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{{暫定記事名|date=2024年7月}}

'''イーガン予想'''（イーガンよそう、{{Lang-en-short|Egan conjecture}}）は2つの[[超球面]]について、一方に完全に含まれ、もう一方を囲みこむような[[単体 (数学)|単体]]を持つ、超球面の[[半径]]と中心の距離に関する[[必要十分条件]]に関する予想である<ref>{{Cite journal|last=Kuznetsov|first=N. V.|last2=Lobachev|first2=M. Y.|last3=Yuldashev|first3=M. V.|last4=Yuldashev|first4=R. V.|last5=Kuznetsov|first5=V. O.|last6=Kolumbán†|first6=G.|last7=Chechurin|first7=L. S.|date=2021-01-01|title=The pull-in range and a counterexample to the Egan conjecture for the fourth-order type 2 analog PLL|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2405896321023521|journal=IFAC-PapersOnLine|volume=54|issue=21|pages=73–78|doi=10.1016/j.ifacol.2021.12.013|issn=2405-8963}}</ref>。イーガン予想は[[ウィリアム・チャップル (測量士)|ウィリアム・チャップル]]（後に、[[レオンハルト・オイラー]]）の発見した[[等式]]である、[[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの定理]]の一般化である。オイラーの定理はまた、[[ポンスレの閉形定理|ポンスレの閉形問題]]の特殊な場合で、3[[次元]]の[[グレース＝ダニエルソン不等式]]（Grace–Danielsson inequality）となる。

2014年にオーストラリアの[[数学者]]兼[[SF小説|SF小説家]]の[[グレッグ・イーガン]]により提案され、2018年に[[十分性]]が、2023年に[[必要条件|必要性]]が証明された。

== 2,3次元 ==
任意の[[三角形]]（2次元単体）は[[内接円]]と[[外接円]]（1次元球面）を持つ。それぞれの半径を<math>r,R</math>、また内心と外心の距離を<math>d</math>とすると、[[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの定理]]によれば次の式が成立する。

: <math>d^2=R(R-2r)</math>,

1746年にチャップル、1765年にオイラーがそれぞれ独自に証明した<ref name=":16">{{Citation|title=An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles (1746)|last=Chapple, William|editor=Miscellanea Curiosa Mathematica|volume=4|pages=117–124, formula on the bottom of page 123}}</ref><ref name=":17">{{Citation|title=Euler and triangle geometry|last=Leversha, Gerry; Smith, G. C.|date=November 2007|year=|url=https://www.jstor.org/stable/40378417|publisher=[[The Mathematical Gazette]]|volume=91|pages=436–452}}</ref>。逆に、上の式を満たす2円はそれぞれを内接円、外接円とする三角形を持つ。

2つの[[球面]]（2次元球面）の半径をそれぞれ<math>r,R \ (r<R) </math>、中心の距離を<math>d</math>とする。[[グレース＝ダニエルソン不等式]]によれば、半径<math>R</math>の球面に完全に含まれ、半径<math>r</math>の球面を完全に囲む、非[[正単体]]の[[三角錐]]（3次元単体）をもつ必要十分条件は次の式で表される。

: <math>d^2\leq(R+r)(R-3r)</math>.

この結果は1917年に[[ジョン・ヒルトン・グレース]]、1949年にG・ダニエルソンによって独自に証明された<ref name=":13">{{Citation|title=Tetrahedra in relation to spheres and quadrics|last=Grace, J.H.|date=1918|year=|url=https://academic.oup.com/plms/article-abstract/s2-17/1/259/1536552|editor=Proc. London Math.|volume=Soc.17|pages=259–271}}</ref><ref name=":14">{{Citation|title=Proof of the inequality d2≤(R+r)(R−3r) for the distance between the centres of the circumscribed and inscribed spheres of a tetrahedron|last=Danielsson, G.|date=1952|editor=Johan Grundt Tanums Forlag|pages=101–105}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Lajos Laszlo|year=2018|title=On the Grace-Danielsson inequality for tetrahedra|journal=Department of Numerical Analysis, Eotvos Lorand University, Budapest|arxiv=1805.08435}}</ref>。[[アンソニー・ミルン]]はグレース＝ダニエルソン不等式と[[量子情報]]理論の関連性について述べた<ref name=":15">{{Cite web |access-date=2023-11-22 |author=Anthony Milne |date=2014-04-02 |language=en |title=The Euler and Grace-Danielsson inequalities for nested triangles and tetrahedra: a derivation and generalisation using quantum information theory |url=https://arxiv.org/abs/1404.0525}}</ref>。 

== 予想 ==
[[次元 (ベクトル空間)|n次元]][[ユークリッド空間]]<math>\mathbb R^n</math>（<math>n\geq 2</math>）上の、半径が<math>r,R \ (r<R) </math>である<math>n-1</math>球面について、半径<math>R</math>の球面に完全に含まれ、半径<math>r</math>の球面を完全に囲むn次元単体が存在する必要十分条件は次の式で表される。

: <math>d^2\leq(R+(n-2)r)(R-nr)</math>.

この予想は2014年に[[グレッグ・イーガン]]に提案された<ref name=":18">{{Cite web |access-date=2023-11-22 |author=John Baez |date=2014-07-01 |language=en |title=Grace–Danielsson Inequality |url=https://blogs.ams.org/visualinsight/2014/06/01/grace-danielsson-inequality/}}</ref>。

<math>n=1</math>の場合でも、<math>d\leq R-r</math>となり明らかに式は成り立つ。0次元球面は単に[[点 (数学)|点]]、1次元単体は単に[[区間 (数学)|区間]]（[[線分]]）となるため、2点間の区間を選べばよいためである。

この定理はn次元における[[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの不等式]]を含んでいる。

== 状況 ==
2014年、イーガンは{{仮リンク|ジョン・C・バイエズ|en|John C. Baez}}のブログで、この予想の十分性を示した。ウェブサイトの再編成に伴い、一度もとのブログは消滅してしまったが、その中心部は元のブログにコピーされて残っている。2018年4月16日、イーガンは[[楕円体]]に一般化された予想について言及した<ref name=":18" />。2023年10月16日、[[セルゲイ・ドロズコフ]]は[[ArXiv]]上でイーガン予想の必要性を示す論文を発表した<ref name=":19">{{Cite web |access-date=2023-11-22 |author=Sergei Drozdov |language=en |title=Egan conjecture holds |url=https://arxiv.org/abs/2310.10816}}</ref>。

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>

== 外部リンク ==

* {{Cite web |url=https://meta-perceptio.vercel.app/pages/3dEuler.html |title=n次元におけるEulerの不等式の初等的証明とEgan予想 |access-date=2024-7-21 |publisher=Metachick-2021}}
*
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