アーンショーの定理のソースを表示

{{出典の明記|date=2013年3月2日 (土) 10:39 (UTC)}}
'''アーンショーの定理'''（アーンショーのていり、{{lang-en-short|Earnshaw's theorem}}）は、任意の電荷のない領域において[[静電場]]が存在するとき、その領域に[[荷電粒子]]をおいた場合、粒子は安定なつり合い状態を維持できないというものである。名称は{{仮リンク|サミュエル・アーンショー|en|Samuel Earnshaw}}による。

これは[[電位]] &phi;（スカラー量）が、先の任意の領域で、[[ラプラス方程式]]

: <math> \Delta \phi = 0 </math>

を満たす[[調和関数]]であるとき、その領域内で電位 &phi; は極大、極小を持たないということ（ただし、領域の境界は除く。また鞍点の存在は可能）を意味する。右辺が値を持つ場合は[[ポアソン方程式]]と呼ばれ、この場合は領域内で &phi; の極大値が許される。

この定理は、静電場だけでなく磁石と磁性体のみからなる[[静磁場]]でも成り立つ。すなわち、[[アンペールの法則]]では[[磁場]] <math>\vec{B}</math> の周回積分が積分路を貫く電流 <math>\mu_0 \vec{i}</math> に等しくなるが、巨視的電流が存在しない系では磁場
: <math>\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}</math>
は[[スカラーポテンシャル]]を持ち、ラプラス方程式を満足する。

== 直感的な証明 ==
アーンショーの定理を、静電場を使い直感的に証明すると以下の通り。

いま、スカラポテンシャル場 &phi; があるとすると任意の点において電場 <math>\vec{E}</math> は

: <math>\vec{E} = - \mbox{grad} \, \phi</math>

と書ける。考えている領域内のある点で &phi; の極大があったと仮定する。その極大点を取り囲む小さな閉曲面を考える。すると、その閉曲面近くの電場ベクトルは必ず閉曲面を内から外へ貫く。[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] grad &phi; が &phi; の極大点近傍では極大点に向かうためである。

すると [[ガウスの法則]]
: <math>\iint \vec{E} \cdot \hat{n} ds = \frac{q}{\epsilon_0}</math>
より、閉曲面で ''E'' を積分した値が正の値をとり、内部には電荷が存在することになり仮定と矛盾する。

== 対策 ==
物理実験において、粒子を捕捉することが必要な場合があるが、アーンショーの定理から静的な電磁場によって粒子を捕捉することはできないことが証明されているため、より複雑な方法を取る必要がある。

例えば、[[イオン (化学)|イオン]]を振動電場により捕捉する[[四重極イオントラップ]]などの[[イオントラップ]]が挙げられる。これは、イオンに働く[[ポンデロモーティブ力]]を[[復原力]]として利用している。

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[[Category:電磁気学]]
[[Category:物理学の定理]]
[[Category:浮上]]
[[Category:物理学のエポニム]]
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