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{{要改訳}}
'''アルティンの [[L-函数|''L''-函数]]''' (Artin ''L''-function) は、代数体の有限次拡大の[[ガロア群]] ''G'' の[[線型表現]] ρ に付随する[[ディリクレ級数]]である。1923年に[[エミール・アルティン]]により、彼の[[類体論]]の研究において導入されたが、以下に述べる'''アルティン予想'''という基本的な性質に関する予想は未だに証明されていない。このアルティン予想は[[非可換類体論]]の枠組みの中で解決可能であると考えられている。

==定義==
K を[[代数体]]とし、G を K の有限次[[ガロア拡大]] L のガロア群とする。有限次元複素ベクトル空間 V 上の G の表現 ρ にたいし、アルティンの ''L''-函数は次の[[オイラー積]]により定義される。

K の[[代数的数#代数的整数環|整数環]]の[[素イデアル]] p が L で[[分岐 (数学)#不分岐|不分岐]]であるとき（これは有限個の素イデアルを除いてなりたつ条件である）、G の[[共役類]]としてフロベニウス共役類 Frob<sub>p</sub> が定義され、ρ(Frob<sub>p</sub>) の一つの元の[[固有多項式]]は共役類に対して[[well-defined]]である。従って
: <math>\operatorname{det} \left [ I - t \rho( \mathbf{Frob}( \mathfrak{P})) \right ]^{-1}</math>
もフロベニウス共役類の元のえらびかたによらず定まる t についての有理函数であり、s を複素数として t = N (p)<sup>-s</sup> としたものが p におけるオイラー因子である。（ここで N(p) は p での剰余体の元の個数をあらわす。）

p が L で分岐する場合、p での[[惰性群]] I により固定されるV の部分空間にたいして同様の構成をおこなったものが、分岐する素点 p でのオイラー因子となる。<ref group="note">より正確には V の[[群作用#軌道と等方部分群|余不変商]]、つまり I により固定された最大の[[商位相空間|商空間]]を考えると言った方がよいが、ここでの結果は変わらない。[[ハッセ・ヴェイユのL-函数]]でもこのことは同様。</ref>。

アルティンのL-函数 <math>L(\rho,s) </math> は、これらのオイラー因子をすべての素イデアル p について無限積をとったものである。[[アルティンの相互法則]]によれば、G が[[アーベル群]]のときこれらの L-函数は第二の記述を持つ（K が[[有理数]]体のときは[[ディリクレのL-函数]]として、一般には[[ヘッケのL-函数]]として）。[[アーベル群|非アーベル群]] G とその表現にたいしアルティン L-函数はあらたな対象である。

ひとつの応用として、有理数体上のガロア拡大の場合のように、[[デデキントゼータ函数]]の分解を与えることがある。[[既約表現]]へ[[正則表現 (数学)|正則表現]]を分解することに応じ、そのようなゼータ函数は、G の各々の既約表現に対応するアルティンのL-函数の積へと分解する。例えば、最も単純な例として、G が3文字の[[対称群]]の場合を考える。G が次数 2 の既約表現を持っているので、その表現のアルティンのL-函数は二次となり、考えている代数体のデデキントのゼータ函数を、（自明表現に対する）リーマンのゼータ函数と符号表現に対するディリクレの <math>L</math>-函数への分解を起こす。
<!---
One application is to give factorisations of [[Dedekind zeta function|Dedekind zeta-function]]s, for example in the case of a number field that is Galois over the rational numbers. In accordance with the decomposition of the [[regular representation]] into [[irreducible representation]]s, such a zeta-function splits into a product of Artin ''L''-functions, for each irreducible representation of ''G''. For example, the simplest case is when ''G'' is the [[symmetric group]] on three letters. Since ''G'' has an irreducible representation of degree 2, an Artin ''L''-function for such a representation occurs, squared, in the factorisation of the Dedekind zeta-function for such a number field, in a product with the Riemann zeta-function (for the [[trivial representation]]) and an ''L''-function of Dirichlet's type for the signature representation.-->

==函数等式==
アルティンのL-函数 L(ρ,s) は L(ρ*, 1 &minus; s) との[[函数等式]]を満たす。ここで ρ* は ρ の複素共役表現（反傾表現）を表すとする。さらに詳しくは、L を Λ(ρ, s) へと置き換える。ここに Λ はL-函数にある[[ガンマ函数|ガンマ要素]]をかけた函数である．絶対値 1 のある複素数 W(ρ) をもつ有理型函数の等式
:&Lambda;(&rho;, ''s'') = ''W''(&rho;)&Lambda;(&rho;*, 1 &minus; ''s'')
が成り立つ。W(ρ) が'''アルティンのルートナンバー'''である。これは 2つの性質に関して深く研究されている。第一の性質は、ラングランズとドリーニュにより確立された{{仮リンク|ラングランズ・ドリーニュの局所定数|en|Langlands–Deligne local constant}}(Langlands–Deligne local constant)への分解である。これは[[保型表現]]との関係を予想するために重要である。また、ρ と ρ* が[[同値表現]](equivalent representation)である場合は、まさに函数等式が両辺で同じになる。代数的に言うと、このことは ρ が{{仮リンク|実表現|en|real representation}}(real representation)もしくは{{仮リンク|四元数表現|en|quaternionic representation}}(quaternionic representation)の場合である。従って、アルティンの根の数は +1 かまたは −1 である。符号がどうなるかという問題は、[[ガロア加群]]の理論に繋がっている{{harv|Perlis|2001}}。
<!---==Functional equation==
Artin L-functions satisfy a [[functional equation (L-function)|functional equation]]. The function ''L''(ρ,''s'') is related in its values to ''L''(ρ*, 1 &minus; ''s''), where ρ* denotes the [[complex conjugate representation]]. More precisely ''L'' is replaced by Λ(ρ, ''s''), which is ''L'' multiplied by certain [[gamma factor]]s, and then there is an equation of meromorphic functions

:&Lambda;(&rho;, ''s'') = ''W''(&rho;)&Lambda;(&rho;*, 1 &minus; ''s'')

with a certain complex number ''W''(ρ) of absolute value 1. It is the '''Artin root number'''. It has been studied deeply with respect to two types of properties. Firstly Langlands and Deligne established a factorisation into [[Langlands–Deligne local constant]]s; this is significant in relation to conjectural relationships to [[automorphic representation]]s. Also the case of ρ and ρ* being [[equivalent representation]]s is exactly the one in which the functional equation has the same L-function on each side. It is, algebraically speaking, the case when ρ is a [[real representation]] or [[quaternionic representation]]. The Artin root number is, then, either +1 or −1. The question of which sign occurs is linked to [[Galois module]] theory {{harv|Perlis|2001}}.-->

==アルティン予想==
'''アルティン予想'''とは、非自明な既約表現 ρ にたいしアルティン L-函数 L(ρ,s) は全複素平面上で解析的である、という予想である<ref name=Mar18>Martinet (1977) p.18</ref>。

この予想は、ρ が 1 次元、つまり[[ヘッケ指標]]に付随する L-函数や[[ディリクレのL-函数]]に対しては成り立つ<ref name=Mar18/>。より一般的に、アルティンは、ρ が 1 次元表現から誘導される場合についてはこの予想が正しいことを示した。したがってガロア群が{{仮リンク|超可解群|en|supersolvable}}(supersolvable)であれば、すべての表現に対してアルティンの予想が成り立つ。

[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)は、[[代数多様体の函数体|函数体]]の場合にアルティンの予想が成り立つことを証明した。

2 次元表現の射影像（射影一般線形群への自然な像）は巡回群、二面体群、四面体群、八面体群、二十面体群のいずれかで、このうち巡回群、二面体群の場合にはアルティン予想は[[エーリッヒ・ヘッケ|ヘッケ]]の仕事から従う。ラングランズは{{仮リンク|ベースチェインジリフティング|label=ベースチェンジ|en|base change lifting}}(base change lifting)の方法を使い四面体群の場合を証明し、タネル(Tunnell)は彼の仕事を拡張し八面体群の場合も証明した。ワイルズ(Wiles)は[[谷山志村予想]]を証明するため、これらの結果を使った。[[リチャード・テイラー (数学者)|リチャード・テイラー]](Richard Taylor)ほかは、（非可解な）八面体の場合についていくつかの点で前進をさせた。現在、いくつかの研究が進行中である。

{{仮リンク|誘導指標のブラウアーの定理|en|Brauer's theorem on induced characters}}によると、すべてのアルティンのL-函数はヘッケのL-函数の正と負の整数べきの積であることがしたがい、このことからアルティン L-函数は全複素平面上で[[有理型函数|有理型]]であることになる。

{{harvtxt|Langlands|1970}}は、アルティン予想を[[ラングランズ・プログラム|ラングランズ哲学]]において GL(n) の[[保型形式のL-函数|保型表現の L-函数]]にむすびつける事により証明できることを指摘した。さらに詳しくは、ラングランズ予想は[[アデール的代数群|アデール群]] GL<sub>n</sub>(A<sub>'''Q'''</sub>) の[[尖点表現|カスプ表現]]をガロア群の n-次元既約表現へ結びつける。ここで対応するガロア表現のアルティンのL-函数と保型表現のL-函数は同じものとなり、アルティン予想は保型的なカスプ表現のL-函数は正則であるという既に知られている事実から従う。このことはラングランズの仕事の主要な動機のひとつであった。

==関連項目==
*{{仮リンク|同変L-函数|en|Equivariant L-function}}(Equivariant L-function)

==脚注==
{{Reflist|group=note}}

==参考文献==
{{reflist}}
*{{Cite journal |first=E. |last=Artin |title={{lang|de|Über eine neue Art von L Reihen}} |journal=Hamb. Math. Abh. |volume=3 |year=1923 }} Reprinted in his collected works, ISBN 0-387-90686-X. English translation in [http://www.math.columbia.edu/~nsnyder Artin L-Functions: A Historical Approach] by N. Snyder.
*{{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. | language=German | doi=10.1007/BF02941010 | id={{JFM|56.0173.02}} | year=1930 | journal=Abhandlungen Hamburg | volume=8 | pages=292–306}}
*{{Cite journal |doi=10.1090/S0273-0979-1981-14936-3 |last=Tunnell |first=Jerrold |title=Artin's conjecture for representations of octahedral type |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |series=N. S. |volume=5 |year=1981 |issue=2 |pages=173–175 }}
*{{Cite book |last=Gelbart |first=Stephen |chapter=Automorphic forms and Artin's conjecture |title=Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) |pages=241–276 |series=Lecture Notes in Math. |volume=627 |publisher=Springer |location=Berlin |year=1977 }}
*{{citation|last=Langlands|first=Robert|title=Letter to Prof. Weil|year=1967|url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21}}
*{{Citation | last1=Langlands | first1=R. P. | title=Lectures in modern analysis and applications, III | url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series= Lecture Notes in Math | isbn=978-3-540-05284-5 | doi=10.1007/BFb0079065 | mr=0302614 | year=1970 | volume=170 | chapter=Problems in the theory of automorphic forms | pages=18–61}}
*{{citation | last=Martinet | first=J. | chapter=Character theory and Artin L-functions | pages=1-87 | title=Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 | editor1-last=Fröhlich | editor1-first=A. | editor1-link=Albrecht Fröhlich | publisher=Academic Press | year=1977 | isbn=0-12-268960-7 | zbl=0359.12015 }}

和書：
* 末綱怒一：「解析的整數論」、岩波書店（1950年2月10日）。第四章"アルティンのＬ函数"。

==外部リンク==
*{{SpringerEOM|title=Artin root numbers|last= Perlis|first=R.|urlname=Artin_root_numbers}}

<!---{{L-functions-footer}}-->

{{DEFAULTSORT:あるちえんのえるかんすう}}
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