イフ合同心のソースを表示


{{暫定記事名|date=2024年6月}}

[[幾何学]]において、'''イフ合同心'''（いふごうどうしん<ref>{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-06-01}}</ref>、[[英語|英]]: Yff center of congruence）は[[三角形の中心]]の一つである。[[1987年]]、[[ピーター・イフ]]の[[三角形]]の中心に関する研究で発見された<ref name="Kimberling">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Yff Center of Congruence |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/yffcc.html |access-date=30 May 2012}}</ref>。

== 二等辺化線 ==
{{Mvar|A}}の二等辺化線（isoscelizer）とは、それぞれ{{Mvar|AB,AC}}上の点{{Math|''P''{{sub|1}}, ''Q''{{sub|1}}}}について、{{Math|△''AP''{{sub|1}}''Q''{{sub|1}}}}が[[二等辺三角形]]となるとき[[直線]]{{Math|''P''{{sub|1}} ''Q''{{sub|1}}}}のことを指す。{{Mvar|A}}の[[二等分線|内角の二等分線]]に[[垂直]]である。1963年、ピーター・イフによって導入された<ref>{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W. |title=Isoscelizer |url=http://mathworld.wolfram.com/Isoscelizer.html |publisher=MathWorld--A Wolfram Web Resource. |access-date=30 May 2012}}</ref>。

== Yff central triangle ==
[[ファイル:Yff_center_of_congruence.svg|サムネイル|285x285px|
{{Legend-line|solid black|基準三角形{{math|△''ABC''}}}}
{{Legend inline|#2fcc27|{{math|△''A'P''{{sub|2}}''Q''{{sub|3}} ≅ }}}}
{{Legend inline|#4f46f2|{{math|△''Q''{{sub|1}}''B'P''{{sub|3}} ≅ }}}}
{{Legend inline|#ff9a36|{{math|△''P''{{sub|1}}''Q''{{sub|2}}''C' '' ≅}}}}
{{Legend|#ff5252|{{math|△''A'B'C' ''}} ('''Yff central triangle''')}}
]]
{{Math|△''ABC''}}について 、{{Mvar|A,B,C}}の二等辺化線をそれぞれ{{Math|''P''{{sub|1}}''Q''{{sub|1}},''P''{{sub|2}}''Q''{{sub|2}},''P''{{sub|3}}''Q''{{sub|3}}}} とする。また、{{Math|''P''{{sub|1}}''Q''{{sub|1}},''P''{{sub|2}}''Q''{{sub|2}},''P''{{sub|3}}''Q''{{sub|3}}}}からなる三角形を{{Math|△''A'B'C' ''}}とする。4つの三角形{{Math|△''A'P''{{sub|2}}''Q''{{sub|3}}, △''Q''{{sub|1}}''B'P''{{sub|3}},  △''P''{{sub|1}}''Q''{{sub|2}}''C',''△''A'B'C' ''}}は常に[[図形の相似|相似]]である。

{{Math|△''A'P''{{sub|2}}''Q''{{sub|3}}, △''Q''{{sub|1}}''B'P''{{sub|3}},  △''P''{{sub|1}}''Q''{{sub|2}}''C',''△''A'B'C' ''}}が[[図形の合同|合同]] であるとき、{{Math|△''A'B'C' ''}}は'''Yff central triangle'''と呼ばれる<ref>{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W |title=Yff central triangle |url=http://mathworld.wolfram.com/YffCentralTriangle.html |publisher=MathWorld--A Wolfram Web Resource. |access-date=30 May 2012}}</ref>。Yff central triangleの[[外接円]]は'''Yff central circle'''と呼ばれる。

== イフ合同心 ==
[[ファイル:Yff_center_of_congruence.gif|サムネイル|279x279px|Yff central triangleのアニメーション。イフ合同心はYff central triangleが一点に退化したものである。]]
{{Math|△''ABC''}}について {{Math|''P''{{sub|1}}''Q''{{sub|1}}, ''P''{{sub|2}}''Q''{{sub|2}},  ''P''{{sub|3}}''Q''{{sub|3}}}} がYff central triangle{{Math|△''A'B'C' ''}}を成すようにとる。二等辺化線 {{Math|''P''{{sub|1}}''Q''{{sub|1}}, ''P''{{sub|2}}''Q''{{sub|2}},  ''P''{{sub|3}}''Q''{{sub|3}}}}を、{{Math|△''A'P''{{sub|2}}''Q''{{sub|3}}, △''Q''{{sub|1}}''B'P''{{sub|3}},  △''P''{{sub|1}}''Q''{{sub|2}}''C'''}}が合同を保つように、平行に動かすと、{{Math|△''A'B'C' ''}}が点に退化するときがある。この点を{{Math|△''ABC''}}のイフ合同心という。

== 性質 ==
[[ファイル:Yff_central_triangle_and_its_excircles.svg|サムネイル|282x282px| {{Math|△''ABC''}} はYff central triangleの[[傍接円]]の[[接線|共通外接線]]が成す三角形となる。]]

* イフ合同心は[[Encyclopedia of Triangle Centers]]でX(174)として紹介されており、[[三線座標]]は以下の式で与えられる<ref name="ETC">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=X(174) = Yff Center of Congruence |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X174 |access-date=2 June 2012}}</ref>。<math display="block">
\sec\frac{A}{2} : \sec\frac{B}{2} : \sec\frac{C}{2}</math>
* {{Math|△''ABC''}}の辺はYff central triangleの[[傍接円]]の[[接線|共通外接線]]である。
* {{Math|△''ABC''}}の[[内心]]を{{Mvar|I}}とする。また、{{Math|1=∠''BID'' = ∠''DIC''}}を満たす{{Mvar|BC}}上の点を{{Mvar|D}}、{{Mvar|CA,AB}}にも同様にして{{Mvar|E,F}}を定義する。{{Mvar|AD, BE, CF}}はイフ合同心で交わる<ref name="ETC" />。これは下記の一般化に使用されている。 
* [[ジェルゴンヌ点|接触三角形]]の外接線三角形（extangents triangle）と基準三角形の[[図形の相似|相似]]中心である。 
* コンピュータの補助によってYff central triangleはいくつかの性質が判明している<ref>{{Cite journal|last=Dekov|first=Deko|year=2007|title=Yff Center of Congruence|url=http://www.docstoc.com/docs/70786195/Yff-Center-of-Conguence|journal=Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry|volume=37|pages=1–5|accessdate=30 May 2012}}</ref>。

== 一般化 ==
[[ファイル:Yff_Centre_Generalisation.png|サムネイル|280x280px|イフ合同心の一般化]]

{{Math|△''ABC''}}と任意の点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|BC, CA, AB}}上に以下を満たす点{{Mvar|D, E, F}}をとる。<math display="block">\angle BPD = \angle DPC, \quad \angle CPE = \angle EPA, \quad \angle APF = \angle FPB.</math>{{Mvar|AD, BE, CF}}は[[共点]]である<ref name="ETC" />。{{Mvar|P}}を三線座標で{{Math|''p'':''q'':''r''}}とすると、その点の三線座標は、

<math>\frac{1}{\sqrt{(q^2+r^2+2qr\cos A)}}:\frac{1}{\sqrt{(r^2+p^2+2rp\cos B)}}:\frac{1}{\sqrt{(p^2+q^2+2pq\cos C)}}</math>

である。{{Mvar|P}}と{{Mvar|P}}を外接円で[[反転幾何学|反転]]した点の、この一般化された点は一致する。

== 関連 ==

* [[合同二等辺化線点]]
* {{仮リンク|中心三角形|en|Central triangle}}
* [[合同辺平行線点]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}{{デフォルトソート:いふこうとうしん}}
[[Category:三角形の中心]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]