イマナントのソースを表示

[[数学]]における[[行列]]の'''イマナント'''（{{lang-en-short|Immanant}}）は {{harvtxt|Littlewood|Richardson|1934}} が[[行列式]] (determinant) および[[パーマネント (数学)|パーマネント]] (permanent) の概念を一般化するものとして導入した。

{{math|''λ'' {{coloneqq}} (''λ''{{sub|1}}, ''λ''{{sub|2}}, …)}} を {{mvar|n}} の[[自然数の分割|分割]]、{{mvar|χ{{sub|λ}}}} を対称群 {{mvar|S{{sub|n}}}} の[[群の表現論|表現論]]的[[指標 (群論)|指標]]とするとき、{{math|''n'' × ''n''}} [[行列]] {{math|''A'' {{coloneqq}} (''a{{sub|ij}}'')}} の指標 {{mvar|χ{{sub|λ}}}} に付随する「イマナント」は、<math display="block">\operatorname{Imm}_\lambda(A) := \sum_{\sigma\in S_n} \chi_\lambda(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}</math> で定義される。

* 行列式はイマナントの特別の場合で、{{mvar|χ{{sub|λ}}}} として（[[置換の符号]]によって定義される）{{mvar|S{{sub|n}}}} の[[交代指標]]をとったものである。
* パーマネントは {{mvar|χ{{sub|λ}}}} として{{ill2|自明指標|en|trivial character}}（恒等的に {{math|1}} に等しい）をとった場合である。

例えば、{{math|3 × 3}} 行列の場合に、{{math|''S''{{sub|3}}}} の既約表現は以下の指標標の如く三つある:
{| class="wikitable" style="margin: 1ex auto; text-align: center;"
|-
! style="width: 1em;" | {{math|''S''{{sub|3}}}}
! style="width: 3em;" | {{mvar|e}}
! style="width: 3em;" | {{math|(1 2)}}
! style="width: 3em;" | {{math|(1 2 3)}}
|-
| {{math|''χ''{{sub|1}}}}
| {{math|1}}
| {{math|1}}
| {{math|1}}
|-
| {{math|''χ''{{sub|2}}}}
| {{math|1}}
| {{math|−1}}
| {{math|1}}
|-
| {{math|''χ''{{sub|3}}}}
| {{math|2}}
| {{math|0}}
| {{math|−1}}
|}
既に述べた通り、{{math|''χ''{{sub|1}}}} はパーマネントを {{math|''χ''{{sub|2}}}} は行列式を与える。そして {{math|''χ''{{sub|3}}}} は <math display="block">\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \rightsquigarrow 2 a_{11} a_{22} a_{33} - a_{12} a_{23} a_{31} - a_{13} a_{21} a_{32}</math> と写される演算を定義する。

{{harvtxt|Littlewood|Richardson|1934}} は{{ill2|対称群の表現論|en|representation theory of the symmetric group}}における[[シューア函数]]との関係も調べている。

== 参考文献 ==
* {{citation | first= D. E. |last= Littlewood | authorlink=Dudley E. Littlewood |first2=A. R. |last2=Richardson |authorlink2=Archibald Read Richardson  | title=Group characters and algebras | journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society A]] | year=1934 | volume=233 | pages=99–124 | doi=10.1098/rsta.1934.0015 | issue=721–730 | ref=harv}}
* {{cite book | first= D. E. |last= Littlewood | authorlink=Dudley E. Littlewood | title=The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups | edition=2nd | year=1950 | publisher=Oxford Univ. Press (reprinted by AMS, 2006) | page=81 }}

== 外部リンク ==
* {{PlanetMath|urlname=immanent|title=immanent}}
* {{citation|url= http://math.shinshu-u.ac.jp/~maekawa/wakate2014/proceedings/tabata_proceedings.pdf| title=Immanant不等式とImmanantal Polynomials|author=田端亮|series=[http://math.shinshu-u.ac.jp/~maekawa/wakate2014/ 第19回代数若手研究会 報告書]|year=2014|format=PDF}}

{{DEFAULTSORT:いあまなんと}}
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[[Category:表現論]]
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[[Category:行列論]]
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