アフィン接続のソースを表示

{{Pathnavbox|{{Pathnav|[[数学]]|[[幾何学]]|[[多様体論]]|[[微分幾何学]]|[[接続 (微分幾何学)|接続]]|[[接続 (ベクトル束)|ベクトルバンドルの接続]]}}}}{{正確性|date=2015年7月}}
{{要改訳}}
[[File:Parallel transport sphere.svg|right|thumb|球面上のアフィン接続は、ある点から別の点へのアフィン接平面を回転させる。そのようにすると、接触している点は平面上の曲線、つまり'''発展'''(development)方向を追いかける。]]
数学の一分野である[[微分幾何学]]において、'''アフィン接続'''(アフィンせつぞく、affine connection)は、[[滑らかな多様体]]上の幾何学的対象の一種。周辺の[[接空間]]が〈接続〉されることにより、[[ベクトル場|接ベクトル場]]が——固定された[[ベクトル空間]]に値を持つ函数のように——[[微分法|微分]]できるようになる。アフィン接続の考え方は、19世紀の幾何学と[[テンソル解析]]に由来するが、1920年代初頭に[[エリ・カルタン]]や[[ヘルマン・ワイル]]が（[[カルタン接続]]という一般理論や[[一般相対論]]の基礎付けの為に）研究するまでは十分に発展されなかった。用語はカルタンによるもので、[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> 内の接空間を平行移動によって同一視することに由来する。アフィン接続を指定することで、多様体が無限小で滑らかなだけでなく[[アフィン空間]]としてユークリッド空間のようになるということである。

滑らかな多様体上には無限個のアフィン接続が存在する。さらに多様体が[[リーマン計量]]を持つと、アフィン接続を自然に選択することができ、この接続を[[レヴィ・チヴィタ接続]]と呼ぶ。アフィン接続を選択することは、（接）ベクトル場を規定することと同値であり、合理的な性質（[[線型性]]や[[ライプニッツ則]]）を満たす。このことは、[[接バンドル]]上の[[共変微分]]や（線型）[[接続 (主バンドル)|接続]]として、アフィン接続が妥当な定義であることを意味する。アフィン接続の選択は、曲線に沿って変換する接ベクトルを意味する[[平行移動 (リーマン幾何学)|平行移動]]の考え方と同値でもある。このことはまた、{{仮リンク|標構バンドル|en|frame bundle}}上の平行性を持つ変換を定義する。標構バンドル上の無限小平行移動は、アフィン接続、[[アフィン群]]の[[カルタン接続]]、あるいは、標構バンドル上の[[接続 (主バンドル)|接続]]の別の記述であることをも意味する。

アフィン接続の主な不変量は、[[捩率テンソル|捩率]]と[[曲率]]である。捩率はどのようにして、ベクトル場の[[リー微分|リーブラケット]]がアフィン接続から再現可能かを測る。アフィン接続は、多様体の（アフィン）測地線を定義することに使われる。ここで使われる'''直線'''の幾何学である測地線は、通常の[[ユークリッド幾何学]]からは非常に異なるにもかかわらず、ユークリッド空間の'''直線'''の一般化となっている。直線と測地線との違いは、測地線が接続の曲率の中に全ての情報をカプセル化していることである。
<!--[[File:Parallel transport sphere.svg|right|thumb|An affine connection on the sphere rolls the affine tangent plane from one point to another.  As it does so, the point of contact traces out a curve in the plane: the ''development''.]]
In the branch of [[mathematics]] called [[differential geometry]], an '''affine connection''' is a geometric object on a [[smooth manifold]] which ''connects'' nearby [[tangent space]]s, and so permits [[vector field|tangent vector fields]] to be [[derivative|differentiated]] as if they were functions on the manifold with values in a fixed [[vector space]]. The notion of an affine connection has its roots in 19th-century geometry and [[tensor calculus]], but was not fully developed until the early 1920s, by [[Élie Cartan]] (as part of his general theory of [[Cartan connection|connections]]) and [[Hermann Weyl]] (who used the notion as a part of his foundations for [[general relativity]]). The terminology is due to Cartan and has its origins in the identification of tangent spaces in [[Euclidean space]] '''R'''<sup>''n''</sup> by translation: the idea is that a choice of affine connection makes a manifold look infinitesimally like Euclidean space not just smoothly, but as an [[affine space]].

On any manifold of positive dimension there are infinitely many affine connections. If the manifold is further endowed with a [[Riemannian metric]] then there is a natural choice of affine connection, called the [[Levi-Civita connection]]. The choice of an affine connection is equivalent to prescribing a way of differentiating vector fields which satisfies several reasonable properties ([[linearity]] and the [[product rule|Leibniz rule]]). This yields a possible definition of an affine connection as a [[covariant derivative]] or (linear) [[connection (vector bundle)|connection]] on the [[tangent bundle]]. A choice of affine connection is also equivalent to a notion of [[parallel transport]], which is a method for transporting tangent vectors along curves. This also defines a parallel transport on the [[frame bundle]]. Infinitesimal parallel transport in the frame bundle yields another description of an affine connection, either as a [[Cartan connection]] for the [[affine group]] or as a [[connection (principal bundle)|principal connection]] on the frame bundle.

The main invariants of an affine connection are its [[torsion tensor|torsion]] and its [[curvature]]. The torsion measures how closely the [[Lie derivative|Lie bracket]] of vector fields can be recovered from the affine connection. Affine connections may also be used to define (affine) [[geodesics]] on a manifold, generalizing the ''straight lines'' of Euclidean space, although the geometry of those straight lines can be very different from usual [[Euclidean geometry]]; the main differences are encapsulated in the curvature of the connection.-->

==動機と歴史==

[[滑らかな多様体]]は、局所的にユークリッド空間 '''R'''<sup>''n''</sup> の滑らかな変形に見える数学的な対象である。たとえば、滑らかな曲線や曲面は、局所的には直線や平面の滑らかな変形に見える。[[滑らかな函数]]と[[ベクトル場]]は、まさにユークリッド空間上であるかのように多様体を定義することができ、多様体上の[[スカラー]]函数は、自然な方法で微分することが可能である。ベクトル場の微分は、ユークリッド空間においては簡単な問題である。なぜなら、点 ''p'' における接ベクトル空間が普通に（平行移動によって）近くの点 ''q'' での接ベクトル空間と同一視できるからである。しかしながら、一般の多様体上でのベクトル場の微分はそう単純にはいかない。一般に、多様体上では近くの接空間の間にそのような自然な同一視は存在しないので、近接する点での接空間を well-defined な方法で比較することはできない。アフィン接続の考えは、近くの接空間を「接続する」ことにより、この問題を修正することで導入された。このアイデアの起源は、2つの源へと遡ることができる、{{仮リンク|曲面の微分幾何学|label=曲面論|en|Differential geometry of surfaces}}と[[テンソル解析]]である。
<!--==Motivation and history==

A [[smooth manifold]] is a [[mathematical]] object which looks locally like a smooth deformation of Euclidean space '''R'''<sup>''n''</sup>: for example a smooth curve or surface looks locally like a smooth deformation of a line or a plane. [[Smooth function]]s and [[vector field]]s can be defined on manifolds, just as they can on Euclidean space, and [[scalar (mathematics)|scalar]] functions on manifolds can be differentiated in a natural way. However, differentiation of vector fields is less straightforward: this is a simple matter in Euclidean space, because the tangent space of based vectors at a point ''p'' can be identified naturally (by translation) with the tangent space at a nearby point ''q''. On a general manifold, there is no such natural identification between nearby tangent spaces, and so tangent vectors at nearby points cannot be compared in a well-defined way.  The notion of an affine connection was introduced to remedy this problem by ''connecting'' nearby tangent spaces. The origins of this idea can be traced back to two main sources: [[Differential geometry of surfaces|surface theory]] and [[tensor calculus]].-->

===曲面論からの動機===

{{see also|[[カルタン接続]]}}

3-次元ユークリッド空間の中の滑らかな曲面 ''S'' を考える。任意の点の近くで、''S'' はユークリッド空間の[[アフィン空間|アフィン部分空間]]である[[接ベクトル空間|接平面]]により近似することができる。19世紀の微分幾何学者は、{{仮リンク|発展 (微分幾何学)|label=発展|en|development (differential geometry)}}の考えに興味をもった．これは、ある曲面を他の曲面に沿って[[滑りとねじれのない転がし|滑ったり捩れたり（ツイストしたり）しないように'''転がす (roll)''']]ことについての考えである。特に ''S'' の点への接平面は、''S'' 上で転がることができる。これは、''S'' が 2-球面のような曲面（[[凸集合|凸な]]領域の滑らかな境界）である場合には想像しやすいはずだ。 ''S'' 上で接平面を転がしていくと、その接触点が ''S'' 上にある曲線を描く。逆に、''S'' 上の曲線が与えられると、接平面をその曲線に沿って転がしていくことができる。この考え方が、ある曲線上の異なる点における接平面たちを同一視するための方法となる。特に、曲線上のある点での接空間ないの接ベクトルは、曲線上の任意の点での一意の接ベクトルと同一視される。これらの同一視は、常に、ひとつの接平面から別の平面への[[アフィン変換]]により与えられる。

アフィン変換による、曲線に沿ったこの接ベクトルの平行移動の考えは、特徴的な性質をもっている。接平面が曲面と接触する点は、平行移動の下に曲線とともに'''常に移動する'''（すなわち、接平面が曲面上を転がっていきつつ、その接触点も移動していく）。この基本的条件は[[カルタン接続]]の特徴である。より現代的アプローチでは、接触点は接平面の'''原点'''と見なすことができ（従って接空間はベクトル空間である）、原点の移動は変換により修正され、従って平行移動はアフィンというよりも線型となる。

しかしながら、カルタン接続の観点では、ユークリッド空間のアフィン部分空間は、'''モデル'''曲面 - 3次元ユークリッド空間の中の最も単純な曲面であり、平面のアフィン群の下に等質 - であり、すべての滑らかな曲面は各々の点で接する一意にモデル曲面を持つ．これらのモデル曲面は、[[フェリックス・クライン]]の[[エルランゲンプログラム]]の意味での'''クラインの幾何学'''である。より一般的には、''n'' 次元アフィン空間は[[アフィン群]] Aff(''n'') の{{仮リンク|クライン幾何学|en|Klein geometry|redirect=1}}である。点の安定化因子は[[一般線型群]] GL(''n'') である。従って、''n''-次元アフィン多様体は、無限小を考えると ''n''-アフィン空間のように見える多様体である。
<!--===Motivation from surface theory===

{{see also|Cartan connection}}

Consider a smooth surface ''S'' in 3-dimensional Euclidean space. Near to any point, ''S'' can be approximated by its [[tangent plane]] at that point, which is an [[affine subspace]] of Euclidean space. Differential geometers in the 19th century were interested in the notion of [[development (differential geometry)|development]] in which one surface was ''rolled'' along another, without ''slipping'' or ''twisting''. In particular, the tangent plane to a point of ''S'' can be rolled on ''S'': this should be easy to imagine when ''S'' is a surface like the 2-sphere, which is the smooth boundary of a [[convex set|convex]] region. As the tangent plane is rolled on ''S'', the point of contact traces out a curve on ''S''. Conversely, given a curve on ''S'', the tangent plane can be rolled along that curve. This provides a way to identify the tangent planes at different points along the curve: in particular, a tangent vector in the tangent space at one point on the curve is identified with a unique tangent vector at any other point on the curve. These identifications are always given by [[affine transformation]]s from one tangent plane to another.

This notion of parallel transport of tangent vectors, by affine transformations, along a curve has a characteristic feature: the point of contact of the tangent plane with the surface ''always moves'' with the curve under parallel translation (i.e., as the tangent plane is rolled along the surface, the point of contact moves). This generic condition is characteristic of [[Cartan connection]]s. In more modern approaches, the point of contact is viewed as the ''origin'' in the tangent plane (which is then a vector space), and the movement of the origin is corrected by a translation, so that parallel transport is linear, rather than affine.

In the point of view of Cartan connections, however, the affine subspaces of Euclidean space are ''model'' surfaces &mdash; they are the simplest surfaces in Euclidean 3-space, and are homogeneous under the affine group of the plane &mdash; and every smooth surface has a unique model surface tangent to it at each point. These model surfaces are ''Klein geometries'' in the sense of [[Felix Klein]]'s [[Erlangen programme]]. More generally, an ''n''-dimensional affine space is a [[Klein geometry]] for the [[affine group]] Aff(''n''), the stabilizer of a point being the [[general linear group]] GL(''n''). An affine ''n''-manifold is then a manifold which looks infinitesimally like ''n''-dimensional affine space.-->

===テンソル解析からの動機===

{{see also|共変微分}}

[[File:Affine connection example.svg|thumbnail|320px|歴史的には、共変微分（もしくは、計量によるレヴィ・チヴィタ接続）を使い、他のベクトルの方向に沿ったベクトルの変化率を記述した。ここで、2次元のユークリッド空間上では、青のベクトル場 ''X'' はどこでも [[1-形式]](1-form) d''r'' を 1 へ写す。赤のベクトル場 ''Y'' は 1-形式 dθ をどこでも ''r'' へ写す。計量 d''s''<sup>2</sup> = d''r''<sup>2</sup> + dθ<sup>2</sup> により保証され、レヴィ・チヴィタ接続 ∇<sub>''Y''</sub>''X'' はどこでも 0 となり、''X'' ｊは ''Y'' に沿っては変化しないことを意味する。言い換えると、''X'' は各々の同心円にそって[[平行移動 (リーマン幾何学)|平行移動]]する。 ∇<sub>''X''</sub>''Y'' はどこでも dθ を 1 へ写し、これは ''Y'' は放射方向の変化率は「定数」である。]]

アフィン接続の第二の動機は、ベクトル場の[[共変微分]]の考えから来る。座標独立な方法が登場する以前は、{{仮リンク|座標チャート|en|coordinate chart|redirect=1}}の中の[[ベクトル空間|ベクトルの成分]]を使いベクトル場を研究する必要があった。これらの成分を微分することはできるが、この微分は座標変換の下で管理可能な方法では変換しない。正しい記述は[[エルヴィン・クリストッフェル]](Elwin Bruno Christoffel)により（[[ベルンハルト・リーマン]](Bernhard Riemann)のアイデアに従い、1870年代に導入され、座標変換の下に{{仮リンク|共変変換|label=共変な|en|covariant transformation}}変換に沿ったベクトル場の（正しい）微分 &mdash; これらを集大成した結果は、[[クリストッフェル記号]]として知られる。このアイデアは、[[グレゴリオ・リッチ・クルバストロ]](Gregorio Ricci-Curbastro)と彼の学生の[[トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ|レヴィ・チヴィタ]](Tullio Levi-Civita)により、1880年代と20世紀への変わり目の間に（現在、[[テンソル解析]]として知られている）'''絶対微分法'''の理論へ発展した。

テンソル解析は、実際は、1915年の[[アルベルト・アインシュタイン]](Albert Einstein)の[[一般相対論]]の登場により息を吹き返した。一般相対論の何年か後に、レヴィ・チヴィタは、リーマン計量に付随する一意な接続を定式化した。現在、この接続は、[[レヴィ・チヴィタ接続]]として知られている、さらに一般的なアフィン接続は、1920年頃に、[[ヘルマン・ワイル]](Hermann Weyl)<ref>{{Harvnb|Weyl|1918}}, 5 editions to 1922.</ref>により研究され、彼は詳細に数学的な一般相対論の基礎付けを行い、[[エリ・カルタン]](Élie Cartan)<ref name="Cartan-affine">{{Harvnb|Cartan|1923}}.</ref> は、曲面論から来る幾何学的アイデアを考案した。
<!--===Motivation from tensor calculus===

{{see also|covariant derivative}}

[[File:Affine connection example.svg|thumbnail|Historically, people used covariant derivative (or Levi-Civita connection given by metric) to describe the variation rate of a vector along the direction of another vector. Here on the punctured 2-dimensional Euclidean space, the blue vector field ''X'' sends the [[One-form|1-form]] d''r'' to 1 everywhere. The red vector field ''Y'' sends the 1-form dθ to ''r'' everywhere. Endorsed by the metric d''s''<sup>2</sup> = d''r''<sup>2</sup> + dθ<sup>2</sup>, the Levi-Civita connection ∇<sub>''Y''</sub>''X'' is 0 everywhere, indicating ''X'' has no change along ''Y''. In other words, ''X'' [[parallel transport]]s along each [[concentric]] circle. ∇<sub>''X''</sub>''Y'' sends dθ to 1 everywhere, implying ''Y'' has a "constant" changing rate on the radial direction.

The second motivation for affine connections comes from the notion of a [[covariant derivative]] of vector fields. Before the advent of coordinate-independent methods, it was necessary to work with vector fields using their [[Vector (geometric)|components]] in [[coordinate chart]]s. These components can be differentiated, but the derivatives do not transform in a manageable way under changes of coordinates. Correction terms were introduced by [[Elwin Bruno Christoffel]] (following ideas of [[Bernhard Riemann]]) in the 1870s so that the (corrected) derivative of one vector field along another transformed [[covariant transformation|covariantly]] under coordinate transformations &mdash; these correction terms subsequently came to be known as [[Christoffel symbol]]s. This idea was developed into the theory of the ''absolute differential calculus'' (now known as [[tensor calculus]]) by [[Gregorio Ricci-Curbastro]] and his student [[Tullio Levi-Civita]] between 1880 and the turn of the 20th century.

The tensor calculus really came to life, however, with the advent of [[Albert Einstein]]'s theory of [[general relativity]] in 1915. A few years after this, Levi-Civita formalized the unique connection associated to a Riemannian metric, now known as the [[Levi-Civita connection]]. More general affine connections were then studied around 1920, by [[Hermann Weyl]],<ref>{{Harvnb|Weyl|1918}}, 5 editions to 1922.</ref> who developed a detailed mathematical foundation for general relativity, and [[Élie Cartan]],<ref name="Cartan-affine">{{Harvnb|Cartan|1923}}.</ref> who made the link with the geometrical ideas coming from surface theory.-->

===アプローチ===

アフィン接続へのアプローチとその一般化は様々であり、複雑な歴史をもっている。

最も一般的なアプローチは、おそらく、共変微分による定義であろう。一方、ワイルの考え方は、[[ゲージ理論]]や{{仮リンク|ゲージ共変微分|en|gauge covariant derivative}}という形であり、物理学者により採用されている。他方、共変微分は{{仮リンク|ジャン・ルイ・コシュル|en|Jean-Louis Koszul}}(Jean-Louis Koszul)により抽象化され、彼は[[ベクトル束]]上の（線型、あるいはKoszul）[[接続 (主バンドル)|接続]]を定義した。この言葉を使うと、アフィン接続は単に[[接束]]上の[[共変微分]]、あるいは、（線型）接続である。

しかしながら、このアプローチは、背後にある幾何学や、その名前の由来を説明しない<ref>結果として、多くの数学者たちは、[[平行移動 (リーマン幾何学)|平行移動]]が線型でありアフィンではないということに基づいており、接バンドル上の接続のことを（'''アフィン接続'''の代わりに）'''線型接続'''という用語を使用している。しかし、同じ性質がベクトルバンドル上の任意の（Koszul、あるいは線型エーレスマン）[[接続 (主バンドル)|接続]]に対して成り立つ。元来、'''アフィン接続'''という用語は、カルタンの意味でのアフィン'''[[カルタン接続]]'''を短くしたものであり、このことは接続はベクトルバンドルというより、任意の接バンドル上で定義される。線型カルタン接続の考えは、実際は、線型表現が推移的ではないので、それ以上の意味を持っているわけではない。</ref> この用語は実際は、変換によりユークリッド空間での接空間の同一視に起源をもっている。この性質は、''n''-次元ユークリッド空間は[[アフィン空間]]でもあることに起源がある。（言い換えると、ユークリッド空間は、群の作用の下に{{仮リンク|主等質空間|en|principal homogeneous space}}である、あるいは、[[テンソル]]であると言える。）導入部でも述べたように、この詳細を記述するためのいくつかの方法がある。アフィン接続は、曲線に沿ったベクトル場の平行移動であるという事実を使う。このことは{{仮リンク|標構バンドル|en|frame bundle}}の平行移動を定義する。標構バンドル上の無限小平行移動は、カルタン接続として、あるいは標構バンドルの主アフィン接続の GL(''n'') 接続として、アフィン群 Aff(''n'') の別な表現でもある。
<!--===Approaches===

The complex history has led to the development of widely varying approaches to and generalizations of the affine connection concept.

The most popular approach is probably the definition motivated by covariant derivatives. On the one hand, the ideas of Weyl were taken up by physicists in the form of [[gauge theory]] and [[gauge covariant derivative]]s. On the other hand, the notion of covariant differentiation was abstracted by [[Jean-Louis Koszul]], who defined (linear or Koszul) [[connection (vector bundle)|connections]] on [[vector bundle]]s. In this language, an affine connection is simply a [[covariant derivative]] or (linear) [[connection (vector bundle)|connection]] on the [[tangent bundle]].

However, this approach does not explain the geometry behind affine connections nor how they acquired their name.<ref>As a result, many mathematicians use the term ''linear connection'' (instead of ''affine connection'') for a connection on the tangent bundle, on the grounds that [[parallel transport]] is linear and not affine. However, the same property holds for any (Koszul or linear Ehresmann) [[connection (vector bundle)|connection on a vector bundle]]. Originally the term ''affine connection'' is short for an affine ''[[Cartan connection|connection]]'' in the sense of Cartan, and this implies that the connection is defined on the tangent bundle, rather than an arbitrary vector bundle. The notion of a linear Cartan connection does not really make much sense, because linear representations are not transitive.</ref>  The term really has its origins in the identification of tangent spaces in Euclidean space by translation: this property means that Euclidean ''n''-space is an [[affine space]]. (Alternatively, Euclidean space is a [[principal homogeneous space]] or [[torsor]] under the group of translations, which is a subgroup of the affine group.) As mentioned in the introduction, there are several ways to make this precise: one uses the fact that an affine connection defines a notion of [[parallel transport]] of vector fields along a curve. This also defines a parallel transport on the [[frame bundle]]. Infinitesimal parallel transport in the frame bundle yields another description of an affine connection, either as a Cartan connection for the affine group Aff(''n'') or as a principal GL(''n'') connection on the frame bundle.-->

==微分作用素としての定義==

{{see also|共変微分|接続 (主バンドル)}}

''M'' を滑らかな[[多様体]]、C<sup>∞</sup>(''M'',T''M'') を ''M'' 上の[[ベクトル場]]の空間、つまり、[[接バンドル]] T''M'' の[[断面 (位相幾何学)|滑らかな切断]]の空間とすると、''M'' 上の'''アフィン接続''' (affine connection) は、すべての ''C''<sup>∞</sup>(''M'','''R''') の滑らかな函数 ''f'' とすべての ''M'' 上のベクトル場 ''X'', ''Y'' に対し次の 2項目が成り立つような[[双線型写像]]

: <math>\begin{matrix}
C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\
(X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y,
\end{matrix}</math>
である。
# <math>\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y</math> つまり、∇ は第一変数について ''C''<sup>∞</sup>(''M'','''R''')-'''線型'''である。
# <math>\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY</math> つまり、∇ は第二変数について'''ライプニッツ則'''を満たす。
<!--==Formal definition as a differential operator==

{{see also|covariant derivative|connection (vector bundle)}}

Let ''M'' be a smooth [[manifold]] and let C<sup>∞</sup>(''M'',T''M'') be the space of [[vector fields]] on ''M'', that is, the space of [[section (fiber bundle)|smooth sections]] of the [[tangent bundle]] T''M''. Then an '''affine connection''' on ''M'' is a [[bilinear map]]

: <math>\begin{matrix}
C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\
(X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y,
\end{matrix}</math>
such that for all smooth functions ''f'' in ''C''<sup>∞</sup>(''M'','''R''') and all vector fields ''X'', ''Y'' on ''M'':
# <math>\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y</math>, that is, ∇ is ''C''<sup>∞</sup>(''M'','''R''')-''linear'' in the first variable;
# <math>\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY</math>, that is, ∇ satisfies ''Leibniz rule'' in the second variable.-->

===基本的性質===

* 上の性質 1 より、点 ''x'' ∈ ''M'' での ∇<sub>''X''</sub>''Y'' の値は、''x'' での ''X'' の値にのみ依存し、''M''−{''x''} での ''X'' の値には依存しないことが従う。点 ''x'' &isin; ''M'' での ∇<sub>''X''</sub>''Y'' の値が ''x'' の近傍での ''Y'' の値のみに依存することは、上記の性質 1 に従う。

* ∇<sup>1</sup>, ∇<sup>2</sup> がアフィン接続であれば、''x'' での ∇<sup>1</sup><sub>''X''</sub>''Y'' − ∇<sup>2</sup><sub>''X''</sub>''Y'' の値は、Γ<sub>''x''</sub>(''X''<sub>''x''</sub>,''Y''<sub>''x''</sub>) と書くことができる。ここに
::Γ<sub>''x''</sub>: T<sub>''x''</sub>''M'' × T<sub>''x''</sub>''M'' &rarr; T<sub>''x''</sub>''M''
:は双線型であり、''x'' になめらかに依存する。（すなわち、これは滑らかな{{仮リンク|バンドル準同型|en|bundle homomorphism}}を定義する。）逆に、∇ がアフィン接続で Γ が滑らかな双線型なバンドル準同型（''M'' 上の[[接続形式]]という）であれば、∇+Γ はアフィン接続である。

* ''M'' が '''R'''<sup>''n''</sup> の開集合であれば、''M'' の接バンドルは[[自明バンドル]] ''M''×'''R'''<sup>''n''</sup> である。この状況の下で、''M'' 上の標準的なアフィン接続 d が存在する。任意のベクトル場 ''Y'' は ''M'' から '''R'''<sup>''n''</sup> への滑らかな写像 ''V'' により与えられる。すると、d<sub>''X''</sub>''Y'' は ''M'' から '''R'''<sup>''n''</sup> への滑らかな函数 d''V''(''X'')=&part;<sub>''X''</sub> に対応するベクトル場である。従って、''M'' 上の他の任意のアフィン接続 ∇ は、∇ = d + Γ と書くことができる。ここに Γ は ''M'' の接続形式である。

* さらに一般的に、接バンドルの[[ファイバー束|局所自明化]]は、T''M'' の ''M'' の開集合 ''U'' 上への制限と ''U'' × '''R'''<sup>''n''</sup> との間の{{仮リンク|バンドル写像|label=バンドル同型|en|bundle map}}である。アフィン接続 ∇ の ''U'' への制限は、Γ を ''U'' の上の接続形式としたとき、形式 d + Γ の形に書くことができる。
<!--===Elementary properties===

* It follows from the property (1) above that the value of ∇<sub>''X''</sub>''Y'' at a point ''x'' ∈ ''M'' depends only on the value of ''X'' at ''x'' and not on the value of ''X'' on ''M''−{''x''}. It also follows from property (2) above that the value of ∇<sub>''X''</sub>''Y'' at a point ''x'' &isin; ''M'' depends only on the value of ''Y'' on a neighbourhood of ''x''.

* If ∇<sup>1</sup>, ∇<sup>2</sup> are affine connections then the value at ''x'' of ∇<sup>1</sup><sub>''X''</sub>''Y'' − ∇<sup>2</sup><sub>''X''</sub>''Y'' may be written Γ<sub>''x''</sub>(''X''<sub>''x''</sub>,''Y''<sub>''x''</sub>) where
::Γ<sub>''x''</sub>: T<sub>''x''</sub>''M'' × T<sub>''x''</sub>''M'' &rarr; T<sub>''x''</sub>''M''
:is bilinear and depends smoothly on ''x'' (i.e., it defines a smooth [[bundle homomorphism]]). Conversely if ∇ is an affine connection and Γ is such a smooth bilinear bundle homomorphism (called a [[connection form]] on ''M'') then ∇+Γ is an affine connection.

* If ''M'' is an open subset of '''R'''<sup>''n''</sup>, then the tangent bundle of ''M'' is the [[trivial bundle]] ''M''×'''R'''<sup>''n''</sup>. In this situation there is a canonical affine connection d on ''M'': any vector field ''Y'' is given by a smooth function ''V'' from ''M'' to '''R'''<sup>''n''</sup>; then d<sub>''X''</sub>''Y'' is the vector field corresponding to the smooth function d''V''(''X'')=&part;<sub>''X''</sub>''Y'' from ''M'' to '''R'''<sup>''n''</sup>. Any other affine connection ∇ on ''M'' may therefore be written ∇ = d + Γ, where Γ is a connection form on ''M''.

* More generally, a [[local trivialization]] of the tangent bundle is a [[bundle map|bundle isomorphism]] between the restriction of T''M'' to an open subset ''U'' of ''M'', and ''U'' × '''R'''<sup>''n''</sup>. The restriction of an affine connection ∇ to ''U'' may then be written in the form d + Γ where Γ is a connection form on ''U''.-->

==アフィン接続に関する平行移動==

{{see also|平行移動 (リーマン幾何学)}}

[[File:Parallel transport sphere2.svg|thumb|right|球面の中の曲線にそった接ベクトルの平行移動]]
多様体上の異なる点での接ベクトルの比較は、一般的には [[well-defined]] な過程を通すことは困難である。アフィン接続は[[平行移動 (リーマン幾何学)|平行移動]]の考えを使い、このことを修正するひとつの方法であり、実際、アフィン接続を定義することに使うことができる。

''M'' をアフィン接続 ∇ を持つ多様体としたとき、すべてのベクトル場 ''Y'' に対して、∇<sub>''Y''</sub>''X'' = 0 となるという意味で ∇''X'' = 0 であれば、ベクトル場は'''平行'''であると言う。直感的言うと、平行なベクトルは'''すべての[[微分法|微分]]が 0 に等しく'''なり、従って、ある意味では'''定数'''となる。2つの点 ''x'' と ''y'' での平行ベクトル場を解析することにより、2つの点での接ベクトルの間の同一視が得られる。そのような接ベクトルを互いに'''平行移動'''の関係と言う。

不幸にも、平行ベクトル場は一般には存在しない。方程式 ∇''X'' = 0 は{{仮リンク|過剰決定系|en|overdetermined system}}である[[偏微分方程式]]で、この方程式の[[可積分条件]]は、（以下に見るように）'''曲率''' ∇ が 0 となるときのみである。しかし、この方程式を ''x'' から ''y'' への[[曲線]]へ限定すると、方程式は[[常微分方程式]]となり、''x'' での ''X'' の任意の初期値に対して一意な解が存在する。
<!--==Parallel transport for affine connections==

{{see also|parallel transport}}

[[File:Parallel transport sphere2.svg|thumb|right|Parallel transport of a tangent vector along a curve in the sphere.]]
Comparison of tangent vectors at different points on a manifold is generally not a well-defined process. An affine connection provides one way to remedy this using the notion of [[parallel transport]], and indeed this can be used to give a definition of an affine connection.

Let ''M'' be a manifold with an affine connection ∇. Then a vector field ''X'' is said to be '''parallel''' if ∇''X'' = 0 in the sense that for any vector field ''Y'', ∇<sub>''Y''</sub>''X''=0. Intuitively speaking, parallel vectors have ''all their [[derivative]]s equal to zero'' and are therefore in some sense ''constant''. By evaluating a parallel vector field at two points ''x'' and ''y'', an identification between a tangent vector at ''x'' and one at ''y'' is obtained. Such tangent vectors are said to be '''parallel transports''' of each other.

Unfortunately, nonzero parallel vector fields do not, in general, exist, because the equation ∇''X'' = 0 is a [[partial differential equation]] which is [[overdetermined system|overdetermined]]: the [[integrability condition]] for this equation is the vanishing of the '''curvature''' of ∇ (see below). However, if this equation is restricted to a [[curve]] from ''x'' to ''y'' it becomes an [[ordinary differential equation]]. There is then a unique solution for any initial value of ''X'' at ''x''.-->

さらに詳しくは、γ : ''I'' → ''M'' を区間 [''a'',''b''] でパラメトライズされた[[曲線|滑らかな曲線]]とし、''x'' = γ(''a'') としたときに ξ ∈ T<sub>''x''</sub>''M'' とする。さらに、次の 2つの条件を満たすとき、γ に沿ったベクトル場 ''X'' （と、特に、''y'' = γ(''b'') でのこのベクトル場の値）を '''γ に沿った ξ の平行移動'''と呼ぶ。
#すべての ''t'' ∈ [''a'',''b''] に対し、　<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}X=0</math>
#<math>X_{\gamma(a)} = \xi</math>

第一の条件は、''X'' が{{仮リンク|引き戻しバンドル|en|pullback bundle}}(pullback bundle) γ*T''M'' 上の{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|en|pullback (differential geometry)|label=引き戻し接続)}}の観点から、平行であることを意味する。しかし、[[ファイバー束|局所自明化]]で、第一条件は1階の線型[[常微分方程式]]となり、第二の条件であたえられた任意の初期条件に対し一意な解を持つ（たとえば、{{仮リンク|ピカール・リンデレフの定理|en|Picard–Lindelöf theorem|redirect=1}}により）。

このように、平行移動は、直感的な意味で「同じ方向を向く」ことを保ったアフィン接続を使い、曲線に沿って動く接ベクトルの方法をもたらす。このことは曲線の 2つの端点での接空間の間の[[線型同型]]をもたらす。この方法で得られた同型は、一般には曲線の選択に依存するそうでなければ、''M'' 上のすべての平行ベクトル場を定義することに使うことができて、∇ が 0 であるときのみこのことが起きる。

線型同値は、線型空間の[[正規直交基底|基底]]、あるいは'''標構'''の上への作用により決定される。従って、平行移動は曲線に沿った（接）{{仮リンク|標構バンドル|en|frame bundle}} GL(''M'') の移動された元の方法として特徴付けることもできる。言い換えると、アフィン接続は、''M'' 内の任意の曲線 γ の GL(''M'') 内の曲線 <math>\tilde\gamma</math> への'''持ち上げ'''(lift)をもたらす。
<!--More precisely, if γ : ''I'' → ''M'' a [[curve|smooth curve]] parametrized by an interval [''a'',''b''] and ξ ∈ T<sub>''x''</sub>''M'', where ''x''=γ(''a''), then a [[vector field]] ''X'' along γ (and in particular, the value of this vector field at ''y''=γ(''b'')) is called the '''parallel transport of ξ along γ''' if
#<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}X=0</math>, for all ''t'' ∈ [''a'',''b'']
#<math>X_{\gamma(a)} = \xi.</math>
Formally, the first condition means that ''X'' is parallel with respect to the [[pullback (differential geometry)|pullback connection]] on the [[pullback bundle]] γ*T''M''. However, in a [[local trivialization]] it is a first-order system of [[linear differential equation|linear ordinary differential equations]], which has a unique solution for any initial condition given by the second condition (for instance, by the [[Picard–Lindelöf theorem]]).

Thus parallel transport provides a way of moving tangent vectors along a curve using the affine connection to keep them "pointing in the same direction" in an intuitive sense, and this provides a [[linear isomorphism]] between the tangent spaces at the two ends of the curve. The isomorphism obtained in this way will in general depend on the choice of the curve: if it does not, then parallel transport along every curve can be used to define parallel vector fields on ''M'', which can only happen if the curvature of ∇ is zero.

A linear isomorphism is determined by its action on an [[Basis (linear algebra)#Ordered bases and coordinates|ordered basis]] or '''frame'''. Hence parallel transport can also be characterized as a way of transporting elements of the (tangent) [[frame bundle]] GL(''M'') along a curve. In other words, the affine connection provides a '''lift''' of any curve γ in ''M'' to a curve <math>\tilde\gamma</math> in GL(''M'').-->

==標構バンドル上の定義==

{{see also|接続 (主バンドル)}}

アフィン接続は、多様体 ''M'' の{{仮リンク|標構バンドル|en|frame bundle}} F''M'' や GL(''M'') 上の[[接続 (主バンドル)|主 GL(''n'') 接続]] ω としても定義することができる。さらに詳しくは、ω は、次の 2つの条件を満たす、標構バンドルの接バンドル T(F''M'') から ''n''×''n'' 行列の空間への滑らかな写像である（それらは、可逆な ''n''×''n'' 行列である[[リー群]] GL(''n'') の[[リー代数]] '''gl'''(''n'') である)。
# ω は T(F''M'') や '''gl'''(''n'') 上の作用に関して、{{仮リンク|同変|en|equivariant}}である。
# '''gl'''(''n'') の任意の ξ に対して ω(''X''<sub>ξ</sub>) = ξ である。ここに ''X''<sub>ξ</sub> は ξ に対応する F''M'' 上のベクトル場である。

そのような接続 ω は直ちに、接バンドル上のみならず{{仮リンク|随伴バンドル|label=随伴した|en|associated bundle}}[[ベクトルバンドル]]上を、GL(''n'') の任意の[[群表現]]への[[共変微分]]の定義を拡張した。これは[[テンソル]]や{{仮リンク|テンソル密度|en|tensor density}}(tensor densities)のバンドルを意味している。逆に、接バンドル上のアフィン接続は、たとえば、曲線を平行移動により定義される標構バンドルへ持ち上げるため、ω が接ベクトル上で 0 となることを要求することにより、標構バンドル上のアフィン接続を決定する。

標構バンドルは、{{仮リンク|ソルダー形式|label=接合形式|en|frame bundle#Solder form}} θ : T(F''M'') → '''R'''<sup>''n''</sup> も持っていて、ベクトル場 ''X''<sub>ξ</sub> の点での値のように{{仮リンク|垂直バンドル|label=垂直ベクトル|en|vertical bundle}}が 0 となるという意味で'''水平'''である。実際、θ は最初に接ベクトルの ''M'' への（標構 ''f'' での F''M'' への）射影により、従って、標構 ''f'' での ''M'' 上の接ベクトルの成分をとることにより、定義される。θ は GL(''n'')-同変である（ここに、GL(''n'') は '''R'''<sup>''n''</sup> 上へ行列の積として作用する）。

ペア (θ,ω) は、自明バンドル F''M'' × '''aff'''(''n'') を持つ T(F''M'') の{{仮リンク|バンドル同型|en|bundle isomorphism}}を定義する。ここに、'''aff'''(''n'') は '''R'''<sup>''n''</sup> と '''gl'''(''n'') の[[デカルト積]]である（アフィン群のリー代数とみなし、[[半直積]]的に作用する、以下を参照）。
<!--==Formal definition on the frame bundle==

{{see also|connection (principal bundle)}}

An affine connection may also be defined as a [[connection (principal bundle)|principal GL(''n'') connection]] ω on the [[frame bundle]] F''M'' or GL(''M'') of a manifold ''M''. In more detail, ω is a smooth map from the tangent bundle T(F''M'') of the frame bundle to the space of ''n''×''n'' matrices (which is the [[Lie algebra]] '''gl'''(''n'') of the [[Lie group]] GL(''n'') of invertible ''n''×''n'' matrices) satisfying two properties:
# ω is [[equivariant]] with respect to the action of GL(''n'') on T(F''M'') and '''gl'''(''n'');
# ω(''X''<sub>ξ</sub>) = ξ for any ξ in '''gl'''(''n''), where ''X''<sub>ξ</sub> is the vector field on F''M'' corresponding to ξ.

Such a connection ω immediately defines a [[covariant derivative]] not only on the tangent bundle, but on [[vector bundle]]s [[associated bundle|associated]] to any [[group representation]] of GL(''n''), including bundles of [[tensor]]s and [[tensor density|tensor densities]]. Conversely, an affine connection on the tangent bundle determines an affine connection on the frame bundle, for instance, by requiring that ω vanishes on tangent vectors to the lifts of curves to the frame bundle defined by parallel transport.

The frame bundle also comes equipped with a [[frame bundle#Solder form|solder form]] θ : T(F''M'') → '''R'''<sup>''n''</sup> which is '''horizontal''' in the sense that it vanishes on [[vertical bundle|vertical vectors]] such as the point values of the vector fields ''X''<sub>ξ</sub>: indeed θ is defined first by projecting a tangent vector (to F''M'' at a frame ''f'') to ''M'', then by taking the components of this tangent vector on ''M'' with respect to the frame ''f''. Note that θ is also GL(''n'')-equivariant (where GL(''n'') acts on '''R'''<sup>''n''</sup> by matrix multiplication).

The pair (θ,ω) define a [[bundle isomorphism]] of T(F''M'') with the trivial bundle F''M'' × '''aff'''(''n''), where '''aff'''(''n'') is the [[cartesian product]] of '''R'''<sup>''n''</sup> and '''gl'''(''n'') (viewed as the Lie algebra of the affine group, which is actually a [[semidirect product]] &mdash; see below).-->

==カルタン接続としてのアフィン接続==

{{see also|[[カルタン接続]]}}

アフィン接続は、カルタンの一般的フレムワークの中のでも定義することができる<ref>{{Harvnb|Cartan|1926}}.</ref>。現代のアプローチでは、標構バンドル上のアフィン接続の定義に密接に関係している。実際、ある定式化では、カルタン接続は適切な性質を満たす主バンドルの{{仮リンク|絶対平行性|en|absolute parallelism}}である。この観点では、（あるアフィン多様体の）標構バンドル上の '''aff'''(''n'')に値を持つ 1-形式 (θ,ω): T(F''M'') → '''aff'''(''n'') はカルタン接続である。しかし、カルタンの元々のアプローチは、いくつかの点でこれとは異なっていた。
* 標構バンドル、もしくは主バンドルの考え方が存在しなかった。
* 接続は、点の無限小近傍の間での平行移動の項とみなした<ref>It is difficult to make Cartan's intuition precise without invoking [[smooth infinitesimal analysis]], but one way is to regard his points being ''variable'', that is maps from some unseen parameter space into the manifold, which can then be differentiated.</ref>。
* この平行移動は、線型というよちもアフィンである。
* 変換される対象は、現代的な意味では接ベクトルでなくともよいが、マークのついたアフィン空間の元である必要がある。カルタン接続は接空間とほぼ同一視することができる。
<!--==Affine connections as Cartan connections==

{{see also|Cartan connection}}

Affine connections can be defined within Cartan's general framework.<ref>{{Harvnb|Cartan|1926}}.</ref> In the modern approach, this is closely related to the definition of affine connections on the frame bundle. Indeed, in one formulation, a Cartan connection is an [[absolute parallelism]] of a principal bundle satisfying suitable properties. From this point of view the '''aff'''(''n'')-valued 1-form (θ,ω): T(F''M'') → '''aff'''(''n'') on the frame bundle (of an affine manifold) is a Cartan connection. However, Cartan's original approach was different from this in a number of ways:
* the concept of frame bundles or principal bundles did not exist;
* a connection was viewed in terms of parallel transport between infinitesimally nearby points;<ref>It is difficult to make Cartan's intuition precise without invoking [[smooth infinitesimal analysis]], but one way is to regard his points being ''variable'', that is maps from some unseen parameter space into the manifold, which can then be differentiated.</ref>
* this parallel transport was affine, rather than linear;
* the objects being transported were not tangent vectors in the modern sense, but elements of an [[affine space]] with a marked point, which the Cartan connection ultimately ''identifies'' with the tangent space.-->

===説明と歴史的直感===

逆に説明する最も易しい点は、曲面論によりの動機から始めることである。この状況下では、曲面の上を回転する平面がナイーブな意味での接平面であり、[[接空間]]の考えは、実際、[[無限小]]の概念であり<ref>古典的には、[[接空間]]は、無限小近似と見られていたが、一方、現代の微分幾何学では、接空間は微分のような微分した対象の言葉で定義されることが多い（{{Harvnb|Kobayashi|Nomizu|1996|loc=Volume 1, sections 1.1&ndash;1.2}}を参照。</ref>、一方、平面は、'''R'''<sup>3</sup> の[[アフィン空間|アフィン部分空間]](affine subspace)として、拡張は無限である。しかし、これらのアフィン平面は曲線の接触する点のマークがついていて、平面はこの点で曲面と接する。従って、混乱はマークされた点を持つアフィン空間と点での接空間とを同一視できるということにある。しかしながら、（接平面を）回転させることにより定義される平行移動は、この「原点」を固定するものではない。平行移動は線型というよりも[[アフィン変換|アフィン]]な移動である。線型な平行移動は（アフィンな）移動に適用することにより再現することができる。

従って、この考え方を抽象化すると、アフィン多様体は ''n''-次アフィン空間 ''A''<sub>''x''</sub> を持つ ''n''-次元多様体 ''M'' であり、マークされた点 ''a''<sub>''x''</sub> &isin; ''A''<sub>''x''</sub> が各々の ''x'' &isin; ''M'' に接していて、''M'' の中の曲線 ''C'' も沿ったこれらのアフィン空間の移動する元を伴っている。この方法はいくつかの安定な性質をもつことを要求される。
# ''C'' 上の任意の点 ''x'', ''y'' に対し、平行移動は ''C'' 上の ''A''<sub>''x''</sub> から ''A''<sub>''y''</sub> へのアフィン移動である。
# 平行移動は、''C'' 上の任意の点で微分可能であり、その点での ''C'' への接ベクトルへ依存しているという点から、無限小として定義される。
# ''x'' での平行移動の微分は、T<sub>''x''</sub>''M'' から <math>T_{a_x}A_x</math> へ[[線型写像#核・像と全射性・単射性|線型同型]]を決定する。

これたの最後の 2つの点は、詳しく説明することが極めて難しいので<ref>詳しくは、{{Harvtxt|Ü. Lumiste|2001b}} を参照。次の直感的な扱いは、{{Harvtxt|Cartan|1923}} や {{Harvtxt|Cartan|1926}} での扱いである。</ref>、アフィン接続は無限小としてより頻繁に定義される。このことを動機とすると、平行移動の観点からアフィン[[座標系]]がどのように無限小に移動するかを考えることに充分である。（これはカルタンの{{仮リンク|移動標構の方法|en|method of moving frames}}の原点である。）点でのアフィン標構は、一覧 (''p'', '''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>) から構成される。ここに ''p'' &isin; A<sub>''x''</sub><ref>これは原点の選択と見ることができ、実際、''p''=''a''<sub>''x''</sub> である場合を考えるだけで充分であり、カルタンは暗にこれを ''M'' の中の ''x'' と同一視していた。</ref> であり、'''e'''<sub>''i''</sub> は、T<sub>''p''</sub>(''A''<sub>''x''</sub>) の基底を形成する。よって、アフィン接続は、[[微分形式|1-形式]] (θ<sup>''j''</sup>, ω<sub>''i''</sub><sup>''j''</sup>) の集まりにより定義される 1 階の[[微分方程式系の可積分条件|微分方程式系]]としてシンボル的に与えられる。
:<math>(*) \left\{
\begin{matrix}
\mathrm d{p} &= \theta^1{\bold e}_1 + \cdots + \theta^n{\bold e}_n & \\
\mathrm d{\bold e}_i &= \omega^1_i{\bold e}_1 + \cdots + \omega^n_i{\bold e}_n, & \quad i=1,2,\ldots,n
\end{matrix}
\right.</math>
幾何学的には、アフィン標構は、γ(''t'') から γ(''t'' + ''&delta;t'') への曲線 ''C'' に沿って移動変化であり、次により（近似的、あるいは無限小として）与えられる。

:<math>
\begin{align}
p(\gamma(t+\delta t)) - p(\gamma(t))
 &= \bigl(\theta^1(\gamma'(t)){\bold e}_1 + \cdots + \theta^n(\gamma'(t)){\bold e}_n\bigr)\mathrm \delta t, \\
{\bold e}_i(\gamma(t+\delta t)) - {\bold e}_i(\gamma(t))
 &= \bigl(\omega^1_i(\gamma'(t)){\bold e}_1 + \cdots + \omega^n_i(\gamma'(t)){\bold e}_n\bigr)\delta t.
\end{align}
</math>

さらに、''γ'' に沿う ''a''<sub>''x''</sub> の置き換えが、（''x'' の無限小な置き換えである）''x'' = ''γ''(''t'') での ''γ'' への接ベクトル ''&gamma;''&prime;(''t'') と（近似的、無限小的に）同一視することができるという意味で、アフィン空間 ''A''<sub>''x''</sub> は ''M'' と'''接している'''ことが要求される。

理由は、
:''a''<sub>''x''</sub>(''γ''(''t'' + ''&delta;t'')) &minus; ''a''<sub>''x''</sub>(''γ''(''t'')) = ''θ''(''&gamma;''&prime;(''t''))''&delta;t'',であり、ここに ''θ'' は ''θ''(''X'') = ''θ''<sup>1</sup>(''X'')'''e'''<sub>1</sub> + … + ''θ''<sup>''n''</sup>(''X'')'''e'''<sub>''n''</sub> により定義され、この同一視は ''θ'' により定義されるので、''θ'' に対しては各々の点で線型同型であることが要求されるからである。

このように、接しているアフィン空間 ''A''<sub>''x''</sub> は、直感的に ''x'' の'''無限小アフィン近傍'''と直感的に同一視される。

現代的な観点は、主バンドルを使いこの直感をより正確にする（本質的な考え方は、標構や'''変数'''標構をこの空間の上の全標構と函数へと置き換えることにある）。この考え方は、[[フェリックス・クライン]]の[[エルランゲン・プログラム]]に動機を持って記述されてもいて<ref>Cf. R. Hermann (1983), Appendix 1–3 to {{Harvtxt|Cartan|1951}}, and also {{Harvtxt|Sharpe|1997}}.</ref>、そこでは'''幾何学'''が、[[等質空間]]として定義される。アフィン空間はこの意味で幾何学であり、'''平坦'''なカルタン接続を持っている。このように、一般的なアフィン多様体は、アフィン空間の平坦モデルの幾何学の'''曲がった'''変形と見なされる。

====アフィン空間の定義====

非公式には、'''[[アフィン空間]]'''は、[[アフィン空間#座標系|原点]]を固定された選択を持たない[[ベクトル空間]]である。アフィン空間は、空間の中の[[点 (数学)|点]]と[[ベクトル]]の幾何学である。原点を失った結果、ベクトルを加えるという平行移動を形成する原点の選択を要求すると、アフィン空間の中の点は互いにベクトルを加えることができない。しかし、ベクトル ''v'' は点 ''p'' でのベクトルの起点を置き換えること、従って、''p'' を終点へ移動することにより点 ''p'' へ加えることができる。このようにして、''p'' → ''p''+''v'' により記述される操作は、''v'' に沿った ''p'' の'''移動'''である。テクニカルな用語では、アフィン ''n''-次元空間は、ベクトル群 '''R'''<sup>''n''</sup> の[[群作用|自由推移的作用]]を持つ集合 '''A'''<sup>''n''</sup> である。この点の移動の操作を通して、'''A'''<sup>''n''</sup> はベクトル群 '''R'''<sup>''n''</sup> の{{仮リンク|主等質空間|en|principal homogeneous space}}となる。
<!--===Affine space as the flat model geometry===

====Definition of an affine space====

Informally, an '''[[affine space]]''' is a [[vector space]] without a fixed choice of [[origin (mathematics)|origin]].  It describes the geometry of [[point (mathematics)|points]] and [[Vector (geometric)|free vectors]] in space.  As a consequence of the lack of origin, points in affine space cannot be added together as this requires a choice of origin with which to form the parallelogram law for vector addition.  However, a vector ''v'' may be added to a point ''p'' by placing the initial point of the vector at ''p'' and then transporting ''p'' to the terminal point.  The operation thus described ''p'' → ''p''+''v'' is the '''translation''' of ''p'' along ''v''.  In technical terms, affine ''n''-space is a set '''A'''<sup>''n''</sup> equipped with a [[group action|free transitive action]] of the vector group '''R'''<sup>''n''</sup> on it through this operation of translation of points: '''A'''<sup>''n''</sup> is thus a [[principal homogeneous space]] for the vector group '''R'''<sup>''n''</sup>.-->

<!--More could be said here (parallel equipollence, etc.), but this discussion needs to be kept reasonably short. -->
[[一般線型群]] GL(''n'') は '''R'''<sup>''n''</sup> の[[群作用|変換群]]であり、''T''(''av''+''bw'') = ''aT''(''v'') + ''bT''(''w'') という意味で '''R'''<sup>''n''</sup> の'''線型構造'''を保存する。これとよく似て、'''[[アフィン群]]''' Aff(''n'') は'''アフィン構造'''を保存する '''A'''<sup>''n''</sup> の変換群である。このように、φ ∈ Aff(''n'') は、
:<math>\phi(p+v)=\alpha(p)+T(v)\,</math>
という意味で、'''保存変換'''でなければならない。ここに ''T'' は一般線型変換である。φ ∈ Aff(''n'') を ''T'' ∈ GL(''n'') へ写す写像は、[[群準同型]]である。[[核 (代数学)|核]]は、'''R'''<sup>''n''</sup> の変換群である。''A'' の任意の点 ''p'' の[[群作用#軌道と等方部分群|安定化因子]]はこのようにして、この射影を使い GL(''n'') と同一視できる。このことは、アフィン群を GL(''n'') と '''R'''<sup>''n''</sup> の[[半直積]] をして実現し、アフィン空間を[[等質空間]] Aff(''n'')/GL(''n'') として実現する。
<!--The [[general linear group]] GL(''n'') is the [[transformation group|group of transformations]] of '''R'''<sup>''n''</sup> which preserve the ''linear structure'' of '''R'''<sup>''n''</sup> in the sense that ''T''(''av''+''bw'') = ''aT''(''v'') + ''bT''(''w'').  By analogy, the '''[[affine group]]''' Aff(''n'') is the group of transformations of '''A'''<sup>''n''</sup> preserving the ''affine structure''.  Thus φ ∈ Aff(''n'') must ''preserve translations'' in the sense that
:<math>\phi(p+v)=\alpha(p)+T(v)\,</math>
where ''T'' is a general linear transformation.  The map sending φ ∈ Aff(''n'') to ''T'' ∈ GL(''n'') is a [[group homomorphism]].  Its [[kernel (algebra)|kernel]] is the group of translations '''R'''<sup>''n''</sup>.  The [[Group action#Orbits and stabilizers|stabilizer]] of any point ''p'' in ''A'' can thus be identified with GL(''n'') using this projection: this realises the affine group as a [[semidirect product]] of GL(''n'') and '''R'''<sup>''n''</sup>, and affine space as the [[homogeneous space]] Aff(''n'')/GL(''n'').-->

====アフィン標構と平坦アフィン接続====
''A'' の'''アフィン標構'''(affine frame)は、点 ''p'' ∈ ''A'' とベクトル空間 T<sub>''p''</sub>''A'' = '''R'''<sup>''n''</sup> の基底 ('''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub>) からなる。一般線型群 GL(''n'') は、''p'' を固定し、通常に方法での基底 ('''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub>) を変換することですべてのアフィン標構の上へ自由に作用し、π はアフィン標構 (''p'';'''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub>) を点 ''p'' へ写す写像は、[[商写像]]である。このように F''A'' は ''A'' 上の[[主バンドル|主 GL(''n'')-バンドル]]である。GL(''n'') の作用は、自然に F''A'' 上のアフィン群 Aff(''n'') の自由な推移作用へ拡張されるので、F''A'' は Aff(''n'')-{{仮リンク|主等質空間|en|principal homogeneous space}}であり、座標系は主バンドル Aff(''n'') &rarr; Aff(''n'')/GL(''n'') とである F''A'' → ''A'' と選択される。
<!--====Affine frames and the flat affine connection====
An ''affine frame'' for ''A'' consists of a point ''p'' ∈ ''A'' and a basis ('''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub>) of the vector space T<sub>''p''</sub>''A'' = '''R'''<sup>''n''</sup>. The general linear group GL(''n'') acts freely on the set F''A'' of all affine frames by fixing ''p'' and transforming the basis ('''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub>) in the usual way, and the map π sending an affine frame (''p'';'''e'''<sub>1</sub>,...,'''e'''<sub>''n''</sub>) to ''p'' is the [[quotient map]]. Thus F''A'' is a [[principal bundle|principal GL(''n'')-bundle]] over ''A''. The action of GL(''n'') extends naturally to a free transitive action of the affine group Aff(''n'') on F''A'', so that F''A'' is an Aff(''n'')-[[principal homogeneous space|torsor]], and the choice of a reference frame identifies F''A'' → ''A'' with the principal bundle Aff(''n'') &rarr; Aff(''n'')/GL(''n'').-->

F''A'' 上には
:<math>\pi(p;\mathbf{e}_1, \dots ,\mathbf{e}_n) = p</math>  （前に見たように）
:<math>\epsilon_i(p;\mathbf{e}_1,\dots , \mathbf{e}_n) = \mathbf{e}_i</math>
で定義される ''n''+1 個の函数の集合が存在する。''A'' の起点を選択した後、これらは '''R'''<sup>''n''</sup> に値を持つ函数すべてであるので、'''R'''<sup>''n''</sup> に値を持つ[[微分形式|微分1形式]]を得る[[外微分]]を取ることが可能である。函数 ε<sub>''i''</sub> は F''A'' の各々の点で '''R'''<sup>''n''</sup> の基底であるので、これらの 1-形式は、Aff(''n'') 上の実数値 1-形式の集合 (θ<sup>''i''</sup>,ω<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>) <sub>1 &le; ''i'', ''j'', ''k'' &le; ''n''</sub> が存在して、
:<math>
\begin{matrix}
\mathrm d\pi &= \theta^1\varepsilon_1+\cdots+\theta^n\varepsilon_n\\
\mathrm d\varepsilon_i &= \omega^1_i\varepsilon_1+\cdots+\omega^n_i\varepsilon_n
\end{matrix}
</math>
の形の和として表すことができるはずである。この主バンドル F''A'' &rarr; ''A'' 上の 1-形式の系は、''A'' 上のアフィン接続を定義する。
<!--On F''A'' there is a collection of ''n''+1 functions defined by 
:<math>\pi(p;\mathbf{e}_1, \dots ,\mathbf{e}_n) = p</math>  (as before)
:<math>\epsilon_i(p;\mathbf{e}_1,\dots , \mathbf{e}_n) = \mathbf{e}_i.</math>
After choosing a basepoint for ''A'', these are all functions with values in '''R'''<sup>''n''</sup>, so it is possible to take their [[exterior derivative]]s to obtain [[differential 1-form]]s with values in '''R'''<sup>''n''</sup>.  Since the functions ε<sub>''i''</sub> yield a basis for '''R'''<sup>''n''</sup> at each point of F''A'', these 1-forms must be expressible as sums of the form
:<math>
\begin{matrix}
\mathrm d\pi &= \theta^1\varepsilon_1+\cdots+\theta^n\varepsilon_n\\
\mathrm d\varepsilon_i &= \omega^1_i\varepsilon_1+\cdots+\omega^n_i\varepsilon_n
\end{matrix}
</math>
for some collection (θ<sup>''i''</sup>,ω<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>)<sub>1&le;''i'',''j'',''k''&le;''n''</sub> of real-valued one-forms on Aff(''n'').  This system of one-forms on the principal bundle F''A'' &rarr; ''A'' defines the affine connection on ''A''.-->

外微分を二回とり、ε<sub>''i''</sub> が[[線型独立]]であるということともに、d<sup>2</sup> = 0 であるという事実を使うと、次の関係式が得られる。
:<math>\begin{align}
\mathrm d\theta^j - \sum_i\omega^j_i\wedge\theta^i &=0\\
\mathrm d\omega^j_i - \sum_k \omega^j_k\wedge\omega^k_i &=0.
\end{align}</math>
これらはリー群 Aff(''n'') の[[モーレー・カルタンの微分形式|モーレー・カルタン形式]]である（座標系の選択により F''A'' と同一視される）。さらに、
* [[微分方程式系の可積分条件|パフィアン系]] θ<sup>''j''</sup> = 0 は (すべての ''j'' に対し) 、[[可積分条件|可積分]]であり、その[[微分方程式系の可積分条件|積分多様体]]は主バンドル Aff(''n'') → ''A'' のファイバーである。 
* パフィアン系 ω<sub>''i''</sub><sup>''j''</sup> = 0 は（すべての ''i'', ''j'' に対し) 可積分でもあり、その積分多様体は F''A'' の平行移動を定義する。

従って、形式 (ω<sub>''i''</sub><sup>''j''</sup>) は F''A'' &rarr; ''A'' 上の平坦[[接続 (主バンドル)|接続]]を与える。

動機と厳密に比較すると、実際、''A'' 上の主 Aff(''n'')-バンドルの平行移動を定義する。このことは、移動により定義される滑らかな写像 &phi; : '''R'''<sup>''n''</sup>  × ''A'' &rarr; ''A'' によって{{仮リンク|引き戻しバンドル|label=引き戻す|en|pullback bundle}} F''A'' で達成される。従って、合成 φ'*F''A'' → F''A'' → ''A'' は ''A'' 上の主 Aff(''n'')-バンドルであり、形式 (θ<sup>''i''</sup>,ω<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>) は、このバンドル上に平坦な主  Aff(''n'')-バンドルを与える{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|pullback (differential geometry)}}となる。<!--Taking the exterior derivative a second time, and using the fact that d<sup>2</sup>=0 as well as the [[linearly independent|linear independence]] of the ε<sub>''i''</sub>, the following relations are obtained:
:<math>\begin{align}
\mathrm d\theta^j - \sum_i\omega^j_i\wedge\theta^i &=0\\
\mathrm d\omega^j_i - \sum_k \omega^j_k\wedge\omega^k_i &=0.
\end{align}</math>
These are the [[Maurer-Cartan equation]]s for the Lie group Aff(''n'') (identified with F''A'' by the choice of a reference frame).  Furthermore:
* the [[Pfaffian system]] θ<sup>''j''</sup>=0 (for all ''j'') is [[integrability condition|integrable]], and its [[integral manifold]]s are the fibres of the principal bundle Aff(''n'') → ''A''. 
* the Pfaffian system ω<sub>''i''</sub><sup>''j''</sup>=0 (for all ''i'', ''j'') is also integrable, and its integral manifolds define parallel transport in F''A''.

Thus the forms (ω<sub>''i''</sub><sup>''j''</sup>) define a flat [[connection (principal bundle)|principal connection]] on F''A'' &rarr; ''A''.

For a strict comparison with the motivation, one should actually define parallel transport in a principal Aff(''n'')-bundle over ''A''. This can be done by [[pullback bundle|pulling back]] F''A'' by the smooth map &phi; : '''R'''<sup>''n''</sup>  × ''A'' &rarr; ''A'' defined by translation. Then the composite φ'*F''A'' → F''A'' → ''A'' is a principal Aff(''n'')-bundle over ''A'', and the forms (θ<sup>''i''</sup>,ω<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>) [[pullback (differential geometry)|pull back]] to give a flat principal Aff(''n'')-connection on this bundle.-->

===一般アフィン幾何学：定義===

本質的には滑らかな[[クライン幾何学]]として、アフィン空間は平坦なカルタン接続を持つ多様体である。さらに一般的なアフィン多様体、あるいはアフィン幾何学は、容易にモーレー・カルタン方程式により表現される平坦性条件へ落すことにより得られる。定義を得る方法としてはいくつかあるが、2つの定義を与えることにする。両方とも、アフィンリー群 Aff(''n'') のリー代数 '''aff'''(''n'') の中に値を持つ 1-形式と整合する、平坦モデルの 1-形式 (θ<sup>''i''</sup>,ω<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>) である。

これらの定義では、''M'' は滑らかな n-次元多様体であり、''A'' = Aff(''n'')/GL(''n'') は同じ次元のアフィン空間である。
<!--===General affine geometries: formal definitions===

An affine space, as with essentially any smooth [[Klein geometry]], is a manifold equipped with a flat Cartan connection. More general affine manifolds or affine geometries are obtained easily by dropping the flatness condition expressed by the Maurer-Cartan equations. There are several ways to approach the definition and two will be given. Both definitions are facilitated by the realisation that 1-forms (θ<sup>''i''</sup>,ω<sub>''j''</sub><sup>''k''</sup>) in the flat model fit together to give a 1-form with values in the Lie algebra '''aff'''(''n'') of the affine group Aff(''n'').

In these definitions, ''M'' is a smooth ''n''-manifold and ''A'' = Aff(''n'')/GL(''n'') is an affine space of the same dimension.-->

====絶対平行性を通した定義====

''M'' を多様体とし、'P'' を ''M'' 上の主 GL(''n'')-バンドルとすると、'''アフィン接続'''(affine connection)は、次の条件を満す '''aff'''(''n'') に値を持つ 1-形式である。
# ''P'' 上の GL(''n'') と '''aff'''(''n'') の作用に関して、η は同変である。
# すべての ''n''×''n'' 行列のリー代数 の中の ξ について、η(''X''<sub>ξ</sub>) = ξ である。
# η は、'''aff'''(''n'') を持つ ''P'' の各々の接空間の線型同型である。
最後の条件は、η が ''P'' での{{仮リンク|絶対平行性|en|absolute parallelism}}、すなわち、自明バンドル（この場合は、''P'' × '''aff'''(''n'')）の構造を持つ ''P'' での接バンドルと同一視できることを意味する。ペア (''P'',η) は、''M'' 上の'''アフィン幾何学'''構造を定義する。

アフィンリー代数 '''aff'''(''n'') は、'''R'''<sup>''n''</sup> と '''gl'''(''n'') の半直積へ分解し、従って、η はペア (θ,ω) として書くことができる。ここに θ は '''R'''<sup>''n''</sup> に値を持ち、ω は '''gl'''(''n'') に値を持つ。条件 (1) と (2) は ω が主 GL(''n'')-接続であり、θ が水平な同変 1-形式であることと同値であり、これが T''M'' から{{仮リンク|随伴バンドル|en|associated bundle}} ''P'' ×<sub>GL(''n'')</sub> '''R'''<sup>''n''</sup> への{{仮リンク|バンドル準同型|en|bundle homomorphism}}を引き起す。条件 (3) は、このバンドル準同型が同型であるということと同値である（しかし、この分解はアフィン群の特別な構造の結果である）。''P'' は ''P'' ×<sub>GL(''n'')</sub> '''R'''<sup>''n''</sup> の{{仮リンク|標構バンドル|en|frame bundle}}であるので、θ が ''P'' と ''M'' の標構バンドル F''M'' の同型を導き、これが F''M'' 上の主 GL(''n'')-接続としてアフィン接続の定義を再現している。

平坦モデルからの 1-形式は、まさに、 θ と ω という成分である。
<!--====Definition via absolute parallelism====

Let ''M'' be a manifold, and ''P'' a principal GL(''n'')-bundle over ''M''. Then an '''affine connection''' is a 1-form η on ''P'' with values in '''aff'''(''n'') satisfying the following properties
# η is equivariant with respect to the action of GL(''n'') on ''P'' and '''aff'''(''n'');
# η(''X''<sub>ξ</sub>) = ξ for all ξ in the Lie algebra '''gl'''(''n'') of all ''n''×''n'' matrices;
# η is a linear isomorphism of each tangent space of ''P'' with '''aff'''(''n'').
The last condition means that η is an '''[[absolute parallelism]]''' on ''P'', i.e., it identifies the tangent bundle of ''P'' with a trivial bundle (in this case ''P'' × '''aff'''(''n'')). The pair (''P'',η) defines the structure of an '''affine geometry''' on ''M'', making it into an '''affine manifold'''.

The affine Lie algebra '''aff'''(''n'') splits as a semidirect product of '''R'''<sup>''n''</sup> and '''gl'''(''n'') and so η may be written as a pair (θ,ω) where θ takes values in '''R'''<sup>''n''</sup> and ω takes values in '''gl'''(''n''). The conditions (1) and (2) are equivalent to ω being a principal GL(''n'')-connection and θ being a horizontal equivariant 1-form, which induces a [[bundle homomorphism]] from T''M'' to the [[associated bundle]] ''P'' ×<sub>GL(''n'')</sub> '''R'''<sup>''n''</sup>. The condition (3) is equivalent to the fact that this bundle homomorphism is an isomorphism. (However, this decomposition is a consequence of the rather special structure of the affine group.) Since ''P'' is the [[frame bundle]] of ''P'' ×<sub>GL(''n'')</sub> '''R'''<sup>''n''</sup>, it follows that θ provides a bundle isomorphism between ''P'' and the frame bundle F''M'' of ''M''; this recovers the definition of an affine connection as a principal GL(''n'')-connection on F''M''.

The 1-forms arising in the flat model are just the components of θ and ω.-->

====主アフィン接続としての定義====
''M'' 上の'''アフィン接続'''(affine connection)は、''M'' 上の主 Aff(''n'')-バンドルであり、''Q'' の主 GL(''n'')-部分バンドル ''P'' と主 Aff(''n'')-接続 α （'''aff'''(''n'') に値を持つ ''Q'' 上の 1-形式）を伴っていて、これらは次の'''カルタン条件'''を満す。α の ''P'' への引き戻しの '''R'''<sup>''n''</sup> 成分は、水平な同変 1-形式であり、従って、T''M'' から ''P'' ×<sub>GL(''n'')</sub> '''R'''<sup>''n''</sup> へのバンドル準同型であり、この準同型が同型であることが要求される。
<!--====Definition as a principal affine connection====
An '''affine connection''' on ''M'' is a principal Aff(''n'')-bundle ''Q'' over ''M'', together with a principal GL(''n'')-subbundle ''P'' of ''Q'' and a principal Aff(''n'')-connection α (a 1-form on ''Q'' with values in '''aff'''(''n'')) which satisfies the following (generic) ''Cartan condition''. The '''R'''<sup>''n''</sup> component of pullback of α to ''P'' is a horizontal equivariant 1-form and so defines a bundle homomorphism from T''M'' to ''P'' ×<sub>GL(''n'')</sub> '''R'''<sup>''n''</sup>: this is required to be an isomorphism.-->

====動機との関係====
Aff(''n'') は ''A'' 上に作用するので、主バンドル ''Q'' に随伴するバンドル '''''A''''' = ''Q'' ×<sub>Aff(''n'')</sub> ''A'' が存在し、このバンドルは、''M'' 上の ''x'' でのファイバーがアフィン空間 ''A''<sub>''x''</sub> であるような ''M'' 上のファイバーバンドルである。'''''A''''' の[[切断 (ファイバー束)|切断]] ''a'' （各々の ''x'' ∈ ''M'' に対し ''A''<sub>''x''</sub> の中のマーク付の点 ''a''<sub>''x''</sub> を定義している）は、''Q'' の主 GL(''n'')-部分バンドル ''P'' を互いに決定する（これらのマーク付の点の安定子のバンドルとして）。主接続 α はこのバンドル上の[[接続 (ファイバー束)|エーレスマン接続]]、よって平行移動の概念を定義する。カルタンの条件は、問題にしている切断が常に平行移動の下で動くことを保証している。
<!--====Relation to the motivation====
Since Aff(''n'') acts on ''A'', there is, associated to the principal bundle ''Q'', a bundle '''''A''''' = ''Q'' ×<sub>Aff(''n'')</sub> ''A'', which is a fiber bundle over ''M'' whose fiber at ''x'' in ''M'' is an affine space ''A''<sub>''x''</sub>. A [[section (fiber bundle)|section]] ''a'' of  '''''A''''' (defining a marked point ''a''<sub>''x''</sub> in ''A''<sub>''x''</sub> for each ''x'' ∈ ''M'') determines a principal GL(''n'')-subbundle ''P'' of ''Q'' (as the bundle of stabilizers of these marked points) and vice versa. The principal connection α defines an [[Ehresmann connection]] on this bundle, hence a notion of parallel transport. The Cartan condition ensures that the distinguished section ''a'' always moves under parallel transport.-->

==性質==

===曲率と捩率===

曲率と捩率は、アフィン接続の主な不変量である。アフィン接続の概念を定義には同値な方法が多くあるので、曲率と捩率の定義も多くの異なる方法がある。

カルタン接続の観点から、曲率はモーレー・カルタン方程式
:<math>\mathrm d\eta + \tfrac12[\eta\wedge\eta] = 0,</math>
を満たすアフィン接続 η の「失敗」の度合いを表す。ここに、左辺の第二項は '''aff'''(''n'') の[[リーブラケット]]を使う[[ウェッジ積]]である．η をペア (θ,ω) に拡張し、リー代数 '''aff'''(''n'') の構造を使うと、左辺は次の 2つの式へ拡張できる。
:<math> \mathrm d\theta + \omega\wedge\theta</math>
:<math> \mathrm d\omega + \omega\wedge\omega</math>
ここに、ウェッジ積は行列の乗法を使うこととする。最初の式は、接続の[[捩率テンソル|捩率]]を定義し、第二の式は曲率を定義する。

これらの表現は標構バンドルの全空間の上での微分 2-形式である。これらは水平で同変であるので、テンソル的な対象を定義する。これらは直接 T''M'' 上の共変微分 ∇ より次のようにして導くことができる。

[[捩率テンソル|捩率]]は、式
: <math>T^\nabla(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y].</math>
により与えられる。捩率が 0 であれば、接続は'''捩れのない'''、あるいは'''対称である'''と言う。

曲率は、
: <math>R^\nabla_{X,Y}Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z</math>
で与えられる。

曲率も捩率も 0 であれば、接続は接バンドル上の大域切断の空間の{{仮リンク|前リー代数|en|pre-Lie algebra}}を定義する。
<!--==Further properties==

===Curvature and torsion===

Curvature and torsion are the main invariants of an affine connection. As there are many equivalent ways to define the notion of an affine connection, so there are many different ways to define curvature and torsion.

From the Cartan connection point of view, the curvature is the failure of the affine connection η to satisfy the Maurer-Cartan equation
:<math>\mathrm d\eta + \tfrac12[\eta\wedge\eta] = 0,</math>
where the second term on the left hand side is the [[wedge product]] using the [[Lie bracket of vector fields|Lie bracket]] in '''aff'''(''n'') to contract the values. By expanding η into the pair (θ,ω) and using the structure of the Lie algebra '''aff'''(''n''), this left hand side can be expanded into the two formulae
:<math> \mathrm d\theta + \omega\wedge\theta</math>
:<math> \mathrm d\omega + \omega\wedge\omega,</math>
where the wedge products are evaluated using matrix multiplication. The first expression is called the [[torsion tensor|torsion]] of the connection, and the second is also called the curvature.

These expressions are differential 2-forms on the total space of a frame bundle. However, they are horizontal and equivariant, and hence define tensorial objects. These can be defined directly from the induced covariant derivative ∇ on T''M'' as follows.

The [[Torsion of connection|torsion]] is given by the formula
: <math>T^\nabla(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y].</math>
If the torsion vanishes, the connection is said to be ''torsion-free'' or ''symmetric''.

The curvature is given by the formula
: <math>R^\nabla_{X,Y}Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z.</math>

When both curvature and torsion vanish, the connection defines a [[pre-Lie algebra]] structure on the space of global sections of the tangent bundle.-->

===レヴィ・チヴィタ接続===
(''M'',''g'') を[[リーマン多様体]] とすると、一意に ''M'' 上のアフィン接続 ∇ が存在し、次の性質を持つ。
* 接続は捩れがない、つまり、''T''<sup>∇</sup> が 0 である。
* 平行移動が等長である、つまり、接ベクトル間の内積 (''g'' を使い) は保存される。
この接続を'''[[レヴィ・チヴィタ接続]]'''と呼ぶ。

第二の条件は、リーマン計量 ''g'' が平行 ∇''g'' = 0 であるという意味で、接続が'''{{仮リンク|計量接続|en|metric connection}}'''である。局所座標系では、接続形式の成分を[[クリストッフェル記号]]と呼ぶ。レヴィ・チヴィタ接続の一意性により、''g'' の項としてこれらの成分を表す式が存在する。
<!--===The Levi-Civita connection===
If (''M'',''g'') is a [[Riemannian manifold]] then there is a unique affine connection ∇ on ''M'' with the following two properties:
* the connection is torsion-free, i.e., ''T''<sup>∇</sup> is zero;
* parallel transport is an isometry, i.e., the inner products (defined using ''g'') between tangent vectors are preserved.
This connection is called the '''[[Levi-Civita connection]]'''.

The second condition means that the connection is a '''[[metric connection]]''' in the sense that the Riemannian metric ''g'' is parallel: ∇''g'' = 0. In local coordinates the components of the connection form are called [[Christoffel symbols]]: because of the uniqueness of the Levi-Civita connection, there is a formula for these components in terms of the components of ''g''.-->

===測地線===
直線はアフィン幾何学の概念であるので、アフィン接続はアフィン測地線と呼ばれる任意のアフィン多様体上の（パラメータ化された）直線の一般的な概念を定義する。抽象的に言うと、パラメータ化された曲線 γ : I → ''M'' は、接ベクトルが曲線 γ に沿って移動するときに自分自身と平行で向いている方向を等しくするときに直線である。この直線という観点より、アフィン接続 ''M'' は、次の方法でのアフィン測地線を識別する。滑らかな曲線 γ : ''I'' → ''M'' が'''アフィン測地線'''(affine geodesic)であるとは、<math>\dot\gamma</math> が γ に沿って平行移動する、つまり、
:<math>\tau_t^s\dot\gamma(s) = \dot\gamma(t)</math>
であるときを言う。ここに τ<sub>t</sub><sup>s</sup> : T<sub>γ<sub>s</sub></sub>''M'' → T<sub>γ<sub>t</sub></sub>''M'' は、接続を定義する平行移動写像である。

無限小接続 ∇ のことばでは、この方程式の微分の意味は、すべての ''t'' &isin; ''I'' に対し、
:<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t) = 0</math>
という意味である。逆に、この微分方程式の任意の解は、曲線に沿って曲線の接ベクトルが平行移動していることを意味する。すべての ''x'' &isin; ''M'' とすべての ''X'' ∈ T<sub>''x''</sub>''M'' に対し、一意的に γ(0) = ''x'' であるアフィン測地線 γ : ''I'' &rarr; ''M'' が存在し、<math>\dot\gamma(0)=X</math> である。ここに ''I'' は '''R''' の最大開区間であり、0 をその定義された測地線上に持っている。このことは、{{仮リンク|ピカール・リンデレフの定理|en|Picard–Lindelöf theorem|redirect=1}}に従い、アフィン接続に付随する{{仮リンク|指数写像 (リーマン幾何学)|label=指数写像|en|exponential map (Riemannian geometry)}}の定義を可能とする。

特に、''M'' が（[[擬リーマン多様体|擬]]-）[[リーマン多様体]]であり、∇ が[[レヴィ・チヴィタ接続]]であれば、アフィン測地線はリーマン幾何学の通常の[[測地線]]であり、局所的に距離を極小化する。

ここで定義する測地線は、''M'' の中の与えられた直線が ''a'' と ''b'' を定数としたときのアフィン再パラメータ化 γ(''t'') &rarr; γ(''at''+''b''), の選び方に依存しない直線を囎唹して、パラメータ化された曲線 γ を決定するので、'''アフィン的にパラメータ化'''されているという。アフィン測地線の接ベクトルは、それ自身に平行で向いている方向が同じである。パラメータ化されていない測地線、あるいは、単に自分自身に平行で向きが同じではない接ベクトルは、ある γ にそって定義されたある函数 ''k'' に対し、単に
:<math>\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} = k\dot{\gamma}</math>
となるのみである。パラメータ化されていない測地線は、{{仮リンク|射影接続|en|projective connection}}の観点から、研究されていることもある。
<!--===Geodesics===
Since straight lines are a concept in affine geometry, affine connections define a generalized notion of (parametrized) straight lines on any affine manifold, called affine geodesics.  Abstractly, a parametric curve γ : I → ''M'' is a straight line if its tangent vector remains parallel and equipollent with itself when it is transported along γ.  From the linear point of view, an affine connection ''M'' distinguishes the affine geodesics in the following way: a smooth curve γ : ''I'' → ''M'' is an '''affine geodesic''' if <math>\dot\gamma</math> is parallel transported along γ, that is
:<math>\tau_t^s\dot\gamma(s) = \dot\gamma(t)</math>
where τ<sub>t</sub><sup>s</sup> : T<sub>γ<sub>s</sub></sub>''M'' → T<sub>γ<sub>t</sub></sub>''M'' is the parallel transport map defining the connection.

In terms of the infinitesimal connection ∇, the derivative of this equation implies
:<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t) = 0</math> for all ''t'' &isin; ''I''.
Conversely, any solution of this differential equation yields a curve whose tangent vector is parallel transported along the curve.  For every ''x'' &isin; ''M'' and every ''X'' ∈ T<sub>''x''</sub>''M'', there exists a unique affine geodesic γ : ''I'' &rarr; ''M'' with γ(0) = ''x'' and <math>\dot\gamma(0)=X</math> and where ''I'' is the maximal open interval in '''R''', containing 0, on which the geodesic is defined. This follows from the [[Picard–Lindelöf theorem]], and allows for the definition of an [[exponential map (Riemannian geometry)|exponential map]] associated to the affine connection.

In particular, when ''M'' is a ([[pseudo-Riemannian manifold|pseudo]]-)[[Riemannian manifold]] and ∇ is the [[Levi-Civita connection]], then the affine geodesic are the usual [[geodesic]]s of Riemannian geometry and are the locally distance minimizing curves.

The geodesics defined here are sometimes called '''affinely parametrized''', since a given straight line in ''M'' determines a parametric curve γ through the line up to a choice of affine reparametrization γ(''t'') &rarr; γ(''at''+''b''), where ''a'' and ''b'' are constants.  The tangent vector to an affine geodesic is parallel and equipollent along itself.  An unparametrized geodesic, or one which is merely parallel along itself without necessarily being equipollent, need only satisfy
:<math>\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} = k\dot{\gamma}</math>
for some function ''k'' defined along γ.  Unparametrized geodesics are often studied from the point of view of [[projective connection]]s.-->

===発展===
<!--Ok, so here's one reason to work on the logical distinction between the linear and affine tangent spaces.-->
アフィン接続は曲線の'''{{仮リンク|発展 (微分幾何学)|label=発展|en|development (differential geometry)}}'''(development)の考え方を定義する。直感的には発展は、''M'' の中の ''x''<sub>t</sub> をとると、''x''<sub>0</sub> でのアフィン接空間は曲線に沿って「回る」という考え方である。そのようにすると、接空間と多様体の間のマークされた接触点は、このアフィン空間の中の曲線 ''C''<sub>t</sub> の軌跡、 ''x''<sub>t</sub> の発展を描く。

定式化すると、&tau;<sub>t</sub><sup>0</sup> : T<sub>x<sub>t</sub></sub>''M'' &rarr; T<sub>x<sub>0</sub></sub>''M'' をアフィン接続に伴った線型平行移動写像とすると、発展 ''C''<sub>t</sub> は T<sub>x<sub>0</sub></sub>''M'' の中の 0 を起点とし、''x''<sub>t</sub> の接線に平行で、すべての時間 ''t'' に対し
:<math>\dot{C}_t = \tau_t^0\dot{x}_t,\quad C_0 = 0</math>
となる。

特に、''x''<sub>t</sub> が'''測地線'''であることと、その発展が ''T''<sub>x<sub>0</sub></sub>''M'' の中のアフィン的にパラメトライズされた直線であることとは同値である<ref>この発展の扱いは、{{Harvtxt|Kobayashi|Nomizu|1996|loc=Volume 1, Proposition III.3.1}} から取っている。さらに詳しくは section III.3 により幾何学的な記載がある。{{Harvtxt|Sharpe|1997}} には他の幾何学的状況下での発展に関する議論が記載されている。</ref>
<!--===Development===
An affine connection defines a notion of '''[[development (differential geometry)|development]]''' of curves.  Intuitively, development captures the notion that if ''x''<sub>t</sub> is a curve in ''M'', then the affine tangent space at ''x''<sub>0</sub> may be ''rolled'' along the curve.  As it does so, the marked point of contact between the tangent space and the manifold traces out a curve ''C''<sub>t</sub> in this affine space: the development of ''x''<sub>t</sub>.

In formal terms, let &tau;<sub>t</sub><sup>0</sup> : T<sub>x<sub>t</sub></sub>''M'' &rarr; T<sub>x<sub>0</sub></sub>''M'' be the linear parallel transport map associated to the affine connection.  Then the development ''C''<sub>t</sub> is the curve in T<sub>x<sub>0</sub></sub>''M'' starts off at 0 and is parallel to the tangent of ''x''<sub>t</sub> for all time ''t'':
:<math>\dot{C}_t = \tau_t^0\dot{x}_t,\quad C_0 = 0.</math>

In particular, ''x''<sub>t</sub> is a ''geodesic'' if and only if its development is an affinely parametrized straight line in ''T''<sub>x<sub>0</sub></sub>''M''.<ref>This treatment of development is from {{Harvtxt|Kobayashi|Nomizu|1996|loc=Volume 1, Proposition III.3.1}}; see section III.3 for a more geometrical treatment.  See also {{Harvtxt|Sharpe|1997}} for a thorough discussion of development in other geometrical situations.</ref>-->

==曲面論再論==
''M'' を '''R'''<sup>3</sup> の中の曲面とすると、''M'' は自然なアフィン接続を持っていることは容易に分かる。線型接続の観点より、ベクトル場の共変微分はベクトル場の微分により定義され、''M'' から '''R'''<sup>3</sup> への写像と見なされ、よって背後の ''M'' の接空間の上の直交する射影を結果する。このアフィン接続が捩率を持たないことは容易に分かる。さらに、'''R'''<sup>3</sup> 上の内積により引き起こされた ''M'' 上のリーマン接続の観点からは、この接続が計量接続であることも容易に分かる。従って、この計量のレヴィ・チヴィタ接続であることも分かる。
<!--==Surface theory revisited==
If ''M'' is a surface in '''R'''<sup>3</sup>, it is easy to see that ''M'' has a natural affine connection. From the linear connection point of view, the covariant derivative of a vector field is defined by differentiating the vector field, viewed as a map from ''M'' to '''R'''<sup>3</sup>, and then projecting the result orthogonally back onto the tangent spaces of ''M''. It is easy to see that this affine connection is torsion-free. Furthermore, it is a metric connection with respect to the Riemannian metric on ''M'' induced by the inner product on '''R'''<sup>3</sup>, hence it is the Levi-Civita connection of this metric.-->

===例：ユークリッド空間の中の単位球面===
<math>\langle, \rangle</math> を '''R'''<sup>3</sup> 上の通常の[[スカラー積]]とし、'''S'''<sup>2</sup> を単位球面とする。''x'' での '''S'''<sup>2</sup> への接空間は、自然に ''x'' で直交するベクトルすべてからなる '''R'''<sup>3</sup> の部分ベクトル空間と同一視される。このことから、'''S'''<sup>2</sup> 上のベクトル場 ''Y'' は写像 ''Y'' : '''S'''<sup>2</sup> → '''R'''<sup>3</sup> と見なすことができ、この写像は、
: <math>\langle Y_x, x\rangle = 0, \quad \forall x\in \mathbf{S}^2.</math>
を満たす。d''Y'' によりそのような写像の微分を表すと、

<blockquote>'''補題'''：
:<math>(\nabla_X Y)_x = \mathrm dY_x(X) + \langle X_x,Y_x\rangle x\,</math>
は捩率が 0 である '''S'''<sup>2</sup> 上のアフィン接続を定義する。</blockquote>

'''証明'''： ∇ がライプニッツの恒等式を満たし、第一の変数について ''C''<sup>∞</sup>('''S'''<sup>2</sup>) 線型であることを証明するは容易である。従って、ここで証明すべきことのすべては、この写像が実際に接ベクトル場を定義することである。すなわち、'''S'''<sup>2</sup> の中の ''x'' に対して、
:<math>\langle(\nabla_X Y)_x,x\rangle = 0\qquad (1)</math>
が成り立つことを証明する。

写像
:<math>\begin{cases}
f: \mathbf{S}^2\to \mathbf{R}\\
 x \longmapsto \langle Y_x, x\rangle.
\end{cases}</math>
を考える。

写像 ''f'' は定数であるので、その微分は 0 である。特に
: <math>\mathrm df_x(X) = \langle (\mathrm d Y)_x(X),x\rangle + \langle Y_x, X_x\rangle = 0.\,</math>
である。

上の式 (1) が従う。<math>\Box</math>
<!--===Example: the unit sphere in Euclidean space===
Let <math>\langle, \rangle</math> be the usual [[scalar product]] on '''R'''<sup>3</sup>, and let '''S'''<sup>2</sup> be the unit sphere. The tangent space to '''S'''<sup>2</sup> at a point ''x'' is naturally identified with the vector sub-space of '''R'''<sup>3</sup> consisting of all vectors orthogonal to ''x''. It follows that a vector field ''Y'' on '''S'''<sup>2</sup> can be seen as a map ''Y'' : '''S'''<sup>2</sup> → '''R'''<sup>3</sup> which satisfies
: <math>\langle Y_x, x\rangle = 0, \quad \forall x\in \mathbf{S}^2.</math>
Denote by d''Y'' the differential of such a map. Then we have:

<blockquote>'''Lemma'''. The formula
:<math>(\nabla_X Y)_x = \mathrm dY_x(X) + \langle X_x,Y_x\rangle x\,</math>
defines an affine connection on '''S'''<sup>2</sup> with vanishing torsion.</blockquote>

''Proof''. It is straightforward to prove that ∇ satisfies the Leibniz identity and is ''C''<sup>∞</sup>('''S'''<sup>2</sup>) linear in the first variable. So all that needs to be proved here is that the map above does indeed define a tangent vector field. That is, we need to prove that for all ''x'' in '''S'''<sup>2</sup>
:<math>\langle(\nabla_X Y)_x,x\rangle = 0\qquad (1).</math>

Consider the map
:<math>\begin{cases}
f: \mathbf{S}^2\to \mathbf{R}\\
 x \longmapsto \langle Y_x, x\rangle.
\end{cases}</math>

The map ''f'' is constant, hence its differential vanishes. In particular
: <math>\mathrm df_x(X) = \langle (\mathrm d Y)_x(X),x\rangle + \langle Y_x, X_x\rangle = 0.\,</math>

The equation (1) above follows. <math>\Box</math>-->

==関連項目==
* [[カルタン幾何学]]
* [[滑りとねじれのない転がし]]
*{{仮リンク|アトラス (トポロジー)|en|Atlas (topology)|preserve=1}}
*{{仮リンク|チャート (トポロジー)|en|Chart (topology)|preserve=1}}
*[[微分可能多様体]]
*[[微分幾何学]]
*{{仮リンク|一般相対論の数学入門|en|Introduction to mathematics of general relativity}}
*[[レヴィ・チヴィタ接続]]
*{{仮リンク|リーマン幾何学の公式一覧|en|List of formulas in Riemannian geometry}}
*[[リーマン幾何学]]


==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|40em}}

== 参考文献 ==

===参考文献 (その１) ===
* {{citation | first1 = Elwin Bruno | last1 = Christoffel |author1-link=Elwin Bruno Christoffel|title= Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades| journal = J. Für die Reine und Angew. Math.| volume = 70 | year = 1869 | pages = 46–70}}
* {{citation | first1 = Tullio | last1 = Levi-Civita |author1-link=Tullio Levi-Civita|title= Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana| journal = Rend. Circ. Mat. Palermo| volume = 42 | year = 1917 | pages = 173–205 | doi=10.1007/bf03014898}}
* {{citation | first = Élie | last = Cartan |author-link=Élie Cartan| url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0|title=Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)| journal = Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure| volume = 40 | year = 1923 | pages = 325–412}}
* {{citation | first = Élie | last = Cartan |author-link=Élie Cartan| title =  Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 | journal = Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure| volume = 41 | year = 1924 | pages = 1–25}}
::相対論の研究に動機をもつカルタンのアフィン接続の扱い。基準座標系の物理とどのように[[世界線]]に沿う移動の物理的な考え方へ接続が影響するかに関する詳細な議論を含んでいる。
<!--:: Cartan's treatment of affine connections as motivated by the study of relativity theory.  Includes a detailed discussion of the physics of reference frames, and how the connection reflects the physical notion of transport along a [[worldline]].-->
* {{citation | first = Élie | last = Cartan |author-link=Élie Cartan| title = Espaces à connexion affine, projective et conforme | journal = Acta Math. | volume = 48 | year = 1926 | pages = 1–42 | doi = 10.1007/BF02629755}}
::アフィン接続のさらなる数学的な動機について．
<!--:: A more mathematically motivated account of affine connections.-->
* {{citation | first = Élie | last = Cartan | authorlink=Élie Cartan|url= https://books.google.co.jp/books?id=-YvvVfQ7xz4C&pg=PP1&redir_esc=y&hl=ja|title = Geometry of Riemannian Spaces|edition= translation by James Glazebrook of ''Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann'', 2nd|editor=with appendices by Robert Hermann|publisher = Math Sci Press, Massachusetts| publication-date = 1983|year=1951|isbn= 978-0-915692-34-7}}.
::[[リーマン幾何学]]の観点からのアフィン接続。ロバート・ヘルマン(Robert Hermann)の appendixには、Koszulの現代的な意味のアフィン接続の考え方と同様に、曲面論からの動機が議論されている。彼は、微分作用素 ∇ の基本的な性質を開発し、それらをカルタンの意味での古典的なアフィン接続と関連づけた。
<!--:: Affine connections from the point of view of [[Riemannian geometry]].  Robert Hermann's appendices discuss the motivation from surface theory, as well as the notion of affine connections in the modern sense of Koszul.  He develops the basic properties of the differential operator ∇, and relates them to the classical affine connections in the sense of Cartan.-->
* {{citation | first = Hermann | last = Weyl |author-link=Hermann Weyl| title = Raum, Zeit, Materie | year = 1918 | publisher = Springer, Berlin | edition = 5 editions to 1922, with notes by Jürgen Ehlers (1980), translated 4th edition ''Space, Time, Matter'' by Henry Brose, 1922 (Methuen, reprinted 1952 by Dover) | isbn = 0-486-60267-2}}

===参考文献 (その２) ===
* {{citation | last1=Kobayashi|first1= Shoshichi|last2=Nomizu|first2= Katsumi | title = [[Foundations of Differential Geometry]], Vols. 1 & 2| publisher=Wiley-Interscience | year=1996|edition=New | isbn=0-471-15733-3}}.
::この文献は、微分幾何学の方法のテクニカルな詳細に関する主要な文献である．Volume 1, chapter III では、多様体上の主バンドル、飛行移動、測地線、随伴微分作用素の観点からアフィン接続の詳細な考察が述べられている。Volume 1 chapter VI では、アフィン変換、捩率、アフィン測地線の一般論が述べられている。Volume 2 では、各種のトピックスとともに[[等質空間]]や[[複素多様体]]へのアフィン接続の数多くの応用が述べられている。
<!--:: This is the main reference for the technical details of the article.  Volume 1, chapter III gives a detailed account of affine connections from the perspective of principal bundles on a manifold, parallel transport, development, geodesics, and associated differential operators.  Volume 1 chapter VI gives an account of affine transformations, torsion, and the general theory of affine geodesy.  Volume 2 gives a number of applications of affine connections to [[homogeneous spaces]] and [[complex manifolds]], as well as to other assorted topics.-->
* {{citation| first1=Ülo |last1=Lumiste| year=2001a| contribution=Affine connection| contribution-url=http://eom.springer.de/a/a010950.htm|  editor-first=Michiel|editor-last=Hazewinkel| editor-link=Michiel Hazewinkel | title=[[Encyclopaedia of Mathematics]]| publisher=Kluwer Academic Publishers| isbn=978-1-55608-010-4}}.
* {{citation| first1=Ülo |last1=Lumiste| year=2001b| contribution=Connections on a manifold | contribution-url=http://eom.springer.de/c/c025180.htm| editor-first=Michiel|editor-last=Hazewinkel| editor-link=Michiel Hazewinkel | title=[[Encyclopaedia of Mathematics]]| publisher=Kluwer Academic Publishers| isbn=978-1-55608-010-4}}.
::ルミステ(Lumiste)による 2つの論文は、アフィン接続を定義するために平行移動写像の条件が詳細に述べられている。そこでは、古典的（非主バンドル）の観点から曲率、捩率やそのほかの標準的なトピックスも扱われている。
<!--:: Two articles by Lumiste, giving precise conditions on parallel transport maps in order that they define affine connections.  They also treat curvature, torsion, and other standard topics from a classical (non-principal bundle) perspective.-->
* {{citation| first = R.W. | last = Sharpe | title = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1997| isbn = 0-387-94732-9}}.
::この解説は歴史的なことが詳しく述べられている。また、一般的なカルタン接続の読者向けの基本的な考え方が述べられている。Appendix A では主接続と全体並行性の観点の間の関係が説明されている。Appendix B では、古典的なアフィン接続の「回転」モデルと主バンドルや微分作用素に基く現代的なアフィン接続とのギャップを埋めることが記述されている。
<!--:: This fills in some of the historical details, and provides a more reader-friendly elementary account of Cartan connections in general.  Appendix A elucidates the relationship between the principal connection and absolute parallelism viewpoints.  Appendix B bridges the gap between the classical "rolling" model of affine connections, and the modern one based on principal bundles and differential operators.-->

{{Tensors}}

{{DEFAULTSORT:あふいんせつそく}}
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:接続 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]