アーベル・ヤコビ写像のソースを表示

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数学では、'''アーベル・ヤコビ写像'''(アーベル・ヤコビしゃぞう、Abel–Jacobi map)は、[[代数曲線]]とその[[ヤコビ多様体]]とを関連付ける[[代数幾何学]]で構成する写像である。[[リーマン幾何学]]では、[[多様体]]をヤコビトーラスへ写像するという、より一般的な構成の写像である。写像の名称は、2つの[[因子 (代数幾何学)#ヴェイユ因子|有効因子]]が{{仮リンク|因子の一次系|label=線型同値|en|Linear system of divisors}}(linearly equivalent)であることと、アーベル・ヤコビ写像の下では 2つの因子が同一視できることと同値であるという定理が、[[#アーベル・ヤコビの定理|アーベル・ヤコビの定理]]である。この定理の名称は、発見者である[[ニールス・アーベル|アーベル]]と[[カール・ヤコビ|ヤコビ]]に因んでいる。
<!--In [[mathematics]], the '''Abel–Jacobi map''' is a construction of [[algebraic geometry]] which relates an [[algebraic curve]] to its [[Jacobian variety]].  In [[Riemannian geometry]], it is a more general construction mapping a [[manifold]] to its Jacobi torus.
The name derives from the [[#Abel–Jacobi theorem|theorem]] of [[Niels Henrik Abel|Abel]] and [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]] that two [[effective divisor]]s are [[linearly equivalent]] if and only if they are indistinguishable under the Abel–Jacobi map.-->

==写像の構成==

[[代数幾何学|複素代数幾何学]]では、曲線 C のヤコビ多様体は、経路積分を使い構成される。つまり、C が[[種数]] g の曲線を持っていて、位相的には、
: <math>H_1(C, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}</math>
とすると、幾何学的には、このホモロジー群は C の'''サイクル'''（のホモロジークラス）、言い換えると閉じたループから構成されるとすると、ホモロジー群を生成する 2g 個のループ <math>\gamma_1, \dots, \gamma_{2g}</math> を選ぶことができる。他方、C の種数が g であるという別の代数幾何学的な方法は、
: <math>H^0(C, K) \cong \mathbb{C}^g,</math>
であり、ここに K は C の[[標準バンドル]]である。定義により、これは大域的に定義された C 上の正則[[微分形式]]の空間であるので、線型独立な g は <math>\omega_1, \dots, \omega_g</math> を形成する。形式と閉形式が与えられると、積分することができ、2g 個のベクトルを
: <math>\Omega_j = \left(\int_{\gamma_j} \omega_1, \dots, \int_{\gamma_j} \omega_g\right) \in \mathbb{C}^g</math>
とすることができる。これは[[リーマンの双線型関係式]]に従う。リーマンの双線型関係式は、<math>\Omega_j</math> は非退化[[格子 (群)|格子]] (lattice) <math>\Lambda</math> （つまり、格子は、<math>\mathbb{C}^g \cong \mathbb{R}^{2g}</math> の実基底）であり、ヤコビ多様体は、
: <math>J(C) = \mathbb{C}^g/\Lambda</math>
で定義される。

従って、'''アーベル・ヤコビ写像'''(Abel–Jacobi map)は次のように定義される。基点を <math>p_0 \in C</math> と取り、ほぼ <math>\Lambda</math> の定義と類似させて、写像
: <math>u \colon C \to J(C), u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right)  \bmod \Lambda.</math>
を定義する。これは一見、<math>p_0</math> から <math>p</math> への経路と独立のように見えるが、任意のそのような経路は、 <math>C</math> の中の閉ループを定義し、従って、<math>H_1(C, \mathbb{Z})</math> の元、従って、その上での積分は、<math>\Lambda</math> の元を与える。このように、差異は <math>\Lambda</math> による商への道の中で消滅する。基点 <math>p_0</math> を変更により、写像を変更されるのみならず、トーラスの変換によっても変更される。
<!--==Construction of the map==

In [[complex algebraic geometry]], the Jacobian of a curve ''C'' is constructed using path integration.  Namely, suppose ''C'' has [[genus of a curve|genus]] ''g'', which means topologically that
: <math>H_1(C, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{2g}.</math>
Geometrically, this homology group consists of (homology classes of) ''cycles'' in ''C'', or in other words, closed loops.  Therefore we can choose 2''g'' loops <math>\gamma_1, \dots, \gamma_{2g}</math> generating it.  On the other hand, another, more algebro-geometric way of saying that the genus of ''C'' is ''g'', is that
: <math>H^0(C, K) \cong \mathbb{C}^g,</math> where ''K'' is the [[canonical bundle]] on ''C''.
By definition, this is the space of globally defined holomorphic [[differential form]]s on ''C'', so we can choose ''g'' linearly independent forms <math>\omega_1, \dots, \omega_g</math>.  Given forms and closed loops we can integrate, and we define 2''g'' vectors
: <math>\Omega_j = \left(\int_{\gamma_j} \omega_1, \dots, \int_{\gamma_j} \omega_g\right) \in \mathbb{C}^g.</math>
It follows from the [[Riemann bilinear relations]] that the <math>\Omega_j</math> generate a nondegenerate [[lattice (group)|lattice]] <math>\Lambda</math> (that is, they are a real basis for <math>\mathbb{C}^g \cong \mathbb{R}^{2g}</math>), and the Jacobian is defined by
: <math>J(C) = \mathbb{C}^g/\Lambda.</math>

The '''Abel–Jacobi map''' is then defined as follows.  We pick some base point <math>p_0 \in C</math> and, nearly mimicking the definition of <math>\Lambda</math>, define the map
: <math>u \colon C \to J(C), u(p) = \left( \int_{p_0}^p \omega_1, \dots, \int_{p_0}^p \omega_g\right)  \bmod \Lambda.</math>
Although this is seemingly dependent on a path from <math>p_0</math> to <math>p,</math> any two such paths define a closed loop in <math>C</math> and, therefore, an element of <math>H_1(C, \mathbb{Z}),</math> so integration over it gives an element of <math>\Lambda.</math>  Thus the difference is erased in the passage to the quotient by <math>\Lambda</math>. Changing  base-point <math>p_0</math>  does change the map, but only by a translation of the torus.-->

==リーマン多様体のアーベル・ヤコビ写像==

<math>M</math> を滑らかなコンパクト[[多様体]]とし、<math>M</math> の基本群を <math>\pi=\pi_1(M)</math> とする。基本群の[[交換子部分群#アーベル化|アーベル化]]写像を <math>f: \pi \to \pi^{ab}</math> とする。アーベル化写像 <math>\pi^{ab}</math> の捩れ部分群を <math>tor= tor(\pi^{ab})</math> とし、<math>g: \pi^{ab} \to \pi^{ab}/tor</math> を捩れによる商とする。

<math>M</math> が曲面で g を曲面の種数とすると、<math>\pi^{ab}/tor</math> は、<math>\mathbb{Z}^{2g}</math> と同型となる。さらに一般的には、<math>b</math> を第一ベッチ数とすると、<math>\pi^{ab}/tor </math> は <math>\mathbb{Z}^b </math> と同型となる。さらに、<math>\phi=g \circ f : \pi \to \mathbb{Z}^b </math> を合成した準同型とする。

'''定義'''：多様体 <math>M</math> の被覆 <math>\bar M</math> に対応する部分群 <math>\mathrm{Ker}(\phi)\subset \pi</math> を、普遍（もしくは、最大）[[自由アーベル群]]という。
<!--==The Abel–Jacobi map of a Riemannian manifold==

Let <math>M</math> be a smooth compact [[manifold]].  Let <math>\pi=\pi_1(M)</math> be its fundamental group.  Let  <math>f: \pi \to \pi^{ab}</math> be its [[abelianisation]] map.  Let
<math>tor= tor(\pi^{ab})</math> be the torsion subgroup of
<math>\pi^{ab}</math>.  Let <math>g: \pi^{ab} \to \pi^{ab}/tor</math>
be the quotient by torsion.  If <math>M</math> is a surface, <math>\pi^{ab}/tor</math> is non-canonically isomorphic to
<math>\mathbb{Z}^{2g}</math>, where <math>g</math> is the genus; more generally,  <math>\pi^{ab}/tor </math> is non-canonically isomorphic to <math>\mathbb{Z}^b </math>, where <math>b</math> is the first Betti number.  Let <math>\phi=g \circ f : \pi \to \mathbb{Z}^b </math> be the composite homomorphism.

Definition. The cover <math>\bar M</math> of the manifold
<math>M</math> corresponding the subgroup <math>\mathrm{Ker}(\phi)
\subset \pi</math> is called the universal (or maximal) free abelian
cover.-->

ここで、M が[[リーマン計量]]を持っているとし、<math>E</math> を <math>M</math> の調和 1-形式の空間とし、その双対 <math>E^*</math> を標準的に <math>H_1(M,\mathbb{R})</math> と同一視する。調和 1-形式を基点 <math>x_0\in M</math> からの経路に沿って積分すると、円への写像
<math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}=S^1</math>
を得る。

同様に、写像 <math>M\to H_1(M,\mathbb{R}) / H_1(M,\mathbb{Z})_{\mathbb{R}}</math> をコホモロジーの基底を選ぶことなしに定義するために、次のようにする。<math>x</math> を <math>M</math> の[[被覆空間#普遍被覆|普遍被覆]] <math>\tilde{M}</math> の点とする。<math>x</math> を <math>M</math> の点と <math>x_0</math> からの経路 <math>c</math> により表わす。経路 <math>c</math> に沿って積分すると、<math>E</math> 上の線型形式 <math>h\to \int_c h</math> を得る。このようにして、写像 <math>\tilde{M}\to E^* = H_1(M,\mathbb{R})</math> を得ることができ、この写像は、
:<math> \overline{A}_M: \overline{M}\to E^*,\;\; c\mapsto \left(h\mapsto \int_c h \right),</math> ともなっている。ここに、<math>\overline{M}</math> は普遍自由アーベル被覆である。
<!--Now assume ''M'' has a [[Riemannian metric]].  Let <math>E</math> be the space of harmonic <math>1</math>-forms on
<math>M</math>, with dual <math>E^*</math> canonically identified with
<math>H_1(M,\mathbb{R})</math>.  By integrating an integral
harmonic <math>1</math>-form along paths from a basepoint <math>x_0\in
M</math>, we obtain a map to the circle
<math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}=S^1</math>.

Similarly, in order to define a map <math>M\to H_1(M,\mathbb{R}) /
H_1(M,\mathbb{Z})_{\mathbb{R}}</math> without choosing a basis for
cohomology, we argue as follows.  Let <math>x</math> be a point in the
[[universal cover]] <math>\tilde{M}</math> of <math>M</math>.  Thus
<math>x</math> is represented by a point of <math>M</math> together
with a path <math>c</math> from <math>x_0</math> to it.  By
integrating along the path <math>c</math>, we obtain a linear form,
<math>h\to \int_c h</math>, on <math>E</math>.  We thus obtain a map
<math>\tilde{M}\to E^* = H_1(M,\mathbb{R})</math>, which,
furthermore, descends to a map

:<math> \overline{A}_M: \overline{M}\to E^*,\;\; c\mapsto \left(
h\mapsto \int_c h \right),</math>

where <math>\overline{M}</math> is the universal free abelian cover.-->

'''定義''' <math>M</math> のヤコビ多様体（ヤコビトーラス）は、

:<math>J_1(M)=H_1(M,\mathbb{R})/H_1(M,\mathbb{Z})_\mathbb{R}</math>

である。

'''定義''' '''アーベル・ヤコビ写像'''(Abel–Jacobi map)

:<math>A_M: M \to J_1(M),</math>

は、上の写像の商をとることにより得られる。

アーベル・ヤコビ写像は、ヤコビトーラスの変換を同一視すると一意的である。写像は{{仮リンク|シストリック幾何学|en|Systolic geometry}}(Systolic geometry)への応用がある。
<!--Definition. The Jacobi variety (Jacobi torus) of <math>M</math> is the
torus

:<math>J_1(M)=H_1(M,\mathbb{R})/H_1(M,\mathbb{Z})_\mathbb{R}.</math>

Definition.  The ''Abel–Jacobi map''

:<math>A_M: M \to J_1(M),</math>

is obtained from the map above by passing to quotients.

The Abel–Jacobi map is unique up to translations of the Jacobi torus.  The map has applications in [[Systolic geometry]].-->

同じ方法の多くの中に、アーベル・ヤコビ写像のグラフ理論での類似を、有限グラフから平坦トーラス（有限アーベル群に付帯するケイリーグラフ）への P-L写像を定義することができる。これは、結晶格子のランダムウォークの漸近的な振る舞いに関係していて、結晶構造の設計に使うことができる。興味深いことに、リーマン多様体のアーベル・ヤコビ写像は、周期的多様体上の熱核の長時間の漸近展開の中に現れる。({{harvtxt|Kotani|Sunada|2000}} and {{harvtxt|Sunada|2012}})

非常に良く似た方法で、有限グラフから平坦トーラス（あるいは、有限アーベル群を伴うケーレイグラフ）へのPL写像として、アーベル・ヤコビ写像のグラフ理論的な類似を定義することができる。このことは、結晶格子上のランダムウォークの漸近的な振る舞いと密接に関連していて、結晶構造のデザインに使うことができる。
<!--In much the same way, one can define a graph-theoretic analogue of Abel-Jacobi map as a P-L map from a finite graph into a flat torus (or a Cayley graph associated with a finite abelian group), which is closely related to asymptotic behaviors of random walks on crystal lattices, and can be used for design of crystal structures. Interestingly, the Abel-Jacobi map of a Riemannian manifold show up in a large time asymptotic of the heat kernel on a periodic manifold ({{harvtxt|Kotani|Sunada|2000}} and {{harvtxt|Sunada|2012}}).

In much the same way, one can define a graph-theoretic analogue of Abel-Jacobi map as a P-L map from a finite graph into a flat torus (or a Cayley graph associated with a finite abelian group), which is closely related to asymptotic behaviors of random walks on crystal lattices, and can be used for design of crystal structures.-->

==アーベル・ヤコビの定理==

次の定理は、アーベル(Abel)により証明された。
: <math>D = \sum_i n_i p_i\ </math>
が因子であると仮定する（C の点の形式的線型結合であることを意味する）と、
: <math>u(D) = \sum_i n_i u(p_i)\ </math>
と定義することができ、従って、因子上のアーベル・ヤコビ写像の値を言うことができる。この理論は、 D と E が 2つの'''有効'''な因子である、つまり、<math>n_i</math> がすべて正の整数であると、
: <math>u(D) = u(E)\ </math>
であることと、<math>D</math> が <math>E</math> が{{仮リンク|線型同値|en|linearly equivalent}}(linearly equivalent)であることとは、同値である。このことは、アーベル・ヤコビ写像が、次数 0 の因子類群の空間からヤコビ多様体への（アーベル群の）単射写像を誘導することを意味する。ヤコビは、この写像が全射でもあることを証明し、従って 2つの群は自然に同型となることを証明した。

アーベル・ヤコビの定理は、コンパクト複素曲線（正則 1-形式の周期を modulo とする双対）の[[アルバネーゼ多様体]]は、その[[ヤコビ多様体]]（次数 0 の因子の同値類）と同型であることを意味している。高次元のコンパクト射影多様体について、アルバネーゼ多様体やピカール多様体は、双対であるが同型であるとは限らない。
<!--==Abel–Jacobi theorem==

The following theorem was proved by Abel: Suppose that
: <math>D = \sum_i n_i p_i\ </math>
is a divisor (meaning a formal integer-linear combination of points of ''C'').  We can define
: <math>u(D) = \sum_i n_i u(p_i)\ </math>
and therefore speak of the value of the Abel–Jacobi map on divisors.  The theorem is then that if ''D'' and ''E'' are two ''effective'' divisors, meaning that the <math>n_i</math> are all positive integers, then
: <math>u(D) = u(E)\ </math> if and only if <math>D</math> is [[linearly equivalent]] to <math>E.</math> This implies that the Abel–Jacobi map induces an injective map (of abelian groups) from the space of divisor classes of degree zero to the Jacobian.
Jacobi proved that this map is also surjective, so the two groups are naturally isomorphic. 

The Abel–Jacobi theorem implies that the  [[Albanese variety]] of a compact complex curve (dual of holomorphic 1-forms modulo periods) is isomorphic to its [[Jacobian variety]] (divisors of degree 0 modulo equivalence).  For higher-dimensional  compact projective varieties the Albanese variety and the Picard variety are dual but need not be isomorphic.-->

==参考文献==
*{{cite book
 | author = E. Arbarello
 |author2=M. Cornalba|author3=P. Griffiths|author4=J. Harris
 | title = Geometry of Algebraic Curves, Vol. 1
 | year = 1985
 | series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | isbn = 978-0-387-90997-4
 | chapter = 1.3, ''Abel's Theorem''
}}

*{{Citation | last1=Kotani | first1=Motoko | last2=Sunada | first2=Toshikazu | title=Albanese maps and an off diagonal long time asymptotic for the heat kernel | year=2000 | journal=Comm. Math. Phys.| volume=209 | pages=633–670 | doi=10.1007/s002200050033}}

*{{Citation | last1=Sunada | first1=Toshikazu | author-link=Toshikazu Sunada |title=Lecture on topological crystallography | year=2012 | journal=Japan. J. Math. | volume=7 | pages=1–39 | doi=10.1007/s11537-012-1144-4}}

{{DEFAULTSORT:ああへるやこひしやそう}}
[[Category:代数曲線]]
[[Category:リーマン幾何学]]
[[Category:ニールス・アーベル]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]