イデアルの根基のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[可換環]]論において、イデアル ''I'' の'''根基'''（{{lang-en-short|radical}}）とは、[[イデアル]]であって、何乗かすれば ''I'' の元となるような元全体の集合である。'''根基イデアル'''（あるいは'''半素イデアル'''、被約イデアル）とは、自分自身の根基と等しいようなイデアルのことである（これは「根基化」と呼ばれるイデアルへの作用の固定点であるということもできる）。[[準素イデアル]]の根基は素イデアルである。

ここで定義された根基イデアルは、[[半素環]]の記事において非可換環に一般化される。

==定義==

[[可換環]] ''R'' のイデアル ''I'' の'''根基'''は、Rad(''I'') または <math>\sqrt{I}</math> と表記され、
:<math>\sqrt{I}=\{r\in R \mid r^n\in I \text{ for some positive integer } n\}</math>
と定義される。

直感的には、''I'' の根基は ''I'' の元のあらゆるベキ根を取ることで得られると考えられる。同じことだが、''I'' の根基はベキ零元からなるイデアル（[[冪零イデアル]]と呼ばれる）の <math>R/I</math> における逆像である<ref>直接の証明は次のように与えられる。

''a'' と ''b'' をイデアル ''I'' の根基の元とすると、ある正整数 ''m'' と ''n'' が存在して、''a''<sup>''n''</sup> と  ''b''<sup>''m''</sup> は ''I'' の元である。''a'' + ''b'' が ''I'' の根基の元であることを示す。（可換性が仮定されているので）[[二項定理]]を使って (''a''+''b'')<sup>''n''+''m''&minus;1</sup> を展開すると、

:<math>(a+b)^{n+m-1}=\sum_{i=0}^{n+m-1}{n+m-1\choose i}a^ib^{n+m-1-i}.</math>

となる。各 ''i'' に対し、次の条件のうちちょうど1つが成り立つ。

*''i'' &ge; ''n''
*''n'' + ''m'' &minus; 1 &minus; ''i'' &ge; ''m''.

これにより、各式 ''a''<sup>''i''</sup>''b''<sup>''n''+''m''&minus; 1 &minus; ''i''</sup> において、''a'' の指数が十分大きくその ''a'' のベキが ''I'' に入るか、''b'' のベキが十分大きくその ''b'' のベキが ''I'' の入るか、いずれかが成り立つ。（''I'' はイデアルだから）''I'' の元と ''R'' の元の積は ''I'' に入るので、この積の式も ''I'' に入り、(''a''+''b'')<sup>''n''+''m''&minus;1</sup> も ''I'' に入り、したがって ''a''+''b'' は ''I'' の根基に入る。

根基がイデアルであることを確認することを終えるために、根基の元 ''a'' をとり、''a''<sup>''n''</sup> が ''I'' の元であるとし、さらに任意の元 ''r''&isin;''R'' をとる。すると、(''ra'')<sup>''n''</sup> = ''r''<sup>''n''</sup>''a''<sup>''n''</sup> は ''I'' の元なので、''ra'' は根基の元である。したがって根基はイデアルである。</ref>。後者は <math>\sqrt{I}</math> はそれ自身イデアルであり、 ''I'' を含むことを示している。

''I'' の根基が有限生成ならば、<math>\sqrt{I}</math> を何乗かすると ''I'' に含まれる<ref>{{harvnb|Atiyah–MacDonald|1969|loc=Proposition 7.14}}</ref>。とくに、''I'' と ''J'' がネーター環のイデアルであれば、''I'' と ''J'' が同じ根基をもつことと、''I'' が ''J'' のあるベキを含み ''J'' が ''I'' のあるベキを含むことは同値である。

イデアル ''I'' が自分自身の根基と一致すれば、''I'' は''根基イデアル''または''[[半素イデアル]]''と呼ばれる。

==例==

[[整数]]環 '''Z''' を考える。

# 4の倍数のイデアル 4'''Z''' の根基は 2'''Z''' である。
# 5'''Z''' の根基は 5'''Z''' である。
# 12'''Z''' の根基は 6'''Z''' である。
# 一般に、''m'''''Z''' の根基は ''r'''''Z''' である。ただし ''r'' は ''m'' のすべての素因数の積である（[[:en:radical of an integer|radical of an integer]] を参照）。実はこれは任意のイデアルに一般化される（[[イデアルの根基#性質|性質]]を参照）。

[[準素イデアル]]の根基は素イデアルである。イデアル ''I'' の根基が極大であれば、''I'' は準素である<ref>{{harvnb|Atiyah–MacDonald|1969|loc=Proposition 4.2}}</ref>。

''I'' がイデアルであれば、<math>\sqrt{I^n} = \sqrt{I}</math> である。素イデアルは根基イデアルである。よって任意の素イデアル ''P'' に対し <math>\sqrt{P^n} = P</math> である。

''I'', ''J'' を環 ''R'' のイデアルとする。<math>\sqrt{I}, \sqrt{J}</math> が [[:en:Ideal (ring theory)#Types of ideals|comaximal]] であれば、<math>I, J</math> も comaximal である<ref>証明：<math>R = \sqrt{\sqrt{I} + \sqrt{J} } = \sqrt{I + J}</math> より <math>I + J = R</math>.</ref>。

''M'' をネーター環 ''R'' 上有限生成加群とする。このとき
:<math>\sqrt{\operatorname{ann}_R(M)} = \bigcap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{supp}M} \mathfrak{p} = \bigcap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{ass}M} \mathfrak{p}</math>
が成り立つ<ref>{{harvnb|Lang|2002|loc=Ch X, Proposition 2.10}}</ref>。ただし <math>\operatorname{supp}M</math> は ''M'' の[[加群の台|台]]で、 <math>\operatorname{ass}M</math> は ''M'' に[[伴う素イデアル]]の集合である。

==性質==
この節において ''I'' は可換環 ''R'' のイデアルである。

* Rad(Rad(''I''))=Rad(''I'') は常に正しい。さらに、Rad(''I'') は ''I'' を含む最小の根基イデアルである。

* Rad(''I'') は ''I'' を含む ''R'' のすべての素イデアルの共通部分である<ref>証明。任意の素イデアルは根基なので、この共通部分は Rad(''I'') を含む。逆に、''r'' を ''R'' の元であって Rad(''I'') の元でないとし、''S'' を集合 {''r<sup>n</sup>''|''n'' は非負整数} とする。Rad(''I'') の定義によって、''S'' は ''I'' と交わらない。''S'' はまた[[:en:multiplicatively closed subset|積閉集合]]である。したがって、[[:en:Krull's theorem|クルルの定理]]の変形によって、''I'' を含み ''S'' と交わらない素イデアル ''P'' が存在する。（[[:en:prime ideal|prime ideal]] を見よ。）''P'' は ''I'' を含むが ''r'' を含まないので、このことは ''r'' が ''I'' を含む素イデアルの共通部分に入っていないことを示している。</ref>。もう少し強いことが言える。''I'' の根基は ''I'' を含む ''R'' の素イデアルのうち極小なものの共通部分である。

* 直前の特別な例として、ベキ零根基（すべてのベキ零元の集合）は ''R'' のすべての素イデアルの共通部分に等しい。

* 環 ''R'' のイデアル ''I'' が根基であるのは[[商環]] ''R''/''I'' が[[:en:reduced ring|被約]]であるとき、かつそのときに限る。

* 斉次イデアルの根基は斉次イデアルである。

==応用==

''根基''を研究する主要な動機付けは[[可換環論]]で有名な''[[ヒルベルトの零点定理]]''である。この定理の簡単に理解できるバージョンは次のようなものである。[[代数的閉体]] ''k'' と、体 ''k'' 上の ''n'' 個の不定元 <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> の任意の有限生成多項式イデアル ''J'' に対して、
:<math>\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \operatorname{Rad} (J)\,</math>
が成り立つ。ただし、
:<math> \operatorname{V}(J) = \{x \in k^n \ |\ f(x)=0 \text{ for all } f\in J\}</math>
であり
:<math> \operatorname{I}(S) = \{f \in k[x_1,x_2,\ldots x_n] \ |\  f(x)=0 \text{ for all } x\in S \}</math>
である。

これは次のようにも言える。環のイデアルの集合における合成 <math>\operatorname{I}(\operatorname{V}(-))=\operatorname{Rad}(-)\,</math> は実は{{仮リンク|閉包演算子|en|Closure operator}}である。根基の定義から、根基をとる操作はベキ等であることは明らかである。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*[[Michael Atiyah|M. Atiyah]], [[Ian G. Macdonald|I.G. Macdonald]], ''Introduction to Commutative Algebra'', [[Addison-Wesley]], 1994. ISBN 0-201-40751-5
* [[David Eisenbud|Eisenbud, David]], ''Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry'', Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
* {{Lang Algebra|edition=3r}}

== 関連項目 ==
* [[ジャコブソン根基]]
* [[冪零根基]]

{{DEFAULTSORT:いてあるのこんき}}
[[Category:環論]]
[[Category:可換環論]]
[[Category:閉包作用素]]
[[Category:数学に関する記事]]