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[[数学]]における'''アフィン包'''（アフィンほう、{{lang-en-short|''affine hull''}}）は[[アフィン空間]]論における[[普遍性|普遍概念]]のひとつで、[[線型包]] (linear hull) の概念と近い関係にある。

[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> の部分集合 ''S'' のアフィン包は、''S'' を含む最小の[[アフィン集合]]（アフィン部分空間）であり、あるいは同じことだが、''S'' を含む全てのアフィン部分空間の[[共通部分 (数学)|交わり]]である。ここに「アフィン集合」とは[[線型部分空間]]を[[平行移動]]して得られる部分集合である。''S'' のアフィン包を aff(''S'') で表せば、これは ''S'' の元の[[アフィン結合]]全体の成す集合
: <math>\text{aff}(S)=\left\{\sum_{i=1}^k \alpha_i x_i \mid k\in\mathbb{N},\, x_i\in S,\, \alpha_i\in \mathbb{R},\,\sum_{i=1}^k \alpha_i=1 \right\}</math>
に等しい。

部分集合 ''M'' が、特に二つの（あるいはそれ以上の数の）アフィン部分空間の合併 ''M'' = ''U'' &cup; ''V'' となっているとき、''M'' の'''アフィン包'''を（アフィン）'''和空間''' (''Verbindungsraum'') と呼ぶことがある。

== 定義 ==
''A'' を '''K'''-ベクトル空間の付随する[[アフィン空間]]で、''M'' を ''A'' の部分空間とするとき、''M'' の'''アフィン包'''とは、''M'' を含む ''A'' の最小のアフィン部分空間、即ち ''M'' を含む ''A'' のアフィン部分空間すべての交わりを言う。

''M'' は上記の如くとして、任意の点 ''P''<sub>0</sub> を取る（これがアフィン包の始点になる）。''M'' に属する点に付随する平行移動ベクトル全体の成す集合
: <math>V(M)=\lbrace \overrightarrow{PQ}: P,Q \in M \rbrace</math>
の線型包を ''H'' とする。つまり、''H'' は ''V''(''M'') に属するベクトルの任意の有限線型結合の集まりであって、それ自身はアフィン空間 ''A'' に付随するベクトル空間の線型部分空間を成す（詳細は[[線型包]]の項を参照）。このとき、''M'' のアフィン包は ''P''<sub>0</sub> + ''H'' で与えられる。

空集合のアフィン包は空集合と定める。

== 例 ==
* 相異なる二点の成す集合のアフィン包は、その二点を結ぶ直線である。
* 同一直線上にない三点の成す集合のアフィン包は、その三点を通る平面である。
* '''R'''<sup>''3''</sup> 内の同一平面上にない四点の成す集合のアフィン包は、全体空間 '''R'''<sup>''3''</sup> である。
* 多項式 <math> \lbrace 1, x^2, x^3 \rbrace \subseteq\R [ x ]</math> のアフィン包は、曲線族 <math> \lbrace 1+a(x^2-1)+b(x^3-1) : a,b \in \R \rbrace</math> である。この例は、アフィン包が一般には[[線型部分空間]]とはならないことを示す例になっている。 

== 性質 ==
* <math>\mathrm{aff}(S)</math> は[[閉集合]]である。

アフィン空間 ''A'' の任意の部分集合 ''M'' のアフィン包は
* 一意的に決まる（同型を除いて決まるばかりではなくて、具体的な集合として一つに決まる）。
* その次元が &minus;1（[[空集合]]の次元）から全体空間の次元の間になる。
* ''A'' が実アフィン空間ならば、''M'' の[[凸包]]を含みかつそのアフィン包にもなる。

アフィン空間 ''A'' の部分集合全体の成す族において、アフィン包をとる操作は[[閉包作用素]]になる。
* <math>\mathrm{aff}(\mathrm{aff}(S)) = \mathrm{aff}(S)</math>

アフィン空間の（空集合および全体空間を含む）アフィン部分空間全体の成す集合族 ''T'' において、「合併のアフィン包をとる」操作は二項演算を定める。ここで、''U'' &isin; ''V'' に対してそれらの合併のアフィン包
: <math>U\vee V := \text{aff}(U\cup V)</math>
を部分空間 ''U'' と ''V'' とのアフィン和空間あるいは結びと呼ぶ。合併を交叉に取り換えて双対的に ''U'' と ''V'' との交わりも定義され、この二つの二項演算に関して ''T'' は[[分配束]]、特に[[ブール代数]]となる。
* 二つのアフィン部分空間の結びと交わりに関する次元公式は[[アフィン部分空間]]の項参照。

== 関連概念 ==
; 凸包: アフィン結合の代わりに[[凸結合]]、即ち冒頭の式において各 &alpha;<sub>''i''</sub> を非負としてものを考えれば、''S'' の[[凸包]]が得られる。アフィン包よりも制約条件がきついので、凸包はアフィン包よりも大きくはならない。 
; 錐包: 同様に[[錐結合]]からは[[錐包]]の概念が得られる。
; 線型包: 逆に、&alpha;<sub>''i''</sub> に何の制約も与えなければ、アフィン結合は[[線型結合]]に置き換わり、得られる集合は ''S'' の[[線型包]]と呼ばれ、これは ''S'' のアフィン包を含む。

== 参考文献 ==
* R.J. Webster, ''Convexity'', Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8.
* {{citation
| author= Uwe Storch, Hartmut Wiebe
| title= Lineare Algebra
| series= Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker,
| volume= Band II
| Auflage= 2., korrigierte
| Verlag= BI-Wissenschafts-Verlag
| Ort= Mannheim
| year= 1990
| isbn= 3-8274-0359-6
| sate=2011-12-25
| Online= [http://d-nb.info/956468195/04 Inhaltsverzeichnis]
}}

== 外部リンク ==
* [http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/skriptlinalg/kapV_para2.pdf Beschreibung von Verbindungsräumen ] im [http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/index.html Online Skript "Ergänzungen zur Geometrie"] von Prof. Rolf Waldi.

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