アーベル圏のソースを表示

{{混同|アーベル群の圏}}
{{Pathnavbox|{{Pathnav|[[数学]]|[[ホモロジー代数]]・[[圏論]]}}}}

'''アーベル圏'''（アーベルけん、{{lang-en-short|abelian category}}<ref group="注">[[ニールス・アーベル|アーベル]]の名にちなむが、「abelian」の語頭は小文字を用いる。本項執筆者が確認した範囲では、[[#Rotman]] p.303、[[#Mitchell]] p.33. [[#MacLane]] p.198で小文字であった。</ref>）とは[[鎖複体|（コ）チェイン複体]]の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]/[[コホモロジー]]と[[層係数コホモロジー|層のコホモロジー]]の双方を展開するのに十分な構造を備えた[[圏 (数学)|圏]]である。

アーベル圏となる圏の具体例としては[[アーベル群の圏]]や[[加群の圏|環上の加群の圏]]、アーベル圏上の（コ）チェイン複体の圏、およびアーベル圏に値を取る前層や層の圏が挙げられる。

アーベル圏の著しい性質として'''加法圏'''になる事、すなわちアーベル圏の対象間の射の[[クラス (集合論)|クラス]]<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>がアーベル群になる（事に加え、いくつかのよい性質を満たす）事が挙げられる。

アーベル圏が[[小さい圏]]であればアーベル圏は加群の圏に埋め込める（[[ミッチェルの埋め込み定理]]）。よって特に加群の圏で成立する事実、例えば[[5項補題]]や[[蛇の補題]]のように[[ホモロジー代数]]を展開する上で必須となる補題を満たす。



[[ソーンダース・マックレーン|マックレーン]]<ref>[[#MacLane]] p.205.</ref>は[[アレクサンドル・グロタンディーク|グロタンディーク]]が1958年の論文<ref>[[アーベル圏#Grothendieck|<nowiki/>]]{{harvtxt|Grothendieck|1957}}</ref>でアーベル圏を定義したとするが、別の文献<ref name=":0" />によれば、[[サミュエル・アイレンベルグ|アイレンベルグ]]の弟子の<ref name=":0">{{Cite web |url=https://www.ams.org/journals/notices/202201/rnoti-p76.pdf?adat=January%202022&trk=2410&cat=interest&galt=none&_zs=kq3BH1&_zl=7ckX6 |title=MEMORIAL TRIBUTE Remembering David Buchsbaum |access-date=2023/12/22 |publisher=[[アメリカ数学会|American Mathematical Society]] |author=David Eisenbud and Jerzy Weyman}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/David+Buchsbaum |title=David Buchsbaum |access-date=2023/12/22 |website=nLab}}</ref>{{訳語疑問点範囲|[[:en:David_Buchsbaum|デイビット・バックズバウム]]|date=2023/12/22}}が1955年の博士論文<ref>{{harvtxt|Buchsbaum|1955}}</ref>で「{{En|exact category}}」の名称でこの概念を提案し、これを知ったグロタンディークが「アーベル圏」という名前でこの概念を広めた。

== 加法圏 ==
上述のようにアーベル圏の著しい性質として加法圏になる事が挙げられるので、本節ではアーベル圏を導入する準備として、加法圏の定義とその性質を述べる。

=== 定義 ===
加法圏は以下のように定義される：{{math theorem|定義|圏<math>\mathcal{C}</math>が'''[[前加法圏]]'''（{{lang-en-short|preadditive category}}、{{lang-en-short|Ab-category}}）であるとは、<math>\mathcal{C}</math>の任意の対象{{mvar|A}}、{{mvar|B}}に対し、<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>には2項演算子「<math>+</math>」が定義されており、「<math>+</math>」に関して<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>は[[アーベル群]]になり、さらに任意の射<math>f,~f'~:~A \to B</math>、<math>g,~g'~:~B \to C</math>に対し、射の結合は下記の双線型性を満たす事を言う<ref>[[#MacLane]] p.28, 194.</ref>：
:<math>g \circ (f + f') = g \circ f + g \circ f'</math>
:<math>(g + g')\circ f = g \circ f + g' \circ f</math>

}}{{math theorem|定義|前加法圏<math>\mathcal{C}</math>が'''{{仮リンク|加法圏|en|padditive category|preserve=1}}'''（{{lang-en-short|additive category}}）であるとは、以下を満たす事を言う<ref name="名前なし-20240628120514">[[#MacLane]] p.194.</ref><ref>[[#河田]] p.177.</ref><ref>{{cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/additive+category|title=additive category|website=nLab|accessdate=2023/12/19}}</ref><ref>{{cite web|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Additive_category|title=additive category|website=Encyclopedia of Mathematics|accessdate=2023/12/19}}</ref><ref>[[#Rotman]] p.303.</ref>{{refn|group="注"|[[#河田]]のみ２番めの条件が「２つの対象の積」ではなく単に「積」になっているが、「２つの対象の積」の意味であると判断。実際その直後に２つの積が余積や複積と等しいことを示している。}}：
# <math>\mathcal{C}</math>は[[零対象]]を持つ
# <math>\mathcal{C}</math>の任意の対象{{mvar|A}}、{{mvar|B}}に対し、{{mvar|A}}と{{mvar|B}}の[[積 (圏論)|積]]が常に存在する。}}

=== 特徴づけ ===
加法圏の1番目の条件は以下のようにも言い換えられる：{{math theorem|定理|<math>\mathcal{C}</math>を前加法圏とし、{{mvar|Z}}を<math>\mathcal{C}</math>の対象とするとき、以下の4条件は同値である<ref name="名前なし-20240628120514"/>。
* {{mvar|Z}}は[[始対象]]である。
* {{mvar|Z}}は[[終対象]]である。
* <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>のアーベル群としての単位元を<math>0_{AB}~:~A \to B</math>と表すと、<math>0_{ZZ}=\mathrm{id}_Z</math>
* <math>\mathrm{Hom}(Z,Z)</math>は単位元のみからなる群である。
}}加法圏の２番目の条件は以下のようにも言い換えられる：{{math theorem|定理|<math>\mathcal{C}</math>を零対象{{mvar|Z}}が存在する前加法圏とするとき、以下は同値である<ref name="河田178">[[#河田]] p.178.</ref>。
* <math>\mathcal{C}</math>の任意の対象{{mvar|A}}、{{mvar|B}}に対し、{{mvar|A}}と{{mvar|B}}の積が常に存在する。
* <math>\mathcal{C}</math>の任意の対象{{mvar|A}}、{{mvar|B}}に対し、{{mvar|A}}と{{mvar|B}}の[[余積]]が常に存在する。
* <math>\mathcal{C}</math>の任意の対象{{mvar|A}}、{{mvar|B}}に対し、{{mvar|A}}と{{mvar|B}}の{{仮リンク|複積|en|biproduct}}（後述）が常に存在する。}}ここで複積とは以下のように定義される概念である：{{math theorem|定義|{{mvar|A}}、{{mvar|B}}を前加法圏<math>\mathcal{C}</math>の対象とするとき、
:<math>A \underset{\iota_A}{\overset{p_A}{\leftrightarrows}}  A \oplus B \underset{\iota_B}{\overset{p_B}{\rightleftarrows}}  B</math>
が{{mvar|A}}と{{mvar|B}}の'''複積'''（{{lang-en-short|biproduct}}）であるとは、以下を満たす事を言う<ref name="河田178" />：
* <math>p_A \circ \iota_A =\mathrm{id}_A</math>
* <math>p_B \circ \iota_B =\mathrm{id}_B</math>
* <math>\iota_A \circ p_A + \iota_B \circ p_B = \mathrm{id}_{A \oplus B}</math>}}実は次が成立する：{{math theorem|定理|<math>\mathcal{C}</math>を加法圏とし、{{mvar|A}}、{{mvar|B}}を<math>\mathcal{C}</math>対象とするとき、{{mvar|A}}と{{mvar|B}}の積、余積、複積は一致する<ref name="河田178" />。}}

== アーベル圏 ==
本節ではまずアーベル圏の定義を述べ、次にアーベル圏が加法圏になる事を見る。そしてアーベル圏上のホモロジー代数について述べ、最後にアーベル圏が小さい圏であれば加群の圏に埋め込める事を見る。

=== 定義 ===
アーベル圏は以下のように定義される。
{{Math theorem|定義|圏<math>\mathcal{C}</math>が以下の4つの性質をみたすとき、<math>\mathcal{C}</math>は'''アーベル圏'''であるという<ref>[[#河田]] p,168,</ref>：
# <math>\mathcal{C}</math>に[[零対象]]が存在する。
# <math>\mathcal{C}</math>の任意の対象{{mvar|A}}、{{mvar|B}}に対し、{{mvar|A}}と{{mvar|B}}の[[積 (圏論)|積]]および[[余積]]が常に存在する。
# <math>\mathcal{C}</math>の任意の射<math>f~:~A \to B</math>には[[核 (圏論)|核]]<math>\mathrm{ker} f</math>と[[余核]]<math>\mathrm{coker} f</math>が存在する。
# 任意の[[モニック射]]<math>f~:~A \to B</math>に対しある射<math>g~:~B \to C</math>が存在し、<math>f~:~A \to B</math>は{{mvar|g}}の核である。また任意の[[エピ射|エピック射]]<math>f~:~A \to B</math>に対しある射<math>h~:~C \to A</math>が存在し、<math>f~:~A \to B</math>は{{mvar|h}}の余核である。

}}[[環 (数学)|環]]{{mvar|R}}をfixするとき、[[加群の圏|左{{mvar|R}}-加群の圏]]{{math|1=''R''-'''Mod'''}}はアーベル圏である<ref name="Rotman308" />。よって特に<math>\mathbb{Z}</math>-加群の圏、すなわち[[アーベル群の圏]]{{math|1='''Ab'''}}はアーベル圏である<ref name="Rotman308" />。それ以外の具体例は[[#具体例|後述]]する。

=== 像と余像 ===
アーベル圏<math>\mathcal{C}</math>では射<math>f~:~A \to B</math>の射の核と余核の存在が保証されているので、以下の定義ができる：
{{Math theorem|定義|アーベル圏<math>\mathcal{C}</math>の射<math>f~:~A \to B</math>の余核<math>c~:~B \to C</math>の核<math>k~:~K\to B </math>を{{Mvar|f}}の'''像'''（{{lang-en-short|image}}）という<ref name="Rotman309">[[#Rotman]] p.309</ref><ref name="河田174">[[#河田]] pp.174-177.</ref>。}}<math>\mathcal{C}</math>が{{Mvar|R}}-加群の圏の場合は{{Mvar|f}}の余核{{Mvar|C}}は<math>C=B/f(A)</math>なので、<math>c ~:~ B \to B/f(A)</math>の核は通常の意味での{{Mvar|f}}の[[像 (数学)|像]]<math>f(A)</math>に一致する。一般のアーベル圏の場合も、像{{mvar|k}}は[[像 (圏論)|圏論的な意味での像の定義]]を満たす<ref name="Rotman309" />。

像と双対的に余像も定義できる：

{{Math theorem|定義|アーベル圏<math>\mathcal{C}</math>の射<math>f~:~A \to B</math>の核<math>k ~:~K\to A </math>の余核<math>c  ~:~A \to C</math>を{{Mvar|f}}の'''余像'''（{{lang-en-short|coimage}}）という<ref name="河田174"/>。}}

「核の余核」という定義より、<math>\mathcal{C}</math>が{{Mvar|R}}-加群の圏の場合、余像は[[余像|通常の意味での余像]]<math>A/\mathrm{Ker}f </math>に一致する。一般のアーベル圏の場合も圏論的な意味での余像の定義も満たす。

=== 単射と全射 ===
アーベル圏では単射と全射を定義でき、これらはそれぞれモニック射、エピック射に一致する：{{Math theorem|定義|<math>\mathcal{C}</math>をアーベル圏とし、<math>f~:~A \to B</math>を<math>\mathcal{C}</math>の射とする。このとき
* {{mvar|f}}が'''[[単射]]'''（{{lang-en-short|injective}}）であるとは、<math>\mathrm{Ker} f=0</math>となる事をいう<ref name="Staks-Abelian-Categories">{{cite web|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/00ZX|accessdate=2024/01/09|title=12.5 Abelian categories|website=
The Stacks project|publisher=[[コロンビア大学|Columbia University]]}}</ref>。
* {{mvar|f}}が'''[[全射]]'''（{{lang-en-short|surjective}}）であるとは、<math>\mathrm{Coker} f=0</math>となる事をいう<ref name="Staks-Abelian-Categories" />。}}

{{Math theorem|定理|<math>\mathcal{C}</math>をアーベル圏とし、<math>f~:~A \to B</math>を<math>\mathcal{C}</math>の射とする。このとき、
* {{mvar|f}}が単射である必要十分条件は{{mvar|f}}がモニック射である事である<ref name="Staks-Abelian-Categories" />
* {{mvar|f}}が全射である必要十分条件は{{mvar|f}}がエピック射である事である<ref name="Staks-Abelian-Categories" />}}

=== アーベル圏は加法圏 ===
アーベル圏の重要な性質として、アーベル圏が加法圏になる事が挙げられる：
{{Math theorem|定理|アーベル圏は加法圏である<ref>[[#河田]] p.180.</ref>。}}

アーベル圏の定義から、零対象の存在性と積の存在性は明らかに従うので、<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>にアーベル群の構造が入ることのみ示せば良い。ここでは<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>上の加法の定義を述べるにとどめ、加法がアーベル群の公理を満たすことの証明は略す。

==== 準備 ====
<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>に加法を定義するためにいくつか記号を定義する。アーベル圏<math>\mathcal{C}</math>の対象{{Mvar|C}}、{{Mvar|A}}に対し、{{Mvar|A}}と{{Mvar|A}}自身との積を<math>A \overset{p_1}{\leftarrow} A \times  A \overset{p_2}{\rightarrow} A </math>とし、<math>f_1,f_2 ~:~C \to A</math>を2つの射とするとき、

: <math>f_1 \times f_2 ~:~C \to A \times A</math>  such that  <math> p_1 \circ (f_1\times f_2) = f_1 </math>, <math>  p_2 \circ (f_1\times f_2) =  f_2  </math>

となるものが積の[[普遍性]]から一意に存在する。同様に余積<math>A \overset{\iota_1}{\rightarrow} A \amalg  A \overset{\iota_2}{\leftarrow} A </math>と2つの射<math>g_1,g_2 ~:~A \to B</math>に対し、射

: <math>g_1 \amalg g_2 ~:~A \amalg A \to B</math> such that <math> (g_1\amalg g_2) \circ \iota_1 = g_1  </math>, <math> (g_1\amalg g_2) \circ \iota_2 = g_2   </math>

となるものが余積の普遍性から一意に存在する。

==== 加法の定義 ====
{{Mvar|A}}、{{Mvar|B}}をアーベル圏<math>\mathcal{C}</math>の2つの対象とすると、自然な写像

: <math>A \amalg  B \to A \times B </math>
は同等射になる<ref name="河田193" />。そこでこれら二つを同一視し、2つの射<math> f,g~:~A \to B  </math>に対し、

: <math>f +_L g := (f \amalg g) \circ (\mathrm{id}_A \times \mathrm{id}_A) ~:~ A \to B</math>
: <math>f +_R g :=  (\mathrm{id}_A \amalg \mathrm{id}_A) \circ (f \times g) ~:~ A \to B</math>

とすると{{refn|group="注"|<math>\mathrm{id}_A \times \mathrm{id}_A</math>は[[対角射]]、<math>\mathrm{id}_A \amalg \mathrm{id}_A</math>は双対対角射である。}}、以下が成立する：
{{math theorem|定理|記号を上と同様に取るとき、任意の<math>f,g\in \mathrm{Hom}(A,B)</math>に対し、
:<math>f +_L g=f +_R g</math>
が成立する<ref name="河田193">[[#河田]] pp.193-194.</ref>。そこで「<math>+_L</math>」と「<math>+_R</math>」を区別せず単に「<math>+</math>」と書くと、<math>\mathrm{Hom}(A,B)</math>は「<math>+</math>」に関してアーベル群であり<ref name="河田193" />、しかも「<math>+</math>」は射の結合に関して双線形性を満たす<ref name="河田193" />。
}}
上記の定理からアーベル圏は加法圏である事が従う。

=== ホモロジー代数 ===
アーベル圏には零対象{{mvar|0}}があり、しかも像、核、および余核を定義できるので、アーベル圏<math>\mathcal{C}</math>上の[[鎖複体|'''チェイン複体''']]<math> (A_i, \partial_i)_{i \in \mathbb{Z}} </math>を
: <math>\cdots \overset{\partial_{i+2}}{\to} A_{i+1} \overset{\partial_{i+1}}{\to} A_i \overset{\partial_{i}}{\to} A_{i-1} \to \cdots </math> such that <math>\partial_{i-1} \partial_i=0</math> for <math>\forall i</math>
により定義でき、さらにその[[完全系列|完全性]]
: <math>\mathrm{Im} \partial_{i+1} = \ker \partial_i </math>  for <math>\forall i</math>
を定義できるなど、[[ホモロジー代数]]を展開するに十分な性質を満たしている。

特にホモロジー代数で必須となる以下の補題はアーベル圏でも成り立つ：
* [[5項補題]]<ref>[[#河田]] p.193</ref>
* [[蛇の補題]]<ref>[[#河田]] p.189</ref>
* [[ジグザグ補題]]<ref>{{cite web|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/010V|accessdate=2024/01/09|website=
The Stacks project|title=12.13 Complexes|publisher=[[コロンビア大学|Columbia University]]}}</ref>
* [[Horseshoe lemma]]<ref>[[#Rotman]] p.349.</ref>

=== {{mvar|R}}-加群の圏への埋め込み ===
アーベル圏は{{仮リンク|具体圏|en|Concrete category}}とは限らないので、一般的にはアーベル圏の対象{{Mvar|A}}に対して「{{Mvar|A}}の元」という言葉は意味を持たない。しかしアーベル圏が[[小さい圏]]であれば、アーベル圏は{{mvar|R}}-加群の圏に埋め込むことができ、したがって埋め込み先で「{{Mvar|A}}の元」を考える事ができる<ref>[[#玉木]]</ref>：

{{Math theorem|定理|アーベル圏<math>\mathcal{C}</math>が[[小さい圏]]であれば、ある環{{mvar|R}}が存在して<math>\mathcal{C}</math>から左{{mvar|R}}-加群の圏{{math|1=''R''-'''Mod'''}}への共変関手
: <math>F~:~\mathcal{C} \to R\text{-}\mathbf{Mod}</math>
で[[充満関手と忠実関手|充満かつ忠実]]でしかも完全（後述）なものが存在する<ref name="名前なし_2-20240628120514">[[#Mitchell]] p.151.</ref>{{refn|group="注"|本項では[[#Mitchell]]に基づいてステートメントを書いたが、[[#Rotman]] p.316.では本項の「{{math|1=''R''-'''Mod'''}}」の部分がアーベル群の圏「{{mvar|'''Ab'''}}」になっている。これは{{mvar|R}}-加群をアーベル群と解釈できる事による。}}。|note=[[ミッチェルの埋め込み定理]]}}
ここで「完全」は以下のように定義する：
{{Math theorem|定義|アーベル圏<math>\mathcal{C}</math>からアーベル圏<math>\mathcal{D}</math>への（共変）関手<math>F~:~\mathcal{C} \to\mathcal{D}</math>が'''[[完全関手|完全]]'''（{{lang-en-short|exact}}）であるとは、<math>\mathcal{C}</math>の対象からなる任意の３項完全列
: <math>A_1\to A_2 \to A_3</math>
に対し、
: <math>F(A_1)\to F(A_2) \to F(A_3)</math>
も完全列になる事を言う<ref>[[#Rotman]] p.315.</ref>。}}
なお、関手が完全であれば、３項のみならず任意の長さの完全系列に対して同様の事が成り立つ事を容易に示せる。


上記の定理からわかるように、アーベル圏の[[図式 (圏論)|図式]]に関する定理を示したい場合は{{Mvar|R}}-加群に埋め込んだ上でその定理を証明する事ができる<ref name="名前なし_2-20240628120514"/>。よって{{Mvar|R}}-加群の図式に対して成り立つ性質、例えば前述の５項補題や蛇の補題は任意のアーベル圏で成立する。

== 具体例{{Anchors|具体例の章}} ==
前述のように[[環 (数学)|環]]{{mvar|R}}に対し[[加群の圏|左{{mvar|R}}-加群の圏]]{{math|1=''R''-'''Mod'''}}はアーベル圏であり<ref name="Rotman308">[[#Rotman]] p. 308.</ref>、特に[[アーベル群の圏]]{{math|1='''Ab'''}}はアーベル圏である<ref name="Rotman308" />。また有限生成なアーベル群の圏や[[ねじれ群|捩れアーベル群]]の圏もアーベル圏であるが<ref name="Rotman308" />、捩れなしのアーベル群の圏は（余核は捩れなしとは限らないので）アーベル圏ではない<ref name="Rotman308" />。よってアーベル圏の[[部分圏|充満部分圏]]はアーベル圏とは限らない<ref name="Rotman308" />。

アーベル圏の定義は射の向きを反対にしても不変なので、以下が成立する：
{{math theorem|定理|<math>\mathcal{C}</math>をアーベル圏とすると、<math>\mathcal{C}</math>の[[双対 (圏論)|双対圏]]<math>\mathcal{C}^{\mathrm{op}}</math>はアーベル圏である<ref>[[#Rotman]] p. 307.</ref>。
}}

前述のように左{{mvar|R}}-加群の圏{{math|1=''R''-'''Mod'''}}はアーベル圏なので、上記の定理から右{{mvar|R}}-加群の圏{{math|1='''Mod'''-''R''}}もアーベル圏である。



アーベル圏上でチェイン複体を定義できる事をすでに見たが、チェイン複体のなす圏はアーベル圏になる：{{math theorem|定理|<math>\mathcal{C}</math>をアーベル圏とすると、<math>\mathcal{C}</math>上の[[鎖複体|チェイン複体]]の圏<math>\mathbf{Comp}(\mathcal{C})</math>はアーベル圏である<ref>[[#Rotman]] p.319.</ref>。
}}アーベル圏の双対もアーベル圏になる事から<math>\mathcal{C}</math>上の[[鎖複体|コチェイン複体]]の圏もアーベル圏になる。以上の事から{{Mvar|R}}-加群上の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]や[[コホモロジー]]をアーベル圏に一般化できる。



アーベル圏上の前層や層もアーベル圏になるので、[[層係数コホモロジー|層係数のコホモロジー]]もアーベル圏上で展開できる：{{math theorem|定理|{{mvar|X}}を位相空間とし、<math>\mathcal{C}</math>をアーベル圏とすると、<math>\mathcal{C}</math>に値を取る{{mvar|X}}上の[[層 (数学)|前層]]の圏<math>\mathbf{pSh}(X,\mathcal{C})</math>および[[層 (数学)|層]]の圏<math>\mathbf{Sh}(X,\mathcal{C})</math>はいずれもアーベル圏である<ref>[[#Rotman]] pp. 309-311.</ref>。
}}アーベル圏の前層がアーベル圏になるのは下記の事実から従う：{{math theorem|定理|<math>\mathcal{C}</math>をアーベル圏、<math>\mathcal{D}</math>を小さい圏とすると<math>\mathcal{D}</math>から<math>\mathcal{C}</math>への関手の圏<math>\mathcal{C}^{\mathcal{D}}</math>はアーベル圏である<ref>[[#Rotman]] p.310.</ref>。}}

== 注 ==

=== 出典 ===
{{reflist|20em}}

=== 注釈 ===
{{reflist|30em|group="注"}}

== 文献 ==

=== 参考文献 ===
*{{cite book|和書 |title=ホモロジー代数 |date=1990/11/8 |publisher=[[岩波書店]] |ref=河田 |author=河田敬義 |series=岩波基礎数学選書 |isbn=978-4000078047}}
*{{Cite book|洋書 |title=Categories for the Working Mathematician |date=2013/4/17 |publisher=Springer Science+Business Media |isbn=978-1-4757-4721-8 |volume=5 |author=[[ソーンダース・マックレーン|Saunders Mac Lane]] |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |ref=MacLane |edition=second}}
*{{Cite book|洋書 |title=An Introduction to Homological Algebra |publisher=Springer-Verlag (Originally published by Academic Press, 1979) |author=Joseph J. Rotman |ref=Rotman |date=2008/12/10 |isbn=978-0-387-68324-9 |series=Universitext |edition=second}}
*{{Cite web |url=http://pantodon.jp/index.rb?body=abelian_category |title=Abel圏でのホモロジー代数 |access-date=2023/12/20 |author=玉木大（信州大学教授） |website=Algebraic Topology: A guide to literature |ref=玉木}}

=== 原論文 ===

* {{Citation|洋書|ref=Buchsbaum|title=Exact categories and duality|author=David A. Buchsbaum|year=1955|journal=Trans. Amer. Math. Soc.|volume=80|pages=1–34}}
* {{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Sur quelques points d'algèbre homologique | mr=0102537 | year=1957 | journal=[[東北数学雑誌|Tohoku Mathematical Journal]] | issn=0040-8735 | volume=9 | pages=119–221|url=http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839|洋書|series=Second Series|doi=10.2748/tmj/1178244839|doi-access=free|ref=Grothendieck}}

=== その他の文献 ===
*{{cite book |last1=Kashiwara |first1=Masaki |authorlink1=柏原正樹 |last2=Schapira |first2=Pierre |year=2006 |title=Categories and sheaves |series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften |volume=332 |url={{google books|K-SjOw_2gXwC|plainurl=yes}} |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-27949-5 |mr=2182076 |ref=harv}}
*{{Citation | last1=Buchsbaum | first1=D. A. | title=Exact categories and duality | jstor=1993003 | mr=0074407 | year=1955 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=80 | issue=1 | pages=1–34}}
* {{Citation | last1=Freyd | first1=Peter | title=Abelian Categories | url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html | publisher=Harper and Row | location=New York | year=1964}}
* {{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=アレクサンドル・グロタンディーク |洋書| title=Sur quelques points d'algèbre homologique | mr=0102537 | year=1957 | journal=The Tohoku Mathematical Journal. Second Series | issn=0040-8735 | volume=9 | pages=119–221|url=http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839}}
* {{Citation|洋書|title=Exact categories and duality|author=[[:en:David Buchsbaum|David Buchsbaum]]|year=1955|journal=[[米国数学会|Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=80|issue=1|pages=1–34|doi=10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6|jstor=1993003|issn=0002-9947|mr=0074407|doi-access=free}}
* {{Citation | last1=Popescu | first1=N. | title=Abelian categories with applications to rings and modules | publisher=Academic Press | location=Boston, MA | year=1973}}

== 関連項目 ==
*[[導来圏]]
*[[ホモロジー代数]]
*[[加法圏]]

{{圏論}}


{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ああへるけん}}
[[Category:ニールス・アーベル]]
[[Category:加法圏]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:圏の類]]