イギリス国旗の定理のソースを表示

{{複数の問題
| 出典の明記 = 2024年7月
| 独自研究 = 2024年7月
| 正確性 = 2024年7月
}}{{暫定記事名|date=2024年5月}}[[ファイル:British_flag_theorem_equal_areas.svg|サムネイル|180x180ピクセル|赤い[[正方形]]の面積の和と青い正方形の面積の和は等しい。]]
[[ファイル:British_flag_theorem_3d_gimp.png|サムネイル|180x180ピクセル|[[ユークリッド空間]]において、茶色の四角形が長方形であるとき、赤い正方形の面積の和と青い正方形の面積の和は等しい。]]
[[ユークリッド幾何学]]において、{{訳語疑問点範囲|'''イギリス国旗の定理'''|date=2024年7月}}（イギリスこっきのていり、[[英語|英]]:British flag theorem）または{{訳語疑問点範囲|'''英国旗の定理'''|date=2024年7月}}とは[[長方形]]''ABCD''と任意の点''P''について以下の等式が成り立つという定理である<ref>{{Citation|title=The First Six Books of the Elements of Euclid|last=Lardner|first=Dionysius|author-link=Dionysius Lardner|year=1848|url=https://books.google.com/books?id=5INRAAAAYAAJ&pg=PA87|publisher=H.G. Bohn|page=87}}. Lardner includes this theorem in what he calls "the most useful and remarkable theorems which may be inferred" from the results in Book II of [[ユークリッド原論|Euclid's Elements]].</ref><ref>{{Citation|title=Elementary Mathematical Analysis|last=Young|first=John Wesley|author-link=John Wesley Young|last2=Morgan|first2=Frank Millett|year=1917|url=https://books.google.com/books?id=guI3AAAAMAAJ&pg=PA304|publisher=The Macmillan company|page=304}}.</ref><ref>{{Citation|title=Plane Analytic Geometry: with introductory chapters on the differential calculus|last=Bôcher|first=Maxime|author-link=Maxime Bôcher|year=1915|url=https://books.google.com/books?id=bYkLAAAAYAAJ&pg=PA17|publisher=H. Holt and Company|page=17}}.</ref>。<math display="block"> AP^2 + CP^2 = BP^2 + DP^2. </math>イギリス国旗の定理は[[ピタゴラスの定理]]の一般化と言うこともできる。Pを長方形のいずれかの点に重ねることによって、長方形の対角線の2乗が長方形の縦と横の2乗の和に等しくなり、これはピタゴラスの定理となる。

== 証明 ==
[[ファイル:British_flag_theorem_proof3.svg|サムネイル|180x180ピクセル|証明に用いる図]]
''P''を通る長方形ABCDの辺AB, BC, CD, ADに対する[[垂直|垂線]]の足をそれぞれ''W'', ''X'', ''Y'' ,''Z''とする。ここで四角形''WXYZ''は[[直交対角線四角形]]である。したがって''WP''=''AZであることに注意し、[[ピタゴラスの定理]]を用いると

: <math>AP^2 = AW^2 + WP^2 = AW^2 + AZ^2</math>

が成り立つ。同様にして以下が成立する。

: <math>PC^2 = WB^2 + ZD^2,</math>
: <math>BP^2 = WB^2 + AZ^2,</math> 
: <math>PD^2 = ZD^2 + AW^2.</math>

したがって

: <math>\begin{align}
AP^2 + PC^2 &= \left(AW^2 + AZ^2\right) + \left(WB^2 + ZD^2\right) \\[4pt]
            &= \left(WB^2 + AZ^2\right) + \left(ZD^2 + AW^2\right) \\[4pt]
            &= BP^2 + PD^2
\end{align}</math>

== 一般化 ==

=== 等脚台形 ===
イギリス国旗の定理は[[等脚台形]]に一般化することができる。<math>AB</math> ,<math>CD</math>が平行である等脚台形<math>ABCD</math>と任意の点<math>P</math>について以下が成り立つ。

: <math>|AP|^2+\frac{|AB|}{|CD|} \cdot |PC|^2=|BP|^2+\frac{|AB|}{|CD|} \cdot |PD|^2</math>

四角形<math>ABCD</math>が長方形の場合、 <math>\tfrac{|AB|}{|CD|}</math> が1となるので元の定理を得る<ref>{{Citation|title=British flag theorem for isosceles trapezia|last=Tran|first=Quang Hung|year=November 2021|journal=The Mathematical Gazette|volume=105|issue=564|doi=10.1017/mag.2021.126}}.</ref>。

=== 平行四辺形 ===
任意の点Pから[[平行四辺形]]の2組の対角までの距離の2乗和について、2つの和の差は平行四辺形の形状にのみ依存し、Pの位置に依らないことが知られている<ref>{{Citation|title=Lessons in Geometry: Plane geometry|last=Hadamard|first=Jacques|author-link=Jacques Hadamard|year=2008|url=https://books.google.com/books?id=fLwydFiM7zMC&pg=PA136|publisher=American Mathematical Society|page=136|isbn=978-0-8218-4367-3}}.</ref>。

=== 空間 ===
この定理は[[埋め込み (数学)|埋め込み]]により[[ユークリッド空間]]にも拡張することができる<ref>[https://www.hmmt.co/static/archive/february/solutions/2003/sguts03.pdf Harvard-MIT Mathematics Tournament solutions] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181222221447/https://www.hmmt.co/static/archive/february/solutions/2003/sguts03.pdf|date=2018-12-22}}, Problem 28.</ref> 。

== 由来 ==
[[File:Flag_of_the_United_Kingdom.svg|サムネイル|180x180ピクセル|[[イギリス]]の[[国旗]]]]
証明の項の図の様に、Pから長方形の各辺へ垂線を下した時にできる図形が[[イギリスの国旗|ユニオンフラッグ]] に似ていることから名づけられた。

== 関連項目 ==

* [[ピザの定理]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== より詳しい読み物 ==

* Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: [http://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume4-Issue1/5.pdf '' An interesting application of the British flag theorem'']. Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Volume 4 (2015), issue 1, pp. 31–34.
* [[マーティン・ガードナー|Martin Gardner]], Dana S. Richards (ed.): ''The Colossal Book of Short Puzzles and Problems''. W. W. Norton, 2006, {{ISBN2|978-0-393-06114-7}}, pp. 147, 159 (problem 6.16)

== 外部リンク ==

* [https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/British_Flag_Theorem British Flag Theorem] at artofproblemsolving.com
* [https://www.youtube.com/watch?v=bhMyvC7o97Y ''Can You Solve Microsoft's Rectangle Corners Interview Question?''] (video, 5:41 mins)
* interacive illustration of the British flag theorem for [https://www.geogebra.org/m/esb4hmgx rectangles] und for [https://www.geogebra.org/m/ccrp4mur isosceles trapezoids]
{{デフォルトソート:いきりすこつきのていり}}
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[[Category:四角形に関する定理]]
[[Category:ユークリッド幾何学]]
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