュラスの内部で取り得る最大値について述べる。

== 関連項目 ==
*[[円板]]
* {{仮リンク|円環予想|en|Annulus theorem}}
* {{仮リンク|球殻|de|Kugelschale|en|Spherical shell}} — 三次元への一般化
* [[トーラス]]
* [[図形の一覧]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld | title= Annulus | urlname= Annulus}}
* {{PlanetMath | title= annulus | urlname= Annulus}}
* {{SpringerEOM | title= Two-dimensional annulus | urlname= Two-dimensional_annulus}}
* [http://www.mathopenref.com/annulus.html Annulus definition and properties] With interactive animation
* [http://www.mathopenref.com/annulusarea.html Area of an annulus, formula] With interactive animation

{{DEFAULTSORT:あにゆらす}}
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[[Category:図形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ラテン語の語句]]