アーベル・プラナの公式のソースを表示

数学において、'''アーベル・プラナの公式'''（{{lang-en-short|Abel–Plana formula}}）は[[留数]]の性質を巧みに用いて[[級数]]の和を与える公式である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Abel-PlanaFormula.html Wolfram Mathworld: Abel-Plana Formula]</ref>。
:<math>\begin{align}
&\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n)=\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\left(\frac{f(a+iy)}{e^{2{\pi}y}e^{-2{\pi}ia}-1}-\frac{f(a-iy)}{e^{2{\pi}y}e^{2{\pi}ia}-1}-\frac{f(b+iy)}{e^{2{\pi}y}e^{-2{\pi}ib}-1}+\frac{f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}e^{2{\pi}ib}-1}\right)dy,\qquad(a,b\not\in\mathbb{Z})\\
&\sum_{n=a}^{b}f(n)=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy,\qquad(a,b\in\mathbb{Z})\\
\end{align}</math>
但し、<math>f(x+iy)</math>が<math>a{\le}x{\le}b</math>において正則であり、<math>x</math>について一様に
: <math>\lim_{y\to+\infty}e^{-2{\pi}y}f(x{\pm}iy)=0</math>
であることを条件とする。更に
: <math>\lim_{x\to+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{f(x{\pm}iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy=0</math>
であれば
: <math>\sum_{n=0}^{\infty}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+\int_{0}^{\infty}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(iy)-f(-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy</math>
となる。

== 証明 ==
<math>\pi\cot{\pi}z</math>は<math>\forall{z\in\mathbb{Z}}</math>に位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路<math>C</math>が実軸を<math>a,b</math>で切るようにすれば、留数の定理により、
: <math>2{\pi}i\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n)=\oint_C\pi\cot{{\pi}z}f(z)dz</math>
である。積分経路の表記を
: <math>\begin{align}
&C_1:a,a+i\infty,b+i\infty,b\\
&C_2:a,a-i\infty,b-i\infty,b\\
\end{align}</math>
とすると、
: <math>\begin{align}2\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n)
&=-i\oint_C\cot{{\pi}z}f(z)dz\\
&=-i\oint_{C_2-C_1}\cot{{\pi}z}f(z)dz\\
&=-\int_{C_2}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz+\int_{C_2}f(z)-\int_{C_1}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz+\int_{C_1}f(z)dz\\
\end{align}</math>
であるが、<math>f(z)</math>は仮定により正則であるから、
: <math>\begin{align}2\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n)
&=2\int_{a}^{b}f(z)dz-\int_{C_1}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz-\int_{C_2}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz\\
\end{align}</math>
である。さて、
: <math>\begin{align}
&\begin{align}\left|1-i\cot{{\pi}z}\right|
&=\left|1+\frac{e^{{\pi}iz}+e^{-{\pi}iz}}{e^{{\pi}iz}-e^{-{\pi}iz}}\right|\\
&=\left|\frac{2e^{{\pi}iz}}{e^{-{\pi}iz}}\cdot\frac{e^{-{\pi}iz}}{e^{{\pi}iz}-e^{-{\pi}iz}}\right|\\
&=\left|\frac{2e^{{\pi}iz}}{e^{-{\pi}iz}}\cdot\frac{e^{\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\right|\le\left|3e^{2{\pi}iz}\right|\qquad(\image{z}{\ge}1)\\
\end{align}\\
&\begin{align}\left|1+i\cot{{\pi}z}\right|
&=\left|\frac{2e^{-{\pi}iz}}{e^{{\pi}iz}}\cdot\frac{e^{\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\right|\le\left|3e^{-2{\pi}iz}\right|\qquad(\image{z}{\le}-1)\\
\end{align}\\
\end{align}</math>
であり、仮定により
: <math>\lim_{x\to\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-2{\pi}y}\left|f(x{\pm}iy)\right|dy=0</math>
であるから
: <math>\begin{align}
&\begin{align}\int_{C_1}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz&=\int_{b+i\infty}^{b}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz+\int_{a}^{a+i\infty}\left(1-i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz\\
&=-\int_{0}^{i\infty}\left(1-i\cot\left({{\pi}z+{\pi}b}\right)\right)f(b+z)dz+\int_{0}^{i\infty}\left(1-i\cot\left({{\pi}z+{\pi}a}\right)\right)f(a+z)dz\qquad(z\rightarrow{b+z,a+z})\\
&=-\int_{0}^{\infty}\left(i+\cot\left({{\pi}iy+{\pi}b}\right)\right)f(b+iy)dy+\int_{0}^{\infty}\left(i+\cot\left({{\pi}iy+{\pi}a}\right)\right)f(a+iy)dy\qquad(z\rightarrow{iy})\\
\end{align}\\
&\begin{align}\int_{C_2}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz&=\int_{a}^{a-i\infty}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz+\int_{b-i\infty}^{b}\left(1+i\cot{{\pi}z}\right)f(z)dz\\
&=-\int_{0}^{i\infty}\left(1-i\cot\left({{\pi}z-{\pi}a}\right)\right)f(a-z)dz+\int_{0}^{i\infty}\left(1-i\cot\left({{\pi}z-{\pi}b}\right)\right)f(b-z)dz\qquad(z\rightarrow{a-z,b-z})\\
&=-\int_{0}^{\infty}\left(i+\cot\left({{\pi}iy-{\pi}a}\right)\right)f(a-iy)dz+\int_{0}^{\infty}\left(i+\cot\left({{\pi}iy-{\pi}b}\right)\right)f(b-iy)dz\qquad(z\rightarrow{iy})\\
\end{align}\\
\end{align}</math>
である。また、
: <math>i+\cot{z}=i+i\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2ie^{iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}=-\frac{2i}{e^{-2iz}-1}</math>
であるから、以上を綜合して
: <math>\sum_{n=\lceil{a}\rceil}^{\lfloor{b}\rfloor}f(n)=\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\left(\frac{f(a+iy)}{e^{2{\pi}y}e^{-2{\pi}ia}-1}-\frac{f(a-iy)}{e^{2{\pi}y}e^{2{\pi}ia}-1}-\frac{f(b+iy)}{e^{2{\pi}y}e^{-2{\pi}ib}-1}+\frac{f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}e^{2{\pi}ib}-1}\right)dy,\qquad(a,b\not\in\mathbb{Z})</math>
を得る。また、<math>a,b</math>が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、
: <math>\sum_{n=a}^{b}f(n)=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy,\qquad(a,b\in\mathbb{Z})</math>
となる。

== オイラーの和公式との関係 ==
<math>f(a\pm{iy})</math>を<math>a</math>を中心とした[[テイラー級数]]に、<math>f(b\pm{iy})</math>を<math>b</math>を中心としたテイラー級数に展開すると、
: <math>\begin{align}\sum_{n=a}^{b}f(n)
&=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi}y}-1}dy\\
&=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+i\int_{0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)(iy)^k-f^{(k)}(a)(-iy)^k-f^{(k)}(b)(iy)^k+f^{(k)}(b)(-iy)^k}{\left(e^{2{\pi}y}-1\right)k!}dy\\
&=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+2\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{f^{(2k-1)}(a)-f^{(2k-1)}(b)}{(2k-1)!}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{2k-1}}{e^{2{\pi}y}-1}dy\\
\end{align}</math>
となるが、最後の積分は
: <math>\begin{align}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{2k-1}}{e^{2{\pi}y}-1}dy
&=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-2{\pi}y}y^{2k-1}}{1-e^{-2{\pi}y}}dy\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-2{\pi}ny}y^{2k-1}dy\\
&=\frac{1}{(2{\pi})^{2k}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{2k-1}dt\qquad(t=2{\pi}ny)\\
&=\frac{(2k-1)!}{(2{\pi})^{2k}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}\\
&=\frac{(-1)^{k-1}B_{2k}}{4k}\\
\end{align}</math>
であるから
: <math>\begin{align}\sum_{n=a}^{b}f(n)
&=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\int_{a}^{b}f(z)dz+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\\
\end{align}</math>
となり、[[オイラーの和公式]]を得る。なお、<math>B_{2k}</math>は[[ベルヌーイ数]]である。

== 出典 ==
<references/>

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{{DEFAULTSORT:あへるふらなのわこうしき}}
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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]