アーベル総和法のソースを表示

[[解析学]]において、'''アーベル総和法'''（アーベルそうわほう、{{lang-en-short|Abel's summability method}}）とは、[[級数]]に対し、有限値を対応させる[[総和法]]の一つ<ref name ="ishiguro1977">石黒 (1977)、第2章</ref><ref name ="ezawa1995">江沢（1995）、第4章</ref>。[[ベキ級数]]における[[アーベルの連続性定理|アーベルの定理]]に因む。

== 導入 ==
複素数値の数列 {{math|{''a<sub>n</sub>''} }} に対し、級数 {{math|{{Sum|b=''n''{{=}}0|p=&infin;}} ''a<sub>n</sub>''}} が値 {{mvar|l}} に収束するとは、部分和

:<math> s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k </math>

が通常の数列の収束の意味で値 {{mvar|l}} に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。

例えば、{{math|''a<sub>n</sub>'' {{=}} (−1)''<sup>n</sup>''}}とする[[グランディ級数]] {{math|{{Sum|b=''n''{{=}}0|p=&infin;}} (−1)''<sup>n</sup>''}}は

:<math>s_0=1, \, s_1=0, \,  s_2=1,\,  s_3=0, \cdots  </math>

となり、通常の意味では収束しない。ここで、{{mvar|x}} を {{math|{{abs|''x''}} < 1}} を満たす複素数とし、{{mvar|x<sup>n</sup>}} を各項 {{math|''a<sub>n</sub>''}} に収束因子として乗ずると、ベキ級数

:<math> f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n  x^n = 1 -x +x^2 +\cdots </math>

は、{{math|{{abs|''x''}} < 1}} で

:<math> f(x)= \frac{1}{1+x} </math>

に[[一様収束]]する。このとき、[[左極限]] {{math|''x'' &rarr; 1&minus;}} は収束し、

:<math> \lim_{x \to 1 -}{f(x)}= \frac{1}{2} </math>

となり、級数 {{math|{{Sum|b=''n''{{=}}0|p=&infin;}} (−1)''<sup>n</sup>''}} に値 {{math|1/2}} を対応させることができる。

== 定義 ==
複素数値の数列 {{math|{''a<sub>n</sub>''{{)}}}} に対し、ベキ級数

:<math> f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n </math>

が {{math|{{abs|''x''}} < 1}} で収束し、左極限が

:<math> \lim_{x \to 1 -}{f(x)}= s </math>

と有限値 {{mvar|s}} になるとき、値 {{mvar|s}} に'''アーベル総和可能''' (Abel summable) といい、

:<math>\operatorname{A-}\sum_{n=0}^{\infty}a_n=s</math>

もしくは

:<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n=s \quad \operatorname{(A)}</math>

と記す<ref name ="ishiguro1977"></ref><ref name ="ezawa1995"></ref>。また、このように {{math|{''a<sub>n</sub>''{{)}}}} の級数を {{math|''f''(''x'')}} の左極限 {{math|''x'' &rarr; 1&minus;}} で定義する総和法を'''アーベル総和法'''と呼ぶ。

なお、{{math|''f''(''x'')}} は部分和

:<math> s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k </math>

によって、

:<math> f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n </math>

とも表すことができる。したがって、{{math|''f''(''x'')}} は部分和の列 {{math|{''s<sub>n</sub>''{{)}}}} に

:<math> \sum_{n=0}^{\infty} (1-x) x^n= (1-x) \frac{1}{1-x}=1 </math>

を満たす因子 {{math|(1 − ''x'')''x<sup>n</sup>''}} を乗じて、和を取っていることになる。

== 性質 ==
アーベル総和法は[[チェザロ総和法]]より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に {{math|''k''>-1}} について、{{math|(''C'', ''k'')}}-総和可能であれば、アーベル総和可能である。

== 例 ==
{{main|1−2+3−4+…}}
:<math> a_n=(-1)^n(n+1) \quad (n=0,1,2, \cdots)</math>

で定義される数列 {{math|{''a<sub>n</sub>''{{)}}}} に対し、

:<math> \sum_{n=0}^{\infty}{a_n}=1-2+3-4+ \cdots </math>

は通常の意味では収束せず、またチェザロ総和法でも収束しない。一方でベキ級数

:<math> f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1) x^n </math>

は {{math|{{abs|''x''}} < 1}} で収束し、

:<math> f(x) = \frac{1}{(1+x)^2} </math>

となることから1/4にアーベル総和可能である<ref name ="Stein_Shakarchi2003"> E. M. Stein and R. Shakarchi (2003), chapter 2</ref>。

== 拡張 ==
===(A, &lambda;<sub>n</sub>)-総和法 ===
{{math|{''&lambda;<sub>n</sub>''{{)}}}} を

:<math> 0 \leq \lambda_0 < \lambda_1 < \cdots < \lambda_n < \cdots </math>

を満たす単調増加な数列とする。ここで級数

:<math> f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n  \exp{(- \lambda_n x)} </math>

が任意の {{math|''x'' > 0}} について収束し、かつ左極限 {{math|''x'' &rarr; +0 }} が存在し、

:<math> \lim_{x \to +0} f(x)=s </math>

と有限値 {{mvar|''s''}} になるとき、級数 {{math|{{Sum|b=''n''{{=}}0|p=&infin;}} ''a<sub>n</sub>''}} は {{mvar|s}} に {{math|(''A'', ''&lambda;<sub>n</sub>'')}}-総和可能という<ref name ="ishiguro1977"></ref>。
特に {{math|''&lambda;<sub>n</sub>'' {{=}} ''n''}} の場合は、アーベル総和法に一致する。

===(J, p<sub>n</sub>)-総和法 ===
アーベル総和法において、ベキ級数 {{math|''f''(''x'')}} は部分和の列 {{math|{''s<sub>n</sub>''{{)}}}} によって、

:<math> 
f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n 
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n }{\sum_{n=0}^{\infty} x^n}
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty}p_n s_n x^n }{\sum_{n=0}^{\infty}p_n x^n}
\quad (p_n=1)
</math>

と表すことができる。より一般に、数列 {{math|{''p<sub>n</sub>''{{)}}}} が

:<math> p_n \geq 0 , \quad \sum^{\infty}_{k=n}p_k >0 </math>

を満たし、{{math|{''p<sub>n</sub>''{{)}}}} によって定義されるベキ級数

:<math> p(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p_n x^n </math>

が[[収束半径]] {{math|''r'' > 0}} を持つとする。このとき、

:<math> p_s(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p_n s_n  x^n </math>

が {{math|0 &le; ''x'' < ''r''}} で収束し、かつ

:<math> \lim_{x \to r -} \frac{p_s(x)}{p(x)}=s </math>

が成り立つとき、値 {{mvar|s}} に {{math|(''J'', ''p<sub>n</sub>'')}}-総和可能という<ref name ="ishiguro1977"></ref>。

== タウバー型定理 ==
{{Main|タウバー型定理}}
一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数における[[アーベルの連続性定理|アーベルの定理]]の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者[[アルフレッド・タウバー]]が示した[[タウバーの定理]]がある<ref name ="tauber1897">A. Tauber, [http://www.literature.at/viewer.alo?viewmode=overview&olfullscreen=true&objid=12409&page=280 "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" ], ''Monatshefte für Mathematik und Physik'', '''8''' (1897), pp. 273–277. {{doi|10.1007/BF01696278}} </ref>。後に英国の数学者[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|G. H. ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|J. E. リトルウッド]]はタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらを[[タウバー型定理]]と呼んだ<ref name ="Hardy1949"> G. H. Hardy (1949), chapter VII</ref>。

== フーリエ級数の収束 ==
アーベル総和法は[[フーリエ級数]]の収束の議論に応用される<ref name ="Stein_Shakarchi2003"></ref>。{{math|''f''(''x'') }}を長さ {{math|''L''{{=}}''b'' &minus;''a''}} の有界区間 {{math| (''a'', ''b'')}} で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ {{math|''f''(''a''){{=}}''f''(''b'')}} を満たす周期関数とする。このとき、{{math|''f''(''x'') }} は次の形のフーリエ級数展開を持つ。

:<math>f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f_n} e^{2 n \pi i x/L} </math>
:<math> \hat{f_n} =\frac{1}{L}  \int_a^b f(x) e^{-2n \pi i x/L} dx </math>

第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、{{math|''f''(''x'') }} が連続となる点において{{math|''f''(''x'') }} に収束する。特に {{math|''f''(''x'') }} が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、

:<math> A_r(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{|n|}\hat{f_n} e^{2n \pi i x/L} </math>

を導入すると、この級数は {{math|0 &le; ''r'' <1}} で収束し、かつ {{math|''f''(''x'') }} が連続となる点で左極限 {{math|''r'' &rarr; 1 &minus;}} は {{math|''f''(''x'') }} に一致する。この結果の議論は[[ポアソン核]]

<math>P_r(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{|n|} e^{2n \pi i x/L} </math>

の性質に基づく。 {{math| (''a'', ''b'')}} 上で可積分な関数{{math|''g''(''x'')}}、{{math|''h''(''x'') }}に対して、[[畳み込み積分]]を

:<math> g *h (x)= \frac{1}{L} \int_a^b g(y)h(x-y)dy </math>

で定義すると、

:<math> f * P_r (x) =A_r (x) </math>

であり、[[総和核]]としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。


== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* G. H. Hardy, [https://archive.org/details/divergentseries033523mbp ''Divergent Series ''], Clarendon Press (1949)
* Elias M. Stein and Rami Shakarchi, ''Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis, Volume 1)'', Princeton Univ Prress (2003) ISBN 978-0691113845
* 石黒一男『発散級数論』森北出版 (1977) ISBN 978-4627031494
* [[江沢洋]]『漸近解析（岩波講座　応用数学14）』岩波書店 (1995) ISBN 4000105248

== 関連項目 ==
* [[アーベルの連続性定理]]
* [[ボレル総和|ボレル総和法]]
* [[タウバー型定理]]

{{DEFAULTSORT:ああへるそうわほう}}
[[Category:級数]]
[[Category:総和法]]
[[Category:漸近解析]]
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]