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アポロニウスの円束
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[[Image:Apollonian circles.svg|thumb|right|350px|青で書かれた任意のアポロニウス円は赤で書かれた共軛アポロニウス円束の任意の円と垂直に交わる。全ての赤い円が通る二点が存在し、それら二点をすべての青い円が分離する。]] [[射影幾何学]]における'''[[アポロニウスの円]]'''全体の成す族は、[[根軸]]を共有する[[円束 (射影幾何学)|円束]]を成し、それに属するすべての円に直交する円全体もまたひとつの円束を成す。これらすべての円の[[族 (数学)|族]] ({{lang-en-short|''Apollonian circles''}}) の成す直交する二つの束（円把; circle bundle, orthogonal net of circles）は[[双極座標系]]の基底を成す。古代ギリシアの著名な幾何学者[[ペルガのアポロニウス]]によって発見された。 == 定義 == 初めに基準とするふたつの点 {{math|C, D}} が与えられているところから始める。{{math|C, D}} に関する Apollonian circles は二つのパラメータ {{mvar|r, θ}} を持つ{{ill2|広義の円|en|generalized circle|label=（一般化された）円}}の族で、各パラメータに対応する二つの円束に分けられる。 一つは、正の[[実数]] {{mvar|r}} で添字付けられた族（図の(青)）で、各円は線分 {{overline|CX}} の長さ {{mvar|CX}} の {{overline|DX}} の長さ {{mvar|DX}} に対する比が {{mvar|r}} に等しい点 {{math|X}} 全体の描く軌跡 <math display="block">\{\mathrm{X}\mid \tfrac{d(\mathrm{X,C})}{d(\mathrm{X,D})} = r\}</math> として与えられる。これは[[アポロニウスの円]]からなる双曲型の共軸円束—アポロニウス円束—である。{{mvar|r}} の値が {{math|0}} に近づけば {{mvar|r}} に対応する円は一点 {{math|C}} に近づき、{{mvar|r}} の値が {{math|∞}} に近づけば対応する円は一点 {{math|D}} に近づく。それらの中間にあたる {{math|1=''r'' = 1}} では対応する円は直線であり、ちょうど線分 {{overline|CD}} の[[垂直二等分線]]になっている。 これらの円を軌跡として定義する等式は、一般化してより大きな重み付けられた点の集合に関する[[準円|フェルマー–アポロニウスの円]]も定義できる。 いま一つの円束（図の(赤)）—共軛アポロニウス円束—は、角度 {{mvar|θ}} で添字付けられる楕円型円束で、各円は[[円周角]] {{mvar|∠CXD}} が {{mvar|θ}} に等しい点 {{math|X}} の軌跡 <math display="block">\{\mathrm{X}\mid \angle CXD = \theta\}</math> として定義される。{{mvar|θ}} を {{math|0}} から {{mvar|π}} まで動かせば、二点 {{math|C, D}} を通る全ての円からなる集合が生成できる。 共軛アポロニウス円束のすべての円が通過する二点は、アポロニウス円束における円の対の{{ill2|極限点 (幾何学)|en|limiting point (geometry)|label=極限点}}になっている。 == 双極座標系 == 各アポロニウスの円とその共軛なる円は二点で交わるから、それらが座標系（双極座標系）を定めるというためには、それらが「どちら側にある」のかを特定する方法が与えられなければならない。基点 {{math|C, D}} を向きまで込めて同じ角に見込む点 {{math|X}} の軌跡 <math display="block">\operatorname{isopt}(\theta)=\{\mathrm{X}\mid \angle( \overrightarrow{XC}, \overrightarrow{XD} )=\theta +2k\pi\}</math> は isoptic arc (同視弧) と呼ばれる。このような弧は共軛アポロニウス円束に属する適当な円において、二点 {{math|C, D}} を端点とする弧であり、{{math|isopt(''θ'' + ''π'')}} と合わせて一つの円を与える（すなわち、対応する円の全体は <math display="inline">\{\mathrm{X}\mid \angle( \overrightarrow{XC}, \overrightarrow{XD} )=\theta +k\pi\}</math> と書ける）。 == ふたつの円束の直交性 == {{ill2|円に関する反転|en|Circle inversion}}は平面上で定義された変換として、（一般化された）円をべつの円に写し、したがって円束をほかの円束に写すが、このとき束の種類は保たれる（楕円型円束の反転像はやはり楕円型であり、双曲型円束の反転像は双曲型、同様に抛物型の反転像は抛物型の円束を与える）。 アポロニウスのふたつの円束が垂直に交わる（[[直角]]を成す）ことは、円に関する反転を用いれば比較的見易い: : アポロニウス円束を、点 {{math|C}} を中心とする円に関して反転すると、点 {{math|D}} の反転像を中心とする同心円束に写る。それと同時に、共軛アポロニウス円束は {{math|D}} の反転像を基点とする[[直線束 (射影幾何学)|直線束]]に写る。 : したがって、この反転変換によって、Apollonian circles の定める[[双極座標系]]は[[極座標系]]に写ることになる。変換後のふたつの束が直交することは明らかであり、また反転は[[等角写像]]—すなわち変換の前後で角度を保つ変換—であるから、もとのふたつの円束も互いに直角に交わることがわかる。 あるいは別の方法として、ふたつの円束の直交性を[[根軸]]の定義性質—一つの束 {{mvar|P}} の根軸上の任意の点 {{math|X}} から {{mvar|P}} に属する任意の円への接線の長さは全て等しい—から知ることもできる{{sfn|Akopyan|Zaslavsky|2007|p=59}}。{{math|X}} を中心としそれら接線の長さに等しい半径を持つ円は、{{mvar|P}} に属するすべての円と垂直に交わることが、この定義性質から従う。根軸上の点すべてで同じことを行えば {{mvar|P}} に直交する円からなる円束が得られる。 より一般に、任意の円束に対して、それに属するすべての円と直交する円全てからなる円束が一意に存在する—そのような二つの円束は互いに'''共軛'''であるという{{sfn|Glaeser|Stachel|Odehnal|2016|p={{google books quote|id=Ua_WCwAAQBAJ|pg=PA325|text=conjugate|325}}}} 。与えられた円束が楕円型ならばその共軛円束は双曲型であり、逆もまた然り—この場合においてそれら二つの円束は Apollonian circles を成す。抛物型円束の共軛円束はまた抛物型である—この共軛円束は、その共通接点はもとの円束のそれと一致するが、共通接線はもとの円束のそれと共通接点において直交する{{sfn|Schwerdtfeger|1979|pp=30–31|loc={{google books quote|id=CLjCAgAAQBAJ|pg=PT43|text=Theorem A|Theorem A}}}}。 == 関連項目 == * [[複素射影直線]] / [[メビウス変換]] == 注 == === 注釈 === {{notelist}} === 出典 === {{reflist}} == 参考文献 == *{{citation | last1 = Akopyan | first1 = A. V. | last2 = Zaslavsky | first2 = A. A. | title = Geometry of Conics | publisher = [[American Mathematical Society]] | series = Mathematical World | volume = 26 | year = 2007 | isbn = 978-0-8218-4323-9 | pages = 57–62}}. *{{citation | doi=10.2307/2691113 | title=Circles, Vectors, and Linear Algebra | first1=Richard E. | last1=Pfeifer | first2=Cathleen | last2=Van Hook | journal=Mathematics Magazine | volume=66 | issue=2 | year=1993 | pages=75–86 | jstor=2691113}}. *{{citation | last=Schwerdtfeger | first=Hans | title=Geometry of Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry | publisher=Dover | year=1979 | pages=8–10}}. *{{citation | last=Samuel | first=Pierre | title=Projective Geometry | publisher=Springer | year=1988 | pages=40–43}}. *{{citation | first = C. Stanley | last = Ogilvy | authorlink = C. Stanley Ogilvy | year = 1990 | title = Excursions in Geometry | publisher = Dover | isbn = 0-486-26530-7}}. * {{citation|title=The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments |first1= Georg |last1= Glaeser |first2= Hellmuth |last2= Stachel |first3= Boris |last3= Odehnal |publisher= Springer |year= 2016 |isbn= 9783662454503}} == 外部リンク == *{{mathworld|title=Coaxal Circles|urlname=CoaxalCircles}} *David B. Surowski: [https://www.math.ksu.edu/~dbski/writings/further.pdf ''Advanced High-School Mathematics'']. p. 31 * {{citation|url=http://mixedmoss.com/NonEuclidianGeometry/PoincareModel/chapter11(mobius%20henkan)/chapter4-6/mobius2.pdf|chapter= ii. 円把（シュタイナー円群)＆対称移動への分解|work=[http://mixedmoss.com/NonEuclidianGeometry/ 目で見て動かす 非ユークリッド幾何（双曲幾何)] vol.2 ポアンカレ上半平面モデル(H+) 11 {{bracket|参考}} 一次分数変換}} {{DEFAULTSORT:あほろにうすのえんそく}} [[Category:円 (数学)]] [[Category:射影幾何学]] [[Category:ペルガのアポロニウス]] [[Category:数学に関する記事]]
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