アフィン多様体のソースを表示

[[File:Cubic with double point.svg|thumb|<math>y^2 = x^2(x+1)</math> で与えられる{{ill2|平面3次曲線|en|cubic plane curve}}]]
[[代数幾何学]]において，[[代数閉体]] {{mvar|k}} 上の'''アフィン多様体'''（あふぃんたようたい，{{lang-en-short|affine variety}}）とは，{{mvar|n}} 次元[[アフィン空間]] {{mvar|k{{sup|n}}}} において，{{mvar|k}} 係数の {{mvar|n}} 変数の[[多項式]]の[[素イデアル]]を生成する有限族の零点集合である．素イデアルを生成するという条件を外したときの集合は（アフィン）'''[[代数的集合]]'''と呼ばれる．アフィン多様体の[[ザリスキ位相|ザリスキ開]]部分多様体は{{ill2|準アフィン多様体|en|quasi-affine variety}}と呼ばれる．

{{mvar|X}} が素イデアル {{mvar|I}} によって定義されるアフィン多様体のとき，[[商環]]
:<math>k[x_1, \ldots, x_n]/I</math>
は {{mvar|X}} の'''座標環'''と呼ばれる．この環はちょうど {{mvar|X}} 上のすべての[[体の射|正則関数]]がなす集合である．言い換えると，{{mvar|X}} の構造層の大域切断の空間である．{{ill2|アフィン性についてのセールの定理|en|Serre's theorem on affineness|label=セールの定理}}はアフィン多様体のコホモロジー的特徴づけを与える．定理により代数多様体がアフィンであることと
:<math>H^i(X, F) = 0</math>
がすべての {{math|''i'' > 0}} と {{mvar|X}} 上のすべての[[準連接層]] {{mvar|F}} に対して成り立つことは同値である（cf. [[カルタンの定理 B]]）．したがってアフィン多様体のコモロジーの研究は存在せず，直線束のコホモロジー群が中心的関心事である射影多様体とは非常に対照的である．

アフィン多様体は[[代数多様体]]の局所チャートの役割を果たす，つまり，[[射影多様体]]のような一般の代数多様体はアフィン多様体を貼り合わせることで得られる．多様体に付随する線型構造も（自明に）アフィン多様体である．例えば，接空間や，{{仮リンク|代数的ベクトル束|en|algebraic vector bundle}}のファイバーなど．

アフィン多様体は，[[圏同値]]の違いを除いて，アフィンスキームすなわち[[環のスペクトル]]の特別な場合である．[[複素幾何学]]において，アフィン多様体は[[シュタイン多様体]]の類似である．

== 導入 ==
アフィン代数多様体を記述する最も具体的な視点は，代数閉体 {{mvar|k}} に係数を持つ多項式方程式系の {{mvar|k}} での解の集合と考えるものである．より正確には，<math>m
</math>個の {{mvar|k}} 係数の多項式を<math>f_1, \ldots, f_m</math> とすると，それらはアフィン多様体（あるいはアフィン代数的集合）

:<math> V(f_1,\ldots, f_m) = \left\{(a_1,\ldots,a_n)\in k^n \mid f_1(a_1,\ldots, a_n)=\cdots=f_m(a_1,\ldots, a_n)=0\right\}</math>
を定義する．[[ヒルベルトの零点定理]]により，多様体の点は，その'''座標環'''すなわち {{mvar|k}} 代数 <math>R=k[x_1, \ldots, x_n]/\langle f_1, \ldots, f_m \rangle</math> の[[極大イデアル]]と，写像 <math>(a_1,\ldots, a_n) \mapsto \langle \overline{x_1-a_1}, \ldots, \overline{x_n-a_n}\rangle,</math> により1対1に対応する．ここで <math>\overline{x_i-a_i}</math> は多項式 <math>x_i-a_i</math> の商環 {{mvar|R}} における像を表す．[[スキーム論]]において，この対応は[[素イデアル]]に拡張され[[アフィンスキーム]] {{math|Spec(''R'')}} が定義され，これは[[圏同値]]を通して多様体と同一視できる．

座標環 {{mvar|R}} の元は多様体上の'''正則関数'''や'''多項式関数'''とも呼ばれる．それらは多様体上の'''正則関数環''' (ring of the regular functions) あるいは単に'''多様体の環''' (ring of the variety) をなす．実際，元 <math>\overline{f}\in R</math> は多項式 <math>f\in k[x_1,\ldots, x_n]</math> の像であり，{{mvar|f}} は {{mvar|k<sup>n</sup>}} から {{mvar|k}} への関数を定義する．{{mvar|f}} の多様体への制限は，商によって <math>\overline{f}</math> に写される多項式 {{mvar|f}} の取り方に依らない．

'''多様体の次元'''は任意の多様体や代数的集合に付随する整数であり，その重要性はその同値な定義の多さにある（{{仮リンク|代数多様体の次元|en|Dimension of an algebraic variety}}を参照）．

== 構造層 ==
アフィン多様体は以下に記述する構造層を備えて[[局所環付き空間]]である．

アフィン多様体 {{mvar|X}} とその座標環 {{mvar|A}} が与えられると，{{mvar|k}} 代数の層 <math>\mathcal{O}_X</math> を <math>\mathcal{O}_X(U) = \Gamma(U, \mathcal{O}_X)</math> を {{mvar|U}} 上の[[多様体の射|正則関数]]の環とすることで定義する．

{{mvar|A}} の各元 {{mvar|f}} に対して {{math|1=''D''(''f'') = { ''x'' {{!}} ''f''(''x'') ≠ 0 } }} とおく．それらは {{mvar|X}} の位相の基底をなすので，<math>\mathcal{O}_X</math> は開集合 {{math|''D''(''f'')}} での値によって決まる（[[加群の層#加群に付随する層]]も参照）．

重要な事実は，本質的に[[ヒルベルトの零点定理]]による次の主張である：
{{math_theorem|name=主張|math_statement=<math>\Gamma(D(f), \mathcal{O}_X) = A[f^{-1}]</math> が任意の {{math|''f'' &isin; ''A''}} に対して成り立つ．}}
<!--Proof:<ref>{{harvnb|Mumford|loc=Ch. I, § 4. Proposition 1.}}</ref> The inclusion ⊃ is clear. For the opposite, let ''g'' be in the left-hand side and <math>J = \{ h \in A | hg \in A \}</math>, which is an ideal. If ''x'' is in ''D''(''f''), then, since ''g'' is regular near ''x'', there is some open affine neighborhood ''D''(''h'') of ''x'' such that <math>g \in k[D(h)] = A[h^{-1}]</math>; that is, ''h''<sup>''m''</sup> ''g'' is in ''A'' and thus ''x'' is not in ''V''(''J''). In other words, <math>V(J) \subset \{ x | f(x) = 0 \}</math> and thus the [[Hilbert nullstellensatz]] implies ''f'' is in the radical of ''J''; i.e., <math>f^n g \in A</math>. <math>\square</math>-->

主張は，まず第一に，{{mvar|X}} が「局所環付き」空間であることを導く，なぜならば
:<math>\mathcal{O}_{X, x} = \varinjlim_{f(x) \ne 0} A[f^{-1}] = A_{\mathfrak{m}_x}</math>
だからである，ただし <math>\mathfrak{m}_x = \{ f \in A | f(x) = 0 \}</math>. 第二に，主張は <math>\mathcal{O}_X</math> が層であることを導く．実際，関数が {{math|''D''(''f'')}} 上（点ごとに）正則であれば，主張により {{math|''D''(''f'')}} の座標環に属さなければならない．つまり，「正則性」は貼り合わせることができる．

したがって，<math>(X, \mathcal{O}_X)</math> は局所環付き空間である．<!--
'''Remark''': One might wonder if the claim can be taken as an axiom (so that for example the use of Hilbert nullstellensatz is avoided and one can work over an arbitrary field). The idea would work and the resulting theory is a part of the [[scheme theory]].-->

== 関連項目 ==
*{{ill2|座標環上の表現|en|Representations on coordinate rings}}

== 参考文献 ==
The original article was written as a partial human translation of the corresponding French article.
*{{Hartshorne AG}}
* Milne, ''[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html Algebraic geometry]''
* Milne, ''[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/lec.html Lectures on Étale cohomology]''
*{{cite book | last=Mumford | first=David | authorlink=David Mumford | year=1999 | title=The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians | edition=2nd | publisher=[[Springer-Verlag]] | doi=10.1007/b62130 | isbn=354063293X }}

{{Algebraic-geometry-stub}}

{{DEFAULTSORT:あふいんたようたい}}
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]