アーベル多様体のソースを表示

{{要改訳}}
数学において、特に[[代数幾何学]]や[[複素解析]]や[[数論]]では、'''アーベル多様体'''(アーベルたようたい、abelian variety)は、[[射影多様体|射影代数多様体]]であり、また[[正則函数 (スキーム論)|正則函数]](regular function)<ref>'''正則函数'''とは、ある与えられた領域で、解析的な函数のことを言う。</ref>により定義することのできる[[群 (数学)|群法則]]を持つ[[代数群]]でもある代数多様体を言う。アーベル多様体は、代数幾何の最も研究されている対象であり、同時に代数幾何学や数論やそれ以外の他の分野の研究の不可欠な道具である。

アーベル多様体は、任意の[[可換体|体]]に係数を持つ方程式により定義することができる。従って、多様体はその体の上で定義されると言う。歴史的には、最初研究されたアーベル多様体は[[複素数]]体上で定義された多様体であった。そのようなアーベル多様体はまさに複素[[射影空間]]へ埋め込むことができ[[#解析的理論|複素トーラス]]であることが判明している。[[代数体]]上に定義されたアーベル多様体は、特別であり、数論の観点から重要である。[[環の局所化]]のテクニックは、数体上に定義されたアーベル多様体から[[有限体]]上や様々な[[局所体]]上に定義されたアーベル多様体を自然に導く。

アーベル多様体は代数多様体の[[ヤコビ多様体]]（[[ピカール多様体]]のゼロ点の連結成分として）自然に現れてくる。アーベル多様体の群法則は必然的に[[可換]]となり、多様体は[[非特異]]となる。楕円曲線は1次元のアーベル多様体である。アーベル多様体は[[小平次元]]が0である。<ref>小平次元は、代数多様体 V の分類に使われる次元で、V の[[標準バンドル]]の '''C''' 上の超越次元で定義され、κ で表される。κ の値は、代数多様体の次元 dim(V) = n より小さい正の整数、0、-∞、の値を取る。代数多様体は、κ = dim(V) のとき、｢一般型」と呼ばれ、V の自己同型群が有限群となる。代数曲線の場合は、楕円曲線の小平次元は κ = 0 となる。</ref>
<!--{{no footnotes|date=February 2013}}
{{Group theory sidebar |Algebraic}}

In [[mathematics]], particularly in [[algebraic geometry]], [[complex analysis]] and [[number theory]], an '''abelian variety''' is a [[Algebraic variety#Projective variety|projective algebraic variety]] that is also an [[algebraic group]], i.e., has a [[group law]] that can be defined by [[regular function]]s. Abelian varieties are at the same time among the most studied objects in algebraic geometry and indispensable tools for much research on other topics in algebraic geometry and number theory.

An abelian variety can be defined by equations having coefficients in any [[Field (mathematics)|field]]; the variety is then said to be defined ''over'' that field. Historically the first abelian varieties to be studied were those defined over the field of [[complex numbers]]. Such abelian varieties turn out to be exactly those [[Complex torus|complex tori]] that can be embedded into a complex [[projective space]]. Abelian varieties defined over [[algebraic number fields]] are a special case, which is important also from the viewpoint of number theory. [[Localization of a ring|Localization]] techniques lead naturally from abelian varieties defined over number fields to ones defined over [[finite field]]s and various [[local field]]s.

Abelian varieties appear naturally as [[Jacobian variety|Jacobian varieties]] (the connected components of zero in [[Picard variety|Picard varieties]]) and [[Albanese variety|Albanese varieties]] of other algebraic varieties. The group law of an abelian variety is necessarily [[commutative]] and the variety is [[non-singular]]. An [[elliptic curve]] is an abelian variety of dimension 1. Abelian varieties have [[Kodaira dimension]] 0.-->

== 歴史と動機 ==

{{details|{{仮リンク|多様体の歴史|en|History of manifolds and varieties}} }}

19世紀の初頭、[[楕円函数]]の理論は[[楕円積分]]の理論に基礎を築くことに成功し、研究の方向性を明らかに指し示した。楕円積分の標準な形は、3次多項式や4次多項式の[[平方根]]を意味する。これらを高次の多項式へ置き換えたときに、いわば5次多項式に置き換えたときに、何が起きうるであろうか？

[[ニールス・アーベル]](Niels Abel)と[[カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ]](Carl Gustav Jakob Jacobi)の仕事の中で、答えは定式化され、これは [[複素多変数|2変数複素函数]]<!--Abel Jacobiの動機は 2変数の複素函数から始まっているので、2変数と修正-->を意味し、4つ独立した ''周期'' （つまり、周期ベクトル）を持つ。これが、次元 2 のアーベル多様体（'''[[アーベル曲面]]'''）の最初の見方を与える（これを'''種数 2の[[超楕円曲線]]のヤコビ多様体'''と呼ぶ）。

アーベルとヤコビの後、アーベル函数の理論に寄与した最も重要なことをしたのは、[[ベルンハルト・リーマン]](Bernhard Riemann)、[[カール・ワイエルシュトラス]](Karl Weierstrass)、[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス]](Ferdinand Georg Frobenius)、[[アンリ・ポアンカレ]](Henri Poincaré)、[[エミール・ピカール]](Charles Émile Picard)である。問題となったことは当時非常に人気があり、既に多くの文献があった。

19世紀の末には、数学者たちはアーベル函数の研究に幾何学的方法を使い始めた。最終的には、1920年代に[[ソロモン・レフシェッツ]](Solomon Lefschetz)は複素トーラスのことばでアーベル函数の研究の基礎を築いた。彼はまた、「アーベル多様体」という名称を初めて使い始めた。1940年代に代数幾何学の言葉で現代的な基礎をこの主題に与えたのは[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)であった。

今日、アーベル多様体は数論や、[[力学系]]（さらに{{仮リンク|ハミルトン系|en|Hamiltonian system}}の研究では特に）、代数幾何学（特に[[ピカール多様体]]や[[アルバネーゼ多様体]]）では、非常に重要なツールになっている。<ref>ヤコビ多様体の元来の定義は、種数 ''g'' の代数曲線の周期行列 ''Ω'' から作られる ''g''-次元複素トーラス <math>C^g/\Omega</math> であり、主偏極アーベル多様体の構造を持つ。このアーベル多様体を'''[[ヤコビ多様体]]'''と言う。いわば、解析的な周期写像から生成されたアーベル多様体のことである。

一方、複素トーラス <math>C^g/\Omega=T</math> のコホモロジーを考えると

:<math>0\ \ \ \ \rightarrow\ \ \ \ \mathbb{Z}\ \ \ \ \rightarrow\ \ \ \ \mathcal{O}_T\stackrel{exp(2\pi i\cdot *)}{\rightarrow}\mathcal{O}^*_T\rightarrow\ \ \ \ 0</math>
から導かれる長系列

:<math>\rightarrow H^1(T,\mathbb{Z})\stackrel{\iota}{\rightarrow}H^1(T,\mathcal{O}_T)\rightarrow H^1(T,\mathcal{O}^*_T)\rightarrow H^2(T,\mathbb{Z})\rightarrow\cdot</math>

より導かれる

:<math>Ker_c\simeq H^1(T,\mathcal{O}_T)/\iota H^1(T,\mathbb{Z})</math>

を、<math>Pic^0(T)</math> とおいて、'''ピカール多様体'''(Picard variety)と定義する。ピカール多様体の双対アーベル多様体を'''[[アルバネーゼ多様体]]'''と言う。これはコホモロジー的な定義になる。この連結成分がヤコビ多様体である。
</ref>

== 解析的理論 ==
=== 定義 ===
次元が g の複素トーラスは、[[複素多様体]]の構造を持つ実次元が 2g の[[トーラス]]であり、常にランク 2g の[[格子 (数学)|格子]]による g-次元複素[[ベクトル空間]]の[[商線型空間|商空間]]として得ることができる。次元 g の複素アーベル多様体は、複素数体上の射影[[代数多様体]]でもある次元 g の複素トーラスとなるので、[[群 (数学)|群]]の構造を持つ。アーベル多様体の[[射 (圏論)|射]]とは、基礎となっているアーベル多様体の群構造の[[単位元]]を保つ写像（射）のことをいう。この対応を '''[[同種 (数学)|同種]]'''(isogeny)といい、有限個対 1 の対応である。

複素トーラスが代数多様体の構造を持つと、構造が必然的に一意となる。''g''&nbsp;=&nbsp;1 の場合には、アーベル多様体は[[楕円曲線]]と同じであり、任意の複素トーラス（のアーベル多様体）はそのような曲線（楕円曲線）となる。''g''&nbsp;>&nbsp;1 に対しては、[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]により、代数多様体となる条件が複素トーラスに対して条件を余分に課すことが知られている。
<!--== Analytic theory ==
=== Definition ===
A complex torus of dimension ''g'' is a [[torus]] of real dimension 2''g'' that carries the structure of a [[complex manifold]]. It can always be obtained as the [[quotient space|quotient]] of a ''g''-dimensional complex [[vector space]] by a [[Lattice (group)|lattice]] of rank 2''g''.
A complex abelian variety of dimension ''g'' is a complex torus of dimension ''g'' that is also a projective [[algebraic variety]] over the field of complex numbers. Since they are complex tori, abelian varieties carry the structure of a [[group (mathematics)|group]]. A [[morphism]] of abelian varieties is a morphism of the underlying algebraic varieties that preserves the [[identity element]] for the group structure. An '''[[isogeny]]''' is a finite-to-one morphism.

When a complex torus carries the structure of an algebraic variety, this structure is necessarily unique. In the case ''g'' = 1, the notion of abelian variety is the same as that of [[elliptic curve]], and every complex torus gives rise to such a curve; for ''g'' > 1 it has been known since [[Bernhard Riemann|Riemann]] that the algebraic variety condition imposes extra constraints on a complex torus.-->

=== リーマンの条件 ===
リーマンによる次の判定法は、与えられた複素トーラスが代数多様体であるか否か、すなわち射影空間へ埋め込むことができるか否か、を決定する。X を X = V/L として与えられる g-次元トーラスとしよう。ここで V は次元 g の複素ベクトル空間とし、L は V の格子である。このとき X がアーベル多様体であることと、''V'' 上の[[定符号二次形式|正定値二次形式]]の[[エルミート形式]]で、その虚部が L&times;L 上で[[整数]]となるエルミート形式が存在することとが同値である。そのような X 上の（二次）形式は、通常、非退化[[リーマン形式]]と呼ばれる。V と L の基底を選ぶと、この条件はさらに明確とすることができる。これと同値ないくつかの条件があり、これらはすべてリーマンの条件として知られている。
<!--=== Riemann conditions ===
The following criterion by Riemann decides whether or not a given complex torus is an abelian variety, i.e. whether or not it can be embedded into a projective space. Let ''X'' be a ''g''-dimensional torus given as ''X'' = ''V''/''L'' where ''V'' is a complex vector space of dimension ''g'' and ''L'' is a lattice in ''V''. Then ''X'' is an abelian variety if and only if there exists a [[positive definite bilinear form|positive definite]] [[hermitian form]] on ''V'' whose [[imaginary part]] takes [[integer|integral]] values on ''L''&times;''L''. Such a form on ''X'' is usually called a (non-degenerate) [[Riemann form]]. Choosing a basis for ''V'' and ''L'', one can make this condition more explicit. There are several equivalent formulations of this; all of them are known as the Riemann conditions.-->

=== 代数曲線のヤコビ多様体 ===

[[種数]] g ≥ 1 のすべての代数曲線 C は、次元 g のアーベル多様体 J が存在して、C から J への解析的写像によって関係付けることができる。トーラスの場合、J が可換な[[群 (数学)|群]]構造を持ち、C の像は J を生成し群をなす。また、J の任意の点は C の g 個の点からなる組により作られる C<sup>g</sup> により被覆される。C 上の微分形式の研究は、同時に始まった{{仮リンク|アーベル積分|en|abelian integral}}の研究を促し、より単純な見方に変えても変わることのない J 上の微分形式の理論から導くことができる。アーベル多様体 J を複素数体上の任意の非特異曲線 C の '''ヤコビ多様体'''という。[[双有理幾何学]]の観点からは、[[代数多様体の函数体|函数体]]は、C<sup>g</sup> の函数体の上に作用する g 個の点についての[[対称群]]の固定的な体である。
<!---=== The Jacobian of an algebraic curve ===
Every algebraic curve ''C'' of [[genus (mathematics)|genus]] ''g'' ≥ 1 is associated with an abelian variety ''J'' of dimension ''g'', by means of an analytic map of ''C'' into ''J''. As a torus, ''J'' carries a commutative [[group (mathematics)|group]] structure, and the image of ''C'' generates ''J'' as a group. More accurately,{{clarify|reason=Is what was just said inaccurate? If so, why is it being presented as accurate til now?|date=March 2014}} ''J'' is covered by ''C''<sup>''g''</sup>: any point in ''J'' comes from a ''g''-tuple of points in ''C''. The study of differential forms on ''C'', which give rise to the ''[[abelian integral]]s'' with which the theory started, can be derived from the simpler, translation-invariant theory of differentials on ''J''. The abelian variety ''J'' is called the '''Jacobian variety''' of ''C'', for any non-singular curve ''C'' over the complex numbers. From the point of view of [[birational geometry]], its [[function field of an algebraic variety|function field]] is the fixed field of the [[symmetric group]] on ''g'' letters acting on the function field of ''C''<sup>''g''</sup>.-->

=== アーベル函数 ===
'''アーベル函数'''(abelian function)はアーベル多様体上の[[有理型函数]]であり、独立な 2n 個の周期を持ち、従って n 個の複素変数の周期函数とみなすことができる。同じことだが、アーベル多様体の函数体上の函数である。例えば、19世紀には楕円積分のことばで表現される{{仮リンク|超楕円積分|en|hyperelliptic integral}}(hyperelliptic integral)へ大きな興味が集まった。このことは、J が同種の中の[[違いを除いて]]楕円曲線の積となるかと問うことに帰結する。

{{See also|{{仮リンク|アーベル積分|en|abelian integral}} }}

== 代数的定義 ==
一般の体 k の上のアーベル多様体の同値な2つの定義は、共通に使われる。
* k 上の[[連結空間|連結]]な[[完備]]な[[代数群]]
* k 上の[[連結空間|連結]]な[[代数幾何学|射影的]]な[[代数群]]
基礎体が複素数体のとき、これらの考えは前述の定義に一致する。すべての基礎体上で[[楕円曲線]]は次元 1 のアーベル多様体である。

1940年代にヴェイユは（任意の基礎体の上で）最初の定義である k は完備であることを使ったが、第二番目の定義である k が射影的であることを証明することができなかった。しかし、1948年に彼は完備代数群は射影空間へ埋め込むことが可能であることを証明した。一方、彼は1940年に言明していたのであるが、[[有限体]]上の[[代数曲線]]の[[リーマン予想]]の証明<ref>有限体上の代数多様体のリーマン予想の類似な予想をヴェイユ予想という。</ref>をするために、彼は{{仮リンク|抽象代数多様体|en|abstract variety}}(abstract variety)の考え方を導入し、射影埋め込みなしで多様体を扱う代数幾何学の基礎を書き換えた。（[[:en:Algebraic Geometry|Algebraic Geometry]]<!--英語版代数幾何学へのリンク-->の歴史のセクションも参照）

== 点の群構造 ==
定義より、アーベル多様体は群多様体であり、点の群は[[アーベル群|可換]]であることを証明することができる。

よって、'''C''' に対しては、[[代数幾何学と解析幾何学#レフシェッツの原理|レフシェッツの原理]]によって、[[標数]]がゼロのすべての[[代数的閉体]]上の次元 g のアーベル多様体の[[捩れ群]]は、('''Q'''/'''Z''')<sup>2g</sup> と[[同型]]となる。従って、アーベル多様体の n-トーション部分は ('''Z'''/''n'''''Z''')<sup>2g</sup>、すなわち、位数が n の[[巡回群]]の 2g 個の積に同型となる。

基礎体が標数 p 代数的閉体のときには、n と p が互いに素とすると、n-トーションは ('''Z'''/n'''Z''')<sup>2g</sup> に同型である。n と p 互いに素でないときは、n-トーションがランク 2g の有限で平坦な群スキームを定義することと同じと解釈することが可能である。n-トーションの上の全[[概型|スキーム]]構造を見ることに代わりに、幾何学的な点のみを考えると、標数 p の（いわゆる n = p のときの p-ランク）多様体の新しい不変量を得る。

[[大域体]] k の k-[[有理点]]は、[[モーデルの定理|モーデル・ヴェイユの定理]]により[[有限生成]]である。よって、[[有限生成アーベル群]]の構造定理により、[[自由アーベル群]] '''Z'''<sup>r</sup> と、に対しアーベル多様体の '''ランク'''(rank)と呼ばれるある非負な整数 r が存在して r 個の有限な可換群との積となる。同様な結果が k の他のクラスに対しても成立する。
<!--== Structure of the group of points ==
By the definitions, an abelian variety is a group variety. Its group of points can be proven to be [[abelian group|commutative]].

For '''C''', and hence by the [[Lefschetz principle]] for every [[algebraically closed field]] of [[characteristic (algebra)|characteristic]] zero, the [[torsion group]] of an abelian variety of dimension ''g'' is [[isomorphic]] to ('''Q'''/'''Z''')<sup>2''g''</sup>. Hence, its ''n''-torsion part is isomorphic to ('''Z'''/''n'''''Z''')<sup>2''g''</sup>, i.e. the product of 2''g'' copies of the [[cyclic group]] of order ''n''.

When the base field is an algebraically closed field of characteristic ''p'', the ''n''-torsion is still isomorphic to ('''Z'''/''n'''''Z''')<sup>2''g''</sup> when ''n'' and ''p'' are [[coprime]]. When ''n'' and ''p'' are not coprime, the same result can be recovered provided one interprets it as saying that the ''n''-torsion defines a finite flat group scheme of rank ''2g''. If instead of looking at the full scheme structure on the ''n''-torsion, one considers only the geometric points, one obtains a new invariant for varieties in characteristic ''p'' (the so-called ''p''-rank when ''n = p'').

The group of [[rational point|''k''-rational points]] for a [[global field]] ''k'' is [[finitely generated group|finitely generated]] by the [[Mordell-Weil theorem]]. Hence, by the structure theorem for [[finitely generated abelian group]]s, it is isomorphic to a product of a [[free abelian group]] '''Z'''<sup>''r''</sup> and a finite commutative group for some non-negative integer ''r'' called the '''rank''' of the abelian variety. Similar results hold for some other classes of fields ''k''.-->

==積==

同じ体の上の次元 m のアーベル多様体 A と次数 n のアーベル多様体 B の積は、次元 m+n のアーベル多様体である。より低い次元のアーベル多様体の積とはならないアーベル多様体に[[#定義|同種]]なアーベル多様体を'''単純'''(simple)であるという。すべてのアーベル多様体は単純アーベル多様体の積に同種である。

== 偏極と双対アーベル多様体 ==

=== 双対アーベル多様体 ===

{{main|{{仮リンク|双対アーベル多様体|en|Dual abelian variety}} }}
体 k 上のアーベル多様体 A へ（同じ体の上の）'''双対アーベル多様体''' A<sup>v</sup> を対応させることができる。双対アーベル多様体は次の[[モジュライ空間|モジュライ問題]]の解を与える。k-多様体 T によりパラメトライズされた次数 0 の[[直線束]]の族は、A×T 上の直線束を L として、次の性質を持つように定義される。
# すべての T 上の t に対し、L の A×{t} への制限は次数 0 の直線束である。
# L の {0}×T への制限は自明な直線束（ここに 0 は A の同一視とする）である。

すると、多様体 A<sup>v</sup> と次数 0 の直線束 P の族に対し、T 上の族 L が射 1<sub>A</sub>×f: A×T → A×A<sup>v</sup> に沿った P の{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|en|pullback (differential geometry)|label=引き戻し}}(pullback)に L が同型となるような一意的な射 f: T → A<sup>v</sup> に付随しているようパラメトライズされたポアンカレバンドルとなる。これを T が一点の時に適用すると、A<sup>v</sup> の点が A 上の次数 0 の直線束に対応することが分かる。従って、直線束のテンソル積により与えられる A<sup>v</sup> 上の自然な群の作用が存在して、それをアーベル多様体にする。

この関連は次の意味において双対である。二重双対 A<sup>vv</sup> と A（ポアンカレバンドルを通して定義された）の間に自然な同型が存在するということと、この同型が[[函手#反変関手|反変函手]]的、つまり、同型がすべての射 f: A → B と双対射 f<sup>v</sup>: B<sup>v</sup> → A<sup>v</sup> を整合性を持って関連付けているという意味においてである。アーベル多様体の n-トーションとその双対の n-トーションは、基底となる体の標数が素のときには、互いに[[ポアンカレ双対]]である。一般に、- すべての n に対し - 双対アーベル多様体の n-トーション{{仮リンク|群スキーム|en|group scheme}}は、互いに{{仮リンク|カルティエ双対|en|Cartier dual}}(Cartier dual)である。これは楕円曲線の{{仮リンク|ヴェイユペアリング|en|Weil pairing}}(Weil pairing)を一般化したものである。

=== 偏極 ===

アーベル多様体の '''偏極'''(polarisation)とは、アーベル多様体からその双対への ''[[#定義|同種]]'' であって次の性質を持つものを言う。アーベル多様体の ''二重双対'' について対称であり、付随するグラフ射(graph morphism)に沿ったポアンカレバンドルの引き戻しが豊富であること（このことは正定値二次形式の類似である）という性質を持つことである。偏極アーベル多様体は有限個の[[自己同型群]]を持つ。'''主偏極'''(principal polarisation)は同型の偏極を言う。曲線の任意の有理基底を取り、曲線を種数が 1 より大きな時に偏極ヤコビ多様体から再び構成できるので、曲線のヤコビ多様体は自然に主偏極を持っている。すべての主偏極アーベル多様体ではないが曲線のヤコビ多様体となる。{{仮リンク|ショットキー問題|en|Schottky problem}}(Schottky problem)を参照のこと。偏極は、''A'' の[[自己準同型環]] <math>\mathrm{End}(A)\otimes\mathbb{Q}</math> の上に{{仮リンク|ロサティ対合|en|Rosati involution}}(Rosati involution)を引き起こす。
<!---A '''polarisation''' of an abelian variety is an ''[[isogeny]]'' from an abelian variety to its dual that is symmetric with respect to ''double-duality'' for abelian varieties and for which the pullback of the Poincaré bundle along the associated graph morphism is ample (so it is analogous to a positive-definite quadratic form). Polarised abelian varieties have finite [[automorphism group]]s. A '''principal polarisation''' is a polarisation that is an isomorphism. Jacobians of curves are naturally equipped with a principal polarisation as soon as one picks an arbitrary rational base point on the curve, and the curve can be reconstructed from its polarised Jacobian when the genus is > 1. Not all principally polarised abelian varieties are Jacobians of curves; see the [[Schottky problem]]. A polarisation induces a [[Rosati involution]] on the [[endomorphism ring]] <math>\mathrm{End}(A)\otimes\mathbb{Q}</math> of ''A''.-->

=== 複素数体上での偏極 ===
複素数体上での '''偏極アーベル多様体'''(polarised abelian variety)はアーベル多様体 A とともに、[[リーマン形式]] H 選んで考えることを言う。2つのリーマン形式 H<sub>1</sub> と H<sub>2</sub> が[[同値]]とは、ある正の整数 n と m が存在して、nH<sub>1</sub>=mH<sub>2</sub> となるときを言う。A の上のリーマン形式の同値類の選択を A の '''偏極'''(polarisation)と言う。偏極アーベル多様体の射(morphism)とは、アーベル多様体の射 A → B であり、B から A へのリーマン形式の引き戻しが A 上の与えられたものと同値の場合を言う。

== アーベルスキーム ==
[[概型|スキーム]]理論的で{{仮リンク|相対的基底|en|relative to a base}}(relative to a base)観点からもアーベル多様体の定義を定義することができ、アーベル多様体の mod p 簡約（リダクション）のような現象（[[アーベル多様体の数論]]を参照のこと）やアーベル多様体のパラメータ族の統一的な扱いができる。相対次元 g の基礎となるスキーム S の上の '''アーベルスキーム'''(abelian scheme)は、S 上の[[固有射|固有]](proper)で[[滑らかな射|滑らかな]](smooth){{仮リンク|群スキーム|en|group scheme}}(group scheme)で、その幾何学的ファイバーは[[連結空間|連結]]で次元 g である。アーベルスキームのファイバーはアーベル多様体であるから、S によりパラメトライイズされた族として S 上のアーベルスキームを考えることができる。

==準アーベル多様体==
'''準アーベル多様体'''(semiabelian variety)とは、{{仮リンク|代数的トーラス|en|Algebraic torus}}<ref>代数的トーラスとは、可換アフィン代数群をいう。これらの群は、リー群論のトーラスの理論の類似により命名されている。トーラスは変形をしないにもかかわらず豊富な数論的構造を持っているので、トーラスの理論はある意味でべき単群(unipotent groups)の理論とは反対の理論である。</ref>によりアーベル多様体の拡張である可換群多様体を言う。

==脚注==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[モチーフ (数学)|モチーフ]]
* [[周期写像]]

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Birkenhake | first1=Christina | last2=Lange | first2=H. | title=Complex Abelian varieties | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-54747-3 | year=1992}}. A comprehensive treatment of the complex theory, with an overview of the history the subject.
*{{SpringerEOM|title=Abelian scheme|last=Dolgachev|first=I.V.|urlname=Abelian_scheme}}
*{{Citation | last = Faltings | first = Gerd | authorlink = Gerd Faltings | author2= Chai, Ching-Li | title = Degeneration of Abelian Varieties | publisher = [[Springer Verlag]] | year = 1990 | pages = | url = | doi = | isbn =3-540-52015-5 }}
* {{Citation | last1=Milne | first1=James | url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/av.html | title=Abelian Varieties | <!--accessdate=11 september 2007-->}}. Online course notes.
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Abelian varieties | origyear=1970 | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics | isbn=978-81-85931-86-9 | oclc=138290 | year=2008 | volume=5 | mr=0282985}}
*{{SpringerEOM|title=Abelian variety|last= Venkov|first=B.B.|last2= Parshin|first2=A.N.|urlname=Abelian_variety}}
* {{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link = André Weil | title=Variétés abéliennes et courbes algébriques | publisher=Hermann | location=Paris | oclc=826112 | year=1948}}. The first modern text on abelian varieties. In French.
* {{Cite journal|和書|author=大西良博 |date=2013-06 |url=http://id.nii.ac.jp/1648/00001269/ |title=Abel函数論 |journal=中央大学数学教室講究録 |publisher=中央大学理工学部数学科 |volume=6 |naid=120006636761 |ref=harv}}
* [https://math-functions-1.watson.jp/sub1_spec_360.html 特殊関数グラフィックスライブラリ－の項目「Abel関数」]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ああへるたようたい}}
[[Category:アーベル多様体|*]]
[[Category:代数曲線]]
[[Category:因子の幾何学]]
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[[Category:代数幾何学]]
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