イェンセンの不等式のソースを表示

'''イェンセンの不等式'''（いぇんせんのふとうしき、{{lang-en|Jensen's inequality}}）は、[[凸関数]]を使った[[不等式]]である。

''f''(''x'') を実数上の[[凸関数]]とする。

'''離散の場合'''：

<math>p_1, \, p_2, \, \ldots</math> を、<math>p_1 + p_2 + \cdots = 1</math> を満たす正の[[実数]]の列とする。また、<math>x_1, \, x_2, \, \ldots</math> を、実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。

:<math>\sum_{i=1}^{\infty} p_i f(x_i) \ge f\left( \sum_{i=1}^{\infty} p_i x_i \right)</math>

'''連続値の場合'''：

<math>p(x)(>0)</math> を、<math>\int p(x) dx = 1</math> を満たす実数上の[[Lp空間|可積分関数]]とする。また、<math>y(x)</math> を実数上の可積分関数とする。そのとき、次が成り立つ。

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(y(x))p(x) dx \ge f \left( \int_{-\infty}^{\infty} y(x)p(x) dx \right)</math>

[[ルベーグ積分]]論の観点では、 離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。

証明は、''f'' の<math>\int_{-\infty}^{\infty} y(x)p(x) dx</math>における接線を ''g'' とおいて、常に ''g''(''x'') が ''f''(''x'') よりも小さいことを使えばよい。

[[統計学]]において、式の下限を評価する際に、一定の役割を担っている。例えば、[[カルバック・ライブラー情報量|カルバック・ライブラー・ダイバージェンス]]が常に 0 より大きいことを証明するときに用いられる。''p''(''x'') が[[確率密度関数]]の場合を考えると、イェンセンの不等式は次のように書ける。
:<math>E[f(y)] \ge f(E[y])</math>
なお、イェンセンの不等式から、[[平均#関係式|相加相乗平均の関係式]]などを導くこともできる。

== 参考文献 ==
* {{Cite book |author=David Chandler |title=Introduction to Modern Statistical Mechanics |publisher=Oxford |year=1987 |isbn=0-19-504277-8}}
* Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768-71.
* {{Cite book |author=Walter Rudin|title=Real and Complex Analysis |publisher=McGraw-Hill |year=1987 |isbn=0-07-054234-1}}

== 関連項目 ==
* [[ヨハン・イェンセン]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|600|イェンゼンの不等式の３通りの証明}}

{{DEFAULTSORT:いえんせんのふとうしき}}
[[Category:不等式]]
[[Category:統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:人名を冠した数式]]