アーノルドの猫写像のソースを表示

[[Image:Arnoldcatmap.svg|thumb|
写像がどのように単位正方形を延ばし、[[モジュロ演算]]に対してどのようにその断片が再構成されるかを図示したもの。矢印のついた直線は、[[固有値|固有空間]]が縮小および拡大される方向を表す。]]

[[数学]]における'''アーノルドの猫写像'''（アーノルドのねこしゃぞう、{{Lang-en-short|Arnold's cat map}}）は、[[トーラス]]からそれ自身へのある[[カオス理論|カオス写像]]で、1960年代に[[猫]]の画像を使ってその効果を示した[[ウラジーミル・アーノルド]]の名にちなむ<ref name="Arnold"/>。

[[商線型空間|商空間]] <math>\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2</math> としてのトーラス <math>\mathbb{T}^2</math> を考える。アーノルドの猫写像は、次の式で与えられる変換 <math>\Gamma : \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2</math> である：

:<math>\Gamma \, : \, (x,y) \to (2x+y,x+y) \bmod 1.</math>

また同値であるが、[[行列]]を使うと次のように表すことも出来る：

:<math>\Gamma \left( \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \bmod 1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \bmod 1.</math>

すなわち、単位長は正方形の像の幅と等しいものとして、この像は 1 単位上に[[せん断写像|せん断]]された後、1 単位右にせん断され、単位正方形の外側にあるものはすべてその内側に来るように戻される。

== 性質 ==
* Γ は[[行列式]]が 1 であるため、[[逆写像|可逆]]であり、その[[逆行列]]は[[整数行列]]である；
* Γ は[[測度保存力学系|面積保存]]である；
* Γ は唯一つの[[双曲型平衡点]]（正方形の[[頂点]]）を持つ。この写像を定義する線型変換は双曲型である。すなわち、[[固有値]]は無理数で、一つは（絶対値が）1 より小さく、もう一つは（絶対値が）1 より大きい。したがってそれらはそれぞれ、[[安定多様体]]および不安定多様体であるような拡大および縮小[[固有値|固有空間]]に関連する。行列は[[対称行列|対称]]であるため、それらの固有空間は直交する。固有ベクトルは[[有理依存性|有理独立]]な成分を持つため、それらの固有空間はいずれもトーラスを[[稠密集合|稠密]]に覆う。アーノルドの猫写像は特に、双曲型トーラス自己同型の有名な一例である。すなわち、絶対値が 1 であるような固有値を持たない、正方[[ユニモジュラ行列]]によって与えられるトーラスの[[自己同型]]である<ref name="Franks"/>；
* [[周期点|周期軌道]]を持つ点の集合はそのトーラス上で稠密である。実際、ある点が前周期的であるための必要十分条件は、その座標が[[有理数|有理的]]であることである；
* Γ は位相的に推移可能（topologically transitive）である。すなわち、軌道が稠密であるようなある点が存在する。これは例えば、拡大された固有空間上の任意の点に対して成り立つ；
* 周期が ''n'' であるような点の数は実際、|λ<sub>1</sub><sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;λ<sub>2</sub><sup>''n''</sup>&minus;2| である（ただし λ<sub>1</sub> および λ<sub>2</sub> はその行列の固有値である）。例えばこの級数のはじめのいくつかの項を挙げると、1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 となる<ref>{{SloanesRef|sequencenumber=A004146|access-date=2021-3-24}}</ref>。同様の式は、固有値が置き換えられるなら、任意のユニモジュラ双曲型トーラス自己同型に対して成立する；
* Γ は[[エルゴード性|エルゴード的]]な混合（mixing）である；
* Γ は{{仮リンク|アノソフ微分同相|en|Anosov diffeomorphism}}で、特に[[構造安定]]である。

== 離散猫写像 ==
[[Image:Arnold cat.png|right|frame|元の画像がカオス的になり、また元に戻る様子。150x150 ピクセル。数字は写像の反復の回数を表す。300回の反復を経て元の画像に戻る。]]

[[File:Arnold's Cat Map animation (74px, zoomed, labelled).gif|right|frame|チェリーのペアの画像に対する写像の反復。74x74 ピクセル。114回の反復を経て元の画像に戻る。その中間地点で上下逆の画像が現れる。]]

上述の写像と同様に、離散的な猫写像を定義することが出来る。そのような写像の特徴の一つとして、画像は一見ランダムに変換されるように見えるが、多くのステップを経て元の状態に戻る、というものが挙げられる。右図の画像に見られるように、元の猫の画像は[[せん断写像|せん断]]され、変換の第一の反復において回転される。その後何回かの反復で現れる画像はランダムあるいは無秩序なもののように見え、さらに何回かの反復で秩序のある猫の幽霊のような画像、すなわち繰り返された構造における小さい複数のコピーや、上下逆のものなどが現れ、最終的に元の画像に戻る。

このような離散猫写像は、円周 ''N'' の円環上での状態 ''q''<sub>t</sub> (0 ≤ ''q''<sub>t</sub> < N) から状態 ''q''<sub>t+1</sub> へのホップする玉の離散ダイナミクスとして、次の二階方程式により従うものに対応する[[相空間]]フローとして表現される：

:<math>q_{t+1} - 3q_{t} + q_{t-1} = 0 \mod N. </math>

モーメント変数 ''p''<sub>t</sub> = ''q''<sub>t</sub> - ''q''<sub>t-1</sub> を定義すると、上述の二階方程式によるダイナミクスは、正方形 0 ≤ ''q'', ''p'' < ''N''（離散力学系の[[相空間]]）からそれ自身への写像として次のように書き換えられる：

:<math>q_{t+1} = 2q_{t} + p_{t} \mod N</math>
:<math>p_{t+1} = q_{t} + p_{t} \mod N.</math>

このアーノルドの猫写像は、カオス系に典型的な混合挙動を示す。しかし、この変換の[[行列式]]は 1 に等しいので、写像は面積保存かつ可逆であり、その逆変換は次のように得られる：

:<math>q_{t-1} = q_{t} - p_{t} \mod N</math>
:<math>p_{t-1} = -q_{t} + 2p_{t} \mod N.</math>

実変数 ''q'' と ''p'' に対し、''N'' = 1 と定めることはよく行われる。そのような場合、周期境界を持つ単位正方形からそれ自身への写像が結果として得られる。

N が整数値である場合、位置変数およびモーメント変数も整数に制限され、猫写像は点のトーラス状の正方格子からそれ自身への写像となる。そのような整数猫写像は、デジタル画像を活用する[[ポアンカレの再帰定理|ポアンカレ再帰]]を伴う混合挙動を示すために幅広く用いられている。画像を元に戻すために必要となる反復の回数は 3N を超えないことが示されている<ref name="DysonFalk"/>。

ある画像に対して、各反復の間の関係は次のように表現できる：
:<math>
\begin{array}{rrcl}
n=0: \quad  &  T^0 (x,y) &= & \mbox{Input Image}(x,y) \\
n=1: \quad  &  T^1 (x,y) &= & T^0 \left( \bmod(2x+y, N), \bmod(x+y, N) \right) \\
& &\vdots \\
n=k: \quad  &  T^k (x,y) &= & T^{k-1} \left( \bmod(2x+y, N), \bmod(x+y, N) \right) \\
& &\vdots \\
n=m: \quad  & \mbox{Output Image}(x,y) &=& T^m (x,y)
\end{array}
</math>

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|カオス写像の一覧|en|List of chaotic maps}}
* [[再帰プロット]]

== 参考文献 ==
<references>
<ref name="Arnold">{{cite book
  | author= [[ウラジーミル・アーノルド|Vladimir I. Arnold]]
  |author2=A. Avez
  | title=Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique
  | location=Paris
  | publisher=Gauthier-Villars
  | year=1967|language=fr}};
'''English translation:''' {{cite book
  |author=V. I. Arnold
  |author2=A. Avez
  |title=Ergodic Problems in Classical Mechanics
  |location=New York
  |publisher=Benjamin
  |year=1968
}}</ref>
<ref name="Franks">{{cite journal
  | last1       = Franks
  | first1      = John M
  | title       = Invariant sets of hyperbolic toral automorphisms
  | journal     = American Journal of Mathematics
  | volume      = 99
  | issue       = 5
  |date=October 1977
  | pages       = 1089&ndash;1095
  | doi         = 10.2307/2374001
  | issn        = 0002-9327
  | publisher   = The Johns Hopkins University Press
}}</ref>
<ref name="DysonFalk">{{cite journal
  | title       = Period of a Discrete Cat Mapping
  | first1      = Freeman John
  | last1       = Dyson
  | authorlink1 = フリーマン・ダイソン
  | first2      = Harold
  | last2       = Falk
  | journal     = The American Mathematical Monthly
  | volume      = 99
  | issue       = 7
  | year        = 1992
  | pages       = 603–614
  | issn        = 0002-9890
  | jstor         = 2324989
  | publisher   = Mathematical Association of America
}}</ref>
</references>

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|urlname=ArnoldsCatMap|title=Arnold's Cat Map}}
*[http://www.mpipks-dresden.mpg.de/mpi-doc/kantzgruppe/wiki/projects/Recurrence.html Effect of randomisation of initial conditions on recurrence time]
* [http://demonstrations.wolfram.com/ArnoldsCatMap/ Arnold's Cat Map] by Enrique Zeleny, [[:en:The Wolfram Demonstrations Project<!-- リダイレクト先の「[[:en:Wolfram Demonstrations Project]]」は、[[:ja:Wolframデモンストレーションプロジェクト]] とリンク -->|The Wolfram Demonstrations Project]].


{{DEFAULTSORT:ああのるとのねこしやそう}}
[[Category:カオス理論]]
[[Category:数学に関する記事]]