アーベルの総和公式のソースを表示

{{出典の明記|date=2017-08}}
'''アーベルの総和公式'''（アーベルのそうわこうしき、{{Lang-en-short|Abel's summation formula}}）は、級数の変形に関する公式の一つである。
[[部分和分]]の一種で、級数の大きさの評価に用いられる（この公式による級数の変形を単に部分和分ということもある）。

== 定理 ==
数列 <math>( a_n )_{n=0, 1, \cdots}</math> と実数 <math>x\geq 0</math> に対し、
その総和を <math>A(x)=\sum_{0\leq n\leq x}a_n</math> と定める。
また関数 <math>f(t)</math> が <math>0<t<x</math> において微分可能とする。このとき
:<math>\sum_{n=0}^x a_n f(n) = A(x)f(x) - \int_0^x A(t)f^\prime (t)dt</math>
が成り立つ。

より一般に、<math>f(t)</math> が <math>x<t<y</math> において微分可能なとき
:<math>\sum_{n=x}^y a_n f(n) = A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y A(t)f^\prime (t)dt</math>
が成り立つ。

== 解説 ==
この定理は[[部分和分#アーベルの級数変形法|アーベルの級数変形法]]の特殊な場合である。

また、[[リーマン＝スティルチェス積分]]の[[部分積分]]の公式でもあり、リーマン＝スティルチェス積分を使って
:<math>\int_x^y fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int_x^y Adf</math>
とも表される。

証明については Apostol, 第3章および第4章 や Hardy-Wright, 第22章を参照。

== 例 ==
[[調和級数]] <math>\sum_{1\leq n\leq x} \frac{1}{n}</math> について、<math>a_n=1 (n=1,2, \cdots), f(t)= \frac{1}{t}</math> とおくと <math>A(x)=\lfloor x\rfloor</math> より
:<math>\sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x\rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor t\rfloor}{t^2} dt = \log x+1- \frac{\{x\}}{x} - \int_1^x \frac{\{t\}}{t^2}dt</math>
が成り立つ。このことから
:<math>\sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \log x+\gamma + O \left( \frac{1}{x} \right)</math>
となる定数 {{mvar|γ}} が存在することが分かる。この定数 {{mvar|γ}} は[[オイラーの定数]]といわれる。

== 参考文献 ==
* {{Cite book |last1=Hardy |first1=G.H. |author1-link=G. H. Hardy |last2=Wright |first2=E.M. |author2-link=E. M. Wright |edition=6th |others=Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. |title=An Introduction to the Theory of Numbers |publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] |location=Oxford |isbn=978-0-19-921986-5 |zbl=1159.11001 |year=2008 |origyear=1938}}
* {{Cite book |last=Apostol |first=Tom A. |authorlink=Tom A. Apostol |title=Introduction to analytic number theory |publisher=Springer-Verlag |series=Undergraduate Texts in Mathematics |year=1976 |isbn=978-1-4757-5579-4 |mr=0434929 |zbl=0335.10001 |doi=10.1007/978-1-4757-5579-4 }}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|717|アーベルの総和公式とその意味}}


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[[Category:数学に関する記事]]