アルティン相互法則のソースを表示

{{要改訳}}
'''アルティンの相互法則'''または'''アルティン相互律'''（アルティンそうごりつ、{{lang-en-short|''Artin reciprocity law''}}）とは、一連の論文{{harvs|txt|first=Emil|last=Artin|author-link=Emil Artin|year1=1924|year2=1927|year3=1930}}で確立された、[[大域類体論]]の中心的部分を形作る数論の一般的定理である<ref>[[Helmut Hasse]], ''History of Class Field Theory'', in ''Algebraic Number Theory'', edited by Cassels and Frölich, Academic Press, 1967, pp. 266&ndash;279</ref>。「'''[[相互法則]]'''」という用語は、[[平方剰余の相互法則]]や[[フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン|ゴットホルト・アイゼンシュタイン]]や[[エルンスト・クンマー]]から、[[ダフィット・ヒルベルト]]の{{仮リンク|ヒルベルトの記号|label=ノルム剰余記号|en|Hilbert symbol}}の積公式へ至る法則を一般化し、より具体的な数論の命題とした法則である。アルティンの結果は、{{仮リンク|ヒルベルトの第9問題|en|Hilbert's ninth problem}}への部分的解答となっている。

==定理の主張==
{{mvar|K}} を[[大域体]]とし {{mvar|L}} をその[[ガロア拡大]]とする。{{mvar|C{{sub|L}}}}で {{mvar|L}} の[[イデール類群]]をあらわす。アルティンの相互法則の主張の一つは、大域相互写像、大域アルティン記号などと呼ばれる標準的な同型写像 <math display="block">\theta\colon C_K/{N_{L/K}(C_L)} \to \operatorname{Gal}(L/K)^{\text{ab}}</math>の存在である{{sfn|Neukirch|1999|p=391}}{{sfn|Neukirch|1992|p=408|ps= &mdash;実は、分岐も追跡するより精確な相互律}}。
この写像は、{{mvar|K}} の各素点 {{mvar|v}} ごとに定まる局所アルティン記号、局所相互写像あるいは{{ill2|ノルム剰余記号|en|Norm residue symbol}}{{sfn|Serre|1967|p=140}}{{sfn|Serre|1979|p=197}}と呼ばれる写像の族 <math display="block">\theta_v\colon K_v^{\times}/N_{L_v/K_v}(L_v^{\times}) \to G^{\text{ab}}</math> をひとまとめにしたものとして定義される。より精確に、{{mvar|θ}} はイデール類の {{mvar|v}}-成分上で定義された局所写像 {{mvar|θ{{sub|v}}}} によって与えられる。この写像 {{mvar|θ{{sub|v}}}} は同型であるというのが局所相互律、すなわち局所類体論の主定理の内容であった。

== 重要性 ==

アルティン相互法則は大域体 K の絶対[[ガロア群]]の[[交換子部分群|アーベル化]]を[[ハッセの原理|ハッセの局所・大域原理]]や[[フロベニウス元]]に基づいて記述するというものである。[[高木の存在定理]]とあわせることで K の[[アーベル拡大]]のようすや、そこでの素数の振る舞いを理解することができる。従って、アルティン相互法則は、大域類体論の主要な定理のひとつである。アルティン相互法則は、[[アルティンのL-函数]]が[[有理型関数|有理型]]であることの証明や、[[チェボタレフの密度定理]]の証明に使われる{{sfn|Neukirch|1992|loc=Chapter VII}}。

アルティンは、一般相互法則の出版の 2 年後、シューアの{{仮リンク|アルティン転送 (群論)|label=移送準同型|en|Artin transfer (group theory)}}を再発見した。相互法則を用いることにより、代数体のイデアル類の{{仮リンク|主イデアル化|label=単項化問題|en|Principalization (algebra)}}を、有限非アーベル群の移送準同型の核を決定するという群論の問題に翻訳した。<ref>{{citation|title=Idealklassen in oberkörpern und allgemeines reziprozitätsgesetz|first=Emil|last=Artin|authorlink=Emil Artin|journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|date=December 1929|volume=7|issue=1|pages=46–51|doi=10.1007/BF02941159}}.</ref>

==大域体の有限次拡大==
アルティン写像は、[[素イデアル]]と[[フロベニウス元]]を用いて具体的に記述される。

<math>\mathfrak{p}</math> を ''K'' の素イデアルとすると、<math>\mathfrak{p}</math> 上の素イデアル <math>\mathfrak{P}</math> の[[ガロア拡大での素イデアルの分解|分解群]]は、ガロア群が[[アーベル群|アーベル的]]であるので  <math>\mathfrak{P}</math> のとりかたによらず Gal(''L''/''K'') において等しい。<math>\mathfrak{p}</math> が ''L'' で[[分岐 (数学)#不分岐|不分岐]]であれば、分解群 <math>D_\mathfrak{p}</math> は、[[剰余体]] <math>\mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}</math> の拡大 <math>\mathcal{O}_{L,\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}</math> のガロア群に標準的に同型である。従って、<math>\mathrm{Frob}_\mathfrak{p}</math> もしくは <math>\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}}\right)</math> と書かれる Gal(''L''/''K'') のフロベニウス元を剰余体のガロア群のフロベニウス元のもちあげとして標準的に定義することができる。Δ で ''L''/''K'' の{{仮リンク|代数体の判別式|label=相対判別式|en|relative discriminant}}(relative discriminant)表すとする。''L''/''K'' の'''アルティン記号'''（あるいは、'''アルティン写像'''、'''大域相互写像'''）は、上のフロベニウス元の定義を線型に拡張したものとして[[分数イデアル群|素イデアルと Δ の分数イデアル群]] <math>I_K^\Delta</math> の上に定義される。 
:<math>\begin{matrix}
\left(\frac{L/K}{\cdot}\right):&I_K^\Delta&\longrightarrow&\mathrm{Gal}(L/K)\\
&\displaystyle{\prod_{i=1}^m\mathfrak{p}_i^{n_i}}&\mapsto&\displaystyle{\prod_{i=1}^m\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}_i}\right)^{n_i}.}
\end{matrix}</math>

'''アルティン相互法則''' (もしくは'''大域相互法則''') は、{{mvar|K}} の {{仮リンク|モジュラス (代数的整数論)|label=モジュラス|en|modulus (algebraic number theory)}} {{mathbf|c}} が存在し、アルティン写像が同型
:<math>I_K^\mathbf{c}/\iota(K_{\mathbf{c},1})\operatorname{N}_{L/K}(I_L^\mathbf{c})\overset{\sim}{{}\to{}}\operatorname{Gal}(L/K)</math>
を引き起こすという法則である。ここに {{mvar|K{{sub|'''c''',1}}}} は {{仮リンク|半直線類群|en|ray class group|label={{mathbf|c}} を法とする射線全体}}、<math display="inline">\iota:K^{\times}\to I_K</math>は単項分数イデアルに送る写像、{{math|N''{{sub|L/K}}''}} は {{mvar|L/K}} に付随するノルム写像、{{math|{{subsup|I|''L''|'''c'''}}}} は {{mvar|L}} の {{mathbf|c}} と素な分数イデアルである。そのようなモジュラス {{mathbf|c}} は '''{{mvar|L/K}} の定義モジュラス'''と呼ばれる。最小な定義モジュラスを {{mvar|L/K}} の[[導手]]といい、典型的には <math display="inline">\mathfrak{f}(L/K)</math> と書く。

===例===

====二次体====
<math>d\neq1</math> を平方因子を持たない整数とし、K = '''Q'''、<math>\scriptstyle L=\mathbf{Q}(\sqrt{d})</math> とすると、ガロア群 Gal(L/'''Q''') は {±1} と同一視される。'''Q''' 上の L の判別式 Δ は、d ≡ 1 (mod 4) ならば d、そうでないならば 4d となる。従って、アルティン写像はΔ を割らないような素数 p にたいし
:<math>p\mapsto\left(\frac{\Delta}{p}\right)</math>
と定義される。ここに <math>\left(\frac{\Delta}{p}\right)</math> は{{仮リンク|クロネッカーの記号|en|Kronecker symbol}}(Kronecker symbol)である<ref name="Lemmermeyer 2000 loc=§3.2">{{harvnb|Lemmermeyer|2000|loc=§3.2}}</ref>。さらに具体的には、L/'''Q''' の導手は、Δ が正ならば (Δ)、負であれば (Δ)∞ であり<ref>{{harvnb|Milne|2008|loc=example 3.11}}</ref>、分数イデアル群 (n) 上のアルティン写像はクロネッカーの記号 <math>\left(\frac{\Delta}{n}\right)</math> により与えられる。このことから、素数 p が L で分解するか否かは、<math>\left(\frac{\Delta}{p}\right)</math> が 1 であるか、&minus;1 であるかに従う。

====円分体====
m (>1) を奇数かもしくは、4 の倍数とし、ζ<sub>m</sub> を [[1の冪根#1の原始冪根|1の原始 m乗根]]とし、L = '''Q'''(ζ<sub>m</sub>) を m次の[[円分体]]とする。ガロア群 Gal(L/'''Q''') は ('''Z'''/m'''Z''')<sup>×</sup> と次の写像によって同一視することができる。σを
:<math>\sigma(\zeta_m)=\zeta_m^{a_\sigma}.</math>
により与えられる a<sub>σ</sub> にうつす。L/'''Q''' の導手は {{math|(''m'')∞}} であり{{sfn|Milne|2008|loc=example 3.10}}、 m と素なイデアル (n) 上のアルティン写像は、単純に ('''Z'''/m'''Z''')<sup>×</sup> の元 n (mod m) である{{sfn|Milne|2008|loc=example 3.2}}。

===平方剰余の相互法則との関係===
p と ℓ を異なる奇素数とし、ℓ* = (&minus;1)<sup>(ℓ&minus;1)/2</sup>ℓ (いつも 1 (mod 4) である) とする。二次相互法則とは
:<math>\left(\frac{\ell^\ast}{p}\right)=\left(\frac{p}{\ell}\right)</math>
なる関係のこと。二次相互法則とアルティン相互法則の関係は、次のように、二次体 <math>\scriptstyle F=\mathbf{Q}(\sqrt{\ell^\ast})</math> と円分体 <math>\scriptstyle L=\mathbf{Q}(\zeta_\ell)</math> を研究することで得られる<ref name="Lemmermeyer 2000 loc=§3.2"/>。この F は L の部分体である。H = Gal(L/F) および G = Gal(L/'''Q''') とすると、Gal(F/'''Q''') = G/H である。G/H は位数が 2 であるので、部分群 H は G=('''Z'''/ℓ'''Z''')<sup>×</sup> において平方元全体のなす部分群である。アルティン記号の基本的性質により、ℓと素なイデアル (n) に対し、
:<math>\left(\frac{F/\mathbf{Q}}{(n)}\right)=\left(\frac{L/\mathbf{Q}}{(n)}\right)\text{ (mod }H).</math>
となることがわかる。とくに n = p とすると、<math>\left(\frac{\ell^\ast}{p}\right)=1</math> であることと、H の中で p (mod ℓ) であること、すなわち、p は modulo ℓ で二乗であることが同値であることがわかる。

== コホモロジー的解釈 ==
大域相互法則のコホモロジー的な証明は、まず
: <math>(\operatorname{Gal}(K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_L)</math>
がアルティン・テイトの意味で{{仮リンク|類構造|en|class formation}}を成すことを確かめることで達成される{{sfn|Serre|1979|p=164}}。そうすれば、
: <math>\hat{H}{}^{0}( \operatorname{Gal}(L/K), C_L) \simeq \hat{H}{}^{-2}( \operatorname{Gal}(L/K), \mathbb{Z})</math>
が証明される。ここに <math>\hat{H}{}^{i}</math> は{{仮リンク|テイトコホモロジー群|en|Tate cohomology group}}を表す。コホモロジー群の計算により {{mvar|θ}} が同型であることが確かめられる。

== L-函数との関係 ==

アルティン相互法則の別な表し方には、[[ラングランズ・プログラム]]に沿って、[[代数体|数体]]のアーベル拡大に付随する[[アルティンのL-函数]]をイデール類群の指標に付随する[[ヘッケのL-函数]]に関連付ける方法がある。<ref name=milne>James Milne, [http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html ''Class Field Theory'']</ref> 

数体 K の[[ヘッケ指標]]（'''量指標'''(Größencharakter)）は、K のイデール類群の[[指標 (数学)|準指標]]であると定義される。[[ロバート・ラングランズ]]は、ヘッケ指標を K の[[アデール環]]の上の[[簡約群|簡約代数群]] GL(1) 上の[[保型形式]]と解釈した。<ref name=Gelbart>{{citation|first=Stephen |last=Gelbart |title= Automorphic Forms on Adele Groups | journal= Annals of Mathematics Studies |volume= 83 | publisher= Princeton University Press |year= 1975 |isbn=0-691-08156-5|ref=harv}}</ref>

E⁄K を[[ガロア群]] G を持つアーベル的ガロア拡大とすると、任意の[[指標 (数学)|指標]] &sigma;: G&nbsp; →&nbsp;'''C'''<sup>&times;</sup> （つまり、群 G の1-次元複素[[群の表現|表現]]）に対し、K のヘッケ指標 &chi; が存在して、

:<math>L_{E/K}^{\operatorname{Artin}}(\sigma, s) = L_{K}^{\operatorname{Hecke}}(\chi, s)</math>

を満たす。ここに左辺は指標 {{mvar|σ}} を持つ拡大に付随するアルティン L-函数であり、右辺はヘッケ指数 {{mvar|χ}} に付随するヘッケ L-函数である{{harv|loc=Section 7.D|Gelbart|1975}}。

アルティン相互法則のL-函数の等式としての定式化は、直接の対応関係はまだ足りないが、n-次元表現への一般化した定式化になる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite journal|first=Emil |last= Artin |author-link= Emil |title= Über eine neue Art von L-Reihen, |journal= Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg | volume= 3 |year=1924 |pases= 89–108|ref=harv}}; Collected Papers, Addison Wesley, 1965, 105–124
* {{cite journal|first=Emil |last= Artin |title= Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes |journal= Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg |volume= 5 |year=1927 |pages= 353–363|ref=harv}}; Collected Papers, 131–141
** {{Citation|和書
| author = 片山孝次
| title = Artinの一般相互法則に関する諸論文
| url = https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/honyaku/shohou7.pdf
| year = 1994
| journal = 津田塾大学数学・計算機科学研究所報
| issue = 7
| publisher = 津田塾大学数学・計算機科学研究所
}}; 上記2論文の日本語訳が掲載されている。
* {{cite journal|first=Emil |last= Artin |title= Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes | journal=  Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg |volume= 7 |year= 1930 |pages= 46–51|ref=harv}}; Collected Papers, 159–164

*{{Citation
| first=Günther
| last=Frei
| contribution=On the history of the Artin reciprocity law in abelian extensions of algebraic number fields: how Artin was led to his reciprocity law
| title=The legacy of Niels Henrik Abel.  Papers from the Abel bicentennial conference, University of Oslo, Oslo, Norway, June 3--8, 2002
| editor=Olav Arnfinn Laudal
| editor2=Ragni Piene
| pages=267–294
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| location=Berlin
| year=2004
| mr=2077576
| isbn=978-3-540-43826-7 | zbl=1065.11001
}}
*{{citation | first=Gerald | last=Janusz | title=Algebraic Number Fields | year=1973 | publisher=Academic Press | isbn=0-12-380250-4 | series=Pure and Applied Mathematics | volume=55 }}
*{{Citation
| last=Lang
| first=Serge
| author-link=Serge Lang
| title=Algebraic number theory
| edition=2
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| year=1994
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=110
| place=New York
| isbn=978-0-387-94225-4
| mr=1282723
}}
*{{Citation
| last=Lemmermeyer
| first=Franz
| author-link=Franz Lemmermeyer
| title=Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein
| year=2000
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| series=Springer Monographs in Mathematics
| place=Berlin
| mr=1761696 | zbl=0949.11002
| isbn=978-3-540-66957-9
}}
*{{Citation
| last=Milne
| first=James
| title=Class field theory
| url=http://jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
| edition=v4.0
| year=2008
| accessdate=2010-02-22
}}
* {{citation| first= Jürgen| last= Neukirch| author-link= Jürgen Neukirch |title= ''Algebraische Zahlentheorie'' | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften | volume=322 |publisher= Springer | location=Berlin |year= 1992}}
** 英訳: {{citation | last=Neukirch | first=Jürgen | title=Algebraic number theory | others=Translated from the German by Norbert Schappacher | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1999 | isbn=3-540-65399-6 | zbl=0956.11021 |ref=harv}}
** 日本語訳: {{citation|和書|author= J. ノイキルヒ|author-link=ユルゲン・ノイキルヒ|title=代数的整数論|translator=足立恒雄監修、梅垣敦紀|publisher=[[シュプリンガーフェアラーク]]|location=東京 |year=2003}}
* {{citation | last=Serre | first=Jean-Pierre | authorlink=Jean-Pierre Serre | title=Local fields | others=Translated from the French by Marvin Jay Greenberg | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=67 | location=New York, Heidelberg, Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1979 | isbn=3-540-90424-7 | zbl=0423.12016 }} 
* {{citation | last=Serre | first=Jean-Pierre | authorlink=Jean-Pierre Serre | chapter=VI. Local class field theory | pages=128-161 | editor1-last=Cassels | editor1-first=J.W.S. | editor1-link=J. W. S. Cassels | editor2-last=Fröhlich | editor2-first=A. | editor2-link=Albrecht Fröhlich | title=Algebraic number theory. |journal= Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union | location=London | publisher=Academic Press | year=1967 | zbl=0153.07403 }}
* {{citation | last=Tate | first=John | authorlink=John Tate | chapter=VII. Global class field theory | pages=162-203 | editor1-last=Cassels | editor1-first=J.W.S. | editor1-link=J. W. S. Cassels | editor2-last=Fröhlich | editor2-first=A. | editor2-link=Albrecht Fröhlich | title=Algebraic number theory. |journal= Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union | location=London | publisher=Academic Press | year=1967 | zbl=0153.07403 }}

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