アフィン部分空間のソースを表示

{{about|[[ベクトル空間]]のアフィンな部分集合|アフィン空間の部分アフィン構造|アフィン空間}}
[[file:Affine subspace.svg|thumb|right|三次元空間内の平面 (青) はひとつのアフィン部分空間で、原点を通る平面をベクトル (赤) の分だけ平行移動させることで得られる。]]
[[線型代数学]]における[[ベクトル空間]]の'''アフィン部分空間'''（アフィンぶぶんくうかん、{{lang-en-short|''affine subspace''}}）は[[線型部分空間]]を平行移動することによって得られる部分集合を言う。アフィン部分空間は[[解析幾何学]]の意味でそれ自身一つの[[アフィン空間]]を成す。

== 定義 ==
ベクトル空間 {{mvar|V}} の部分集合 {{mvar|A}} が'''アフィン部分空間'''であるとは、それが {{mvar|V}} のベクトル {{mvar|v}} と {{mvar|V}} の線型部分空間 {{mvar|U{{sub|A}}}} が存在して <math display="block">A = v + U_A = \left\{v + u\mid u \in U_A\right\}</math> が成り立つときに言う。このとき {{mvar|v}} を {{mvar|A}} の[[位置ベクトル]]、{{mvar|U{{sub|A}}}} を {{mvar|A}} に付随する線型部分空間と呼ぶ。{{mvar|A}} に対して{{mvar|U{{sub|A}}}} は一意に定まるが、{{math|''v'' &minus; ''w'' &isin; ''U{{sub|A}}''}} を満たす {{math|''w'' &isin; ''V''}} はいずれも {{mvar|A}} の位置ベクトルである。{{mvar|A}} の'''次元'''は {{mvar|U{{sub|A}}}} の[[次元 (線型代数学)|次元]]を言う。

一次元アフィン部分空間は[[直線]]、二次元アフィン部分空間は[[平面]]と呼ばれる。また {{mvar|V}} が {{mvar|n}}-次元のとき、次元が {{math|''n'' &minus; 1}} のアフィン部分空間は'''アフィン超平面'''と呼ぶ。解析幾何学において[[空集合]]もアフィン部分空間の一種とする場合もあり、その場合アフィン部分空間としての次元は {{math|1=dim &empty; = &minus;1}} で付随する線型部分空間を持たない。

== 簡単な例 ==
三次元ベクトル空間 {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} の部分空間 {{mvar|U}} を <math display="block">g\colon \vec x= \lambda(0,\,0,\,1)\quad (\lambda \in \mathbb{R})</math> で与えられる{{仮リンク|原点を通る直線|de|Ursprungsgerade}}とする。ベクトル {{math|{{vec|''v''}} &isin; ''V''}} を具体的に <math display="block">\vec{v} = (1,\,0,\,0)</math> ととれば、アフィン部分空間 {{math|1=''A'' = {{vec|''v''}} + ''U''}} は原点から（{{mvar|x}}-軸方向に単位長さ）{{math|(1,0,0)}} だけずれた、方程式 <math display="block">h\colon \vec x= (1,\,0,\,0) + \mu(0,\,0,\,1)\quad (\mu \in \mathbb{R})</math> で与えられる直線である。

この原点を通らない直線はアフィン部分空間だが（[[零ベクトル]]を含まないから）線型部分空間ではない。

== アフィン部分空間の次元公式 ==
以下 {{mvar|V}} を[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上の有限次元ベクトル空間で、{{mvar|A, B}} はそのアフィン部分空間とする。

{{mvar|A}} と {{mvar|B}} が[[交叉 (数学)|交わる]]場合、またはいずれか一方が[[空集合|空]]のとき、次元公式は <math display="block">\dim(A \vee B) + \dim(A \cap B) = \dim(A) + \dim(B)</math> で与えられる。また、{{mvar|A}} と {{mvar|B}} がいずれも空でなく[[素集合|交わりも持たない]]とき、次元公式は <math display="block">\dim(A) + \dim(B) = \dim(A \lor B) + \dim(U_A \cap U_B) - 1</math> となる。ここで {{mvar|U{{sub|A}}, U{{sub|B}}}} はそれぞれ {{mvar|A, B}} に付随する線型部分空間とする。またいずれの式においても {{math|''A'' ∨ ''B''}} は {{mvar|A}} と {{mvar|B}} の[[アフィン包|アフィン和空間]]である。

== 性質 ==
アフィン部分空間の定義において {{math|1=''v'' = 0}} となる場合も含まれうるから、任意の線型部分空間はまた一つのアフィン部分空間ともなる。アフィン部分空間が線型部分空間となるための必要十分条件は、それが零ベクトルを含むことである。

体 {{mvar|K}} 上の {{mvar|n}} 変数非斉次[[線型方程式系]]の解空間は、それが空でなければ {{mvar|K<sup>n</sup>}} のアフィン部分空間を成す。任意のアフィン部分空間が適当な線型方程式系からこの方法によって得られる。あるいは定義から直接に、位置ベクトルと付随する線型部分空間の基底からなるベクトルの集合の[[アフィン包]]としてアフィン空間を得ることもできる。

== 参考文献 ==
* {{仮リンク|ゲルト・フィッシャー|de|Gerd Fischer (Mathematiker)}}: ''Lineare Algebra.'' ISBN 3-528-03217-0, S. 166ff ({{Google Buch|BuchID=rUlGDEFCRxkC|Seite=116|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}}).
* {{仮リンク|ジークフリート・ボッシュ|en|Siegfried Bosch}}: ''Lineare Algebra.'' ISBN 978-3-540-76437-3, S. 65ff

{{DEFAULTSORT:あふいんふふんくうかん}}
[[Category:アフィン幾何学]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]