アーラン分布のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年5月9日 (木) 00:52 (UTC)}}
{{確率分布
|名前 = アーラン分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Erlang dist pdf.svg|325px|Probability density plots of Erlang distributions]]
|画像/分布関数 = [[画像:Erlang dist cdf.svg|325px|Cumulative distribution plots of Erlang distributions]]
|母数 = <math>k\in \mathbb{N}</math> {{ill|形状母数|en|Shape parameter}}（[[自然数]]）<br /><math>\mu > 0</math> {{ill|尺度母数|en|Scale parameter}}（[[実数]]）<br />または、<math>\lambda = 1/\mu >0</math> 比（実数）
|台 = <math>[0,\infty )</math>
|確率関数 = <math>\frac{1}{(k-1)!\, \mu^k} x^{k-1} e^{-x/\mu}</math><br /><math>= \frac{\lambda^k}{(k-1)!} x^{k-1} e^{-\lambda x}</math>
|分布関数 = <math>1-e^{-x/\mu} \sum_{n=0}^{k-1} \frac{1}{n!} \left( \frac{x}{\mu} \right)^n</math><br /><math>=1-e^{-\lambda x} \sum_{n=0}^{k-1} \frac{(\lambda x)^n}{n!}</math>
|期待値 = <math>k\mu =\frac{k}{\lambda}</math>
|中央値 = 単純な閉形式を持たない
|最頻値 = <math>(k-1) \mu =\frac{k-1}{\lambda} \ \text{ for } k\ge 1</math>
|分散 = <math>k\mu^2 = k/\lambda^2</math>
|歪度 = <math>2 / \sqrt{k}</math>
|尖度 = <math>6/k</math>
|エントロピー = <math>k+\ln \mu +\sum_{n=1}^{k-1} \ln n+(1-k)\psi (k)</math><br /><math>=k-\ln \lambda +\sum_{n=1}^{k-1} \ln n+(1-k)\psi (k)</math>
|モーメント母関数 = <math>\frac{1}{(1-\mu \, t)^k} =\left( \frac{\lambda}{\lambda -t} \right)^k</math><br / ><math>\text{ for } t<1/\mu =\lambda</math>
|特性関数 = <math>\frac{1}{(1-i \mu t)^k} =\left( \frac{\lambda}{\lambda -it} \right)^k</math>
}}
'''アーラン分布'''（アーランぶんぷ、{{lang-en-short|Erlang distribution}}）は、[[待ち行列]]の待ち時間を計算するために[[デンマーク]]の[[数学者]][[アグナー・アーラン|アーラン]]が提唱した[[確率分布]]であり、特に[[通信トラヒック工学|通信トラフィック工学]]で使われる。

== 定義と性質 ==
アーラン分布は2つの母数 {{mvar|k}}（正の[[整数]]）および {{mvar|μ}}（正の[[実数]]）によって定まり、その[[確率密度関数]]は次のように定義される。
:<math>f(x;k,\mu )=\frac{1}{(k - 1)!\, \mu^k} x^{k-1} e^{-x/\mu} \quad \text{for } x>0</math>
等価な定義として、パラメータ {{math|''λ'' {{=}} 1/''μ''}} を用いて次のように表されることもある。
:<math>f(x;k,\lambda )=\frac{\lambda^k}{(k-1)!} x^{k-1} e^{-\lambda x} \quad \text{for } x>0</math>
アーラン分布の[[累積分布関数]]は、以下のように求められる。
:<math>\begin{align}
F(x) &=\int_0^x f(t;k,\mu ) \, dt=1-e^{-x/\mu} \sum_{n=0}^{k-1} \frac{1}{n!} \left( \frac{x}{\mu} \right)^n \\
&= \int_0^x f(t;k,\lambda ) \, dt=1-e^{-\lambda x} \sum_{n=0}^{k-1} \frac{(\lambda x)^n}{n!}
\end{align}</math>
定義より（あるいは後述する指数確率変数を用いた解釈により）期待値 {{math|''E''[''X'']}} および分散 {{math|''V''[''X'']}} は以下のようになる。
:<math>E[X]=k\mu =\frac{k}{\lambda} ,\,\,\,V[X]=k\mu^2 =\frac{k}{\lambda^2}</math>

== 他の分布との関係 ==
;ガンマ分布との関係
定義より、アーラン分布は[[ガンマ分布]]で形状母数 {{mvar|k}} を正の[[整数]]に限定したものといえる。また、[[相型分布]]の特別な場合でもある。

;指数分布の和との関係
アーラン分布は、[[独立同分布|互いに独立で同一の]][[指数分布]]に従う[[確率変数]]の和を用いて解釈することができる。すなわち、互いに独立でパラメータ {{mvar|λ}} の指数分布に従う {{mvar|n}} 個の確率変数 {{math2|''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}}, …, ''X{{sub|n}}''}} に対して、その和で表される確率変数<math>S_n =X_1 +X_2 +\cdots +X_n</math>はパラメータ {{math2|''λ'', ''n''}} のアーラン分布に従う。{{math2|''n'' {{=}} 1}} の場合は、明らかに指数分布に一致する。

;ポアソン分布との関係
{{mvar|S{{sub|n}}}} をパラメータ {{mvar|λ}} および {{mvar|n}} のアーラン分布に従う連続確率変数とし、{{math|''N''(''t'')}} をパラメータ {{mvar|λt}}（ただし {{math2|''t'' > 0}}）の[[ポアソン分布]]に従う離散確率変数とすると、両者の間には
:<math>P(S_n \le t) = P(N(t) \ge n)</math>
なる関係が成立する。これはアーラン分布の累積分布関数の形から明らかであるが、指数分布を用いた説明も可能である。すなわち、互いに独立で同一の指数分布に従う時間間隔で生起する事象列を観測するとき、{{mvar|S{{sub|n}}}} は {{mvar|n}} 回目の事象が生起した時点であり、{{math|''N''(''t'')}} は時点 {{mvar|t}} までに生起した事象の数を意味する。「{{mvar|n}} 回目の事象が生起した時点が {{mvar|t}} 以前である」という事象は、「時点 {{mvar|t}} までに少なくとも {{mvar|n}} 回の事象が起きている」という事象と等しいため、この等式が成立する。

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
* [[待ち行列]]
* [[ガンマ分布]]
* [[ポアソン分布]]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:あらんふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:アグナー・アーラン]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]