アルバネーゼ多様体のソースを表示

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数学において、{{仮リンク|ジアコモ・アルバネーゼ|en|Giacomo Albanese}}(Giacomo Albanese)にちなんで名づけられた'''アルバネーゼ多様体'''(Albanese variety) ''A''(''V'') は、曲線の[[ヤコビ多様体]]の一般化で、多様体 V 上に与えられた点を A の単位元へ送る写像により生成されるアーベル多様体である。言い換えると、多様体 V からアルバネーゼ多様体 A(V) への射が存在し、V から任意のアーベル多様体への任意の射（与えられた点を単位元に送る）は A(V) を通して一意に分解する。複素多様体に対しても}同様な方法で、V からトーラス A(V) への射としてアルバネーゼ多様体を定義することができ{{harvtxt|Blanchard|1956}}、トーラスへの任意の射はこの写像を通して一意に分解する。（この場合は解析的多様体の場合であり、代数的である必要はない。）

[[コンパクト空間|コンパクトな]][[ケーラー多様体]]に対し、アルバネーゼ多様体の次元は、ホッジ数 h<sup>1,0</sup> である。このホッジ数は、V 上の{{仮リンク|第一種微分|en|differentials of the first kind}}(differentials of the first kind)の空間の次元であり、曲面に対してはこの次元を[[曲面の不正則数|不正則数]]と呼ぶ。[[微分形式]]のことばでは、V 上の任意の正則 1-形式は、アルバネーゼ多様体 Alb(V) 上の恒等元での正則[[余接空間]](cotangent space)からくる変換不変 1-形式の{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|pullback (differential geometry)}}(pullback)である。まさに、曲線の場合のように、V の{{仮リンク|基点|en|base point}}(base point)を選択する（そこから積分する）ことにより、'''アルバネーゼ写像'''(Albanese morphism) 

:<math> V \to \operatorname{Alb}(V) </math>

が引き戻された 1-形式に沿って定義される。この射はアルバネーゼ多様体上の変換を同一視すると一意である。

正標数の体上の多様体に対しては、アルバネーゼ多様体の次元は、ホッジ数 h<sup>1,0</sup> と h<sup>0,1</sup> （この値は等しい値である必要はない）よりも小さくなるかもしれない。このためには、アルバネーゼ多様体は、恒等元での接空間であり <math> H^1(X, O_X)</math> で与えられるピカール多様体の双対であることに注意する。この <math>\dim X \leq h^{1,0}</math> は参考文献の中の井草準一の結果である。
<!--In [[mathematics]], the '''Albanese variety''' ''A''(''V''), named for [[Giacomo Albanese]], is a generalization of the [[Jacobian variety]] of a curve, and is the  abelian variety generated by a variety ''V'' taking a given point of ''V'' to the identity of ''A''.  In other words there is a morphism from the variety ''V'' to its Albanese variety ''A''(''V''), such that any morphism from ''V'' to an abelian variety (taking the given point to the identity) factors uniquely through ''A''(''V''). For complex manifolds {{harvtxt|Blanchard|1956}} defined the Albanese variety in a similar way, as a morphism from ''V'' to a torus ''A''(''V'') such that any morphism to a torus factors uniquely through this map. (It is an analytic variety in this case; it need not be algebraic.)

For [[compact space|compact]] [[Kähler manifold]]s the  dimension of the Albanese is the Hodge number ''h''<sup>1,0</sup>, the dimension of the space of [[differentials of the first kind]] on ''V'',
which for surfaces is  called the [[irregularity of a surface]]. In terms of [[differential form]]s, any holomorphic 1-form on ''V'' is a [[pullback (differential geometry)|pullback]] of translation-invariant 1-form on the Albanese, coming from the holomorphic [[cotangent space]] of ''Alb''(''V'') at its identity element. Just as for the curve case, by choice of a [[base point]] on ''V'' (from which to 'integrate'), an '''Albanese morphism''' 

:<math> V \to \operatorname{Alb}(V) </math>

is defined, along which the 1-forms pull back. This morphism is unique up to a translation on the Albanese.
For varieties over fields of positive characteristic, the dimension of the Albanese variety may be less than the Hodge numbers 
''h''<sup>1,0</sup> and ''h''<sup>0,1</sup> (which need not be equal). To see the former note that the Albanese is dual to the Picard variety whose tangent space at the identity is given by <math> H^1(X, O_X)</math>. That <math>\dim X \leq h^{1,0}</math> is a result of Igusa in the bibliography.-->

==ピカール多様体との関係==
アルバネーゼ多様体は、[[ピカール多様体]]の{{仮リンク|アーベル多様体の双対理論|label=双対|en|duality theory of abelian varieties}}(dual)である（V の[[可逆層]]を分類する[[ピカール群#ピカールスキーム|ピカールスキーム]]の零点の[[連結空間|連結成分]]）。
:<math>\operatorname{Alb}\,V = (\operatorname{Pic}_0\,V)^\vee. </math>

[[代数曲線]]に対し、[[アーベル・ヤコビ写像|アーベル・ヤコビの定理]]は、アルバネーゼ多様体とピカール多様体が同型であることを意味している。
<!--==Connection to Picard variety==
The Albanese variety is [[duality theory of abelian varieties|dual]] to the [[Picard variety]] (the [[connected space|connected component]] of zero of the [[Picard scheme]] classifying [[invertible sheaves]] on ''V''):
:<math>\operatorname{Alb}\,V = (\operatorname{Pic}_0\,V)^\vee. </math>

For algebraic curves, the  [[Abel–Jacobi theorem]] implies that the Albanese and Picard varieties are isomorphic.-->

==参照項目==
*{{仮リンク|中間ヤコビ多様体|en|Intermediate Jacobian}}(Intermediate Jacobian)
*{{仮リンク|アルバネーゼスキーム|en|Albanese scheme}}(Albanese scheme)

==参考文献==
*{{Citation | last1=Blanchard | first1=André | title=Sur les variétés analytiques complexes | url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1956_3_73_2_157_0 | mr=0087184 | year=1956 | journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série | issn=0012-9593 | volume=73 | pages=157–202}}
* {{Citation | author=P. Griffiths | authorlink=Phillip Griffiths |author2=[[Joe Harris (mathematician)|J. Harris]] | title=Principles of Algebraic Geometry | series=Wiley Classics Library | publisher=Wiley Interscience | year=1994 | isbn=0-471-05059-8 | pages=331, 552 }}
*{{SpringerEOM|title=Albanese variety|last=Parshin|first=A. N.|urlname=Albanese_variety}}
*{{Citation | last1=Igusa | first1=Jun-ichi | title=A fundamental inequality in the theory of Picard varieties | url=http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC528086/ | year=1955}}

{{DEFAULTSORT:あるはねえせたようたい}}
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