イプシロン数のソースを表示

{{出典の明記|date=2019年3月}}
{{Otheruses|数学における順序数|物理定数の &epsilon;<sub>0</sub>|誘電率}}

'''イプシロン数'''あるいは'''エプシロン数''' ({{lang-en-short|epsilon numbers}})とは、[[数学]]における[[順序数|超限順序数]]の一つ。それ自身よりも小さい順序数から有限回の加算・乗算・冪乗では到達できない超限順序数として定義される。

<math>\alpha = \omega^\alpha</math> であるような &gamma; 番目（0から数え始める）の順序数 &alpha; を &epsilon;<sub>&gamma;</sub> と書き、これらをイプシロン数と呼ぶ。この中で最小のものが &epsilon;<sub>0</sub> （'''イプシロン・ゼロ'''（{{lang-en-short|epsilon zero}}）、あるいは'''イプシロン・ノート'''（{{lang-en-short|epsilon nought}}））である。

&epsilon;<sub>0</sub> は基本列 <math>\omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots </math> の極限として考えることができ、同時にこれらの順序数全体の集合の上限と一致する。&epsilon;<sub>0</sub> はしたがって[[極限順序数]]でもある。
:<math>\varepsilon_0 = \sup \{\omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \} = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}.</math>

[[:en:Ordinal arithmetic#Cantor_normal_form|カントールの標準形]]で表すと次の通り。
:<math>\varepsilon_0 = \omega^{\varepsilon_0}.</math>
&epsilon;<sub>0</sub> はまだ[[可算]]である（前述の &gamma; を非可算順序数とすると、非可算なエプシロン数が得られる）。この順序数は[[帰納法]]を用いた様々な証明で非常に重要な役割を果たす。何故なら多くの場合、[[超限帰納法]]は &epsilon;<sub>0</sub>まで実行すれば十分だからである（例として[[ペアノの公理|ペアノ算術]]の無矛盾性に関する[[ゲルハルト・ゲンツェン|ゲンツェン]]の証明や[[グッドスタインの定理]]の証明などがある)。これがゲンツェンの証明において用いられたことと[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]の[[不完全性定理|第二不完全性定理]]から、ペアノ算術ではこの順序の[[整礎関係|整礎性]]を証明できないことが判る（事実、&epsilon;<sub>0</sub>はこのような性質を持つ最小の順序数である。このことから、[[証明論]]におけるordinal analysisではペアノ算術の体系の強さを測る尺度として利用されている）。

エプシロン数は、ドイツの数学者[[ゲオルク・カントール|カントール]]によって{{ill|順序数の算術|en|ordinal arithmatics}}（[[順序数#順序数の演算]]も参照）の文脈において導入された。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==

* [[アレフ数#アレフ・ノート|最小の超限順序数]] {{mvar|ω}}
* [[ヴェブレン階層]]、ヴェブレン関数（Veblen function）
* {{仮リンク|フェファーマン・シュッテの順序数|en|Feferman–Schütte ordinal}}（Feferman–Schütte ordinal）{{math|Γ{{sub|0}}}}

== 外部リンク ==
*[http://www.umcs.maine.edu/~chaitin/lowell.html "A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics"] &mdash;1999年4月30日、Lowell の[[マサチューセッツ大学]]における[[グレゴリー・チャイティン]]による講演
* [https://googology.fandom.com/ja/wiki/%CE%95%E2%82%80 ε₀ | 巨大数研究 Wiki | Fandom]

{{集合論}}

{{DEFAULTSORT:いふしろんすう}}
[[Category:順序数]]
[[Category:数学に関する記事]]