アペリーの定数のソースを表示

{{出典の明記| date = 2023年4月}}
{{Expand English|Apéry's constant|date=2024年5月}}
'''アペリーの定数'''（―のていすう、{{lang-en-short|Apéry's constant}}）は、数学定数の一種である。これは、[[リーマンゼータ関数|ゼータ関数]]を ζ とすると、ζ(3) で定義される。
:<math>\begin{align}
\zeta(3) &= 1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \dotsb \\
&\approx 1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\;
61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots
\end{align}</math>
（{{OEIS|id=A002117}}）
この値は無理数である（⇒[[アペリーの定理]]）。

「アペリーの定数」という名前は、[[1977年]]、[[ロジェ・アペリー]]がアペリーの定理を発表した際、彼自身によって命名された。

== 表現 ==
[[1772年]]、[[レオンハルト・オイラー]]によって、次のような表示が与えられた。
:<math>\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7}
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]</math>

:<math>\zeta(3)=\frac{2\pi^2}{7}\log 2+\frac{16}{7}\int_0^\frac{\pi}{2}x\log(\sin x)dx</math>

また、この他に、[[サイモン・プラウフ]]によって与えられた収束の早い級数がある。
:<math>\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}</math>
:<math>\zeta(3)= 14 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)}
-\frac{11}{2}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}
-\frac{7}{2} 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}
</math>

== 積分表現 ==
また、アペリーの定数は様々な形の積分表示が発見されている。簡単なものでは
: <math>
\zeta(3) =\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \!  \frac{1}{1-xyz}\, dxdydz 
</math>
や、リーマン関数の公式を用いた
: <math>
\zeta(3) =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \!  \frac{x^2}{e^x-1}\, dx 
</math>
または
: <math>
\zeta(3) =\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty} \!  \frac{x^2}{e^x+1}\, dx 
</math>
等がある。

{{analysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:あへりいのていすう}}
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