ウィグナーの定理のソースを表示

1931年に[[ユージン・ウィグナー]] (Eugene Wigner)により証明された<ref>E. P. Wigner, Gruppentheorie (Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig, Germany, 1931), pp. 251-254; Group Theory (Academic Press Inc., New York, 1959), pp. 233-236</ref>'''ウィグナーの定理'''(Wigner's theorem)は、[[量子力学の数学的定式化]]の土台となる定理である。定理は、どのようにして回転・並進のような物理的対称性や[[CPT対称性|CPT]]が状態のヒルベルト空間上に作用するかを決定する。

定理に従うと、ヒルベルト空間の中ではどのような対称性も[[ユニタリ変換]]もしくは{{仮リンク|反ユニタリ|en|antiunitary operator}}変換として作用する。さらに詳しくは、複素[[ヒルベルト空間]] <math>H</math> の（必ずしも線型である必要はない）[[全射]] <math>T\colon H\rightarrow H</math> が、すべての <math>x,y \in H</math> に対して
:<math>|\langle Tx,Ty\rangle|=|\langle x,y\rangle|</math>
を満たすならば <math>Tx=\varphi Ux</math> の形をしていると言っている。

ここに <math>\varphi</math> は絶対値 1 の複素数で、<math>U\colon H\rightarrow H</math> は考えている系の対称性に依存して、ユニタリかもしくは反ユニタリである。

==量子力学の対称性==

[[量子力学]]と[[量子場理論]]では、一つの粒子、複数の粒子、場の[[量子状態]]は、複素ヒルベルト空間の中のベクトル（[[ブラ-ケット記法|ケット]])で表される。任意の{{仮リンク|対称性 (物理)|label=対称演算子|en|symmetry (physics)}}、例えば、｢すべての粒子や場を5秒間時間を前へ進める」とか「[[ローレンツ変換]]すべての粒子と場を x 方向へ 5 m/sで移動する」とかは、ヒルベルト空間の上の演算子 T に対応する。この演算子 T は[[全単射]]である必要がある。何故ならば、すべての量子状態は互いに変換された対応する状態がユニークである必要があるからである。また、初期状態が <math>y</math> 系が状態 <math>x</math> である確率は、<math>|\langle x,y\rangle|^2</math> で与えられる．T は対称演算子なので、初期状態が <math>Ty</math> の系が状態 <math>Tx</math> である確率は等しいはずである。従って、<math>|\langle Tx,Ty\rangle|^2=|\langle x,y\rangle|^2</math> である。このことから T はウィグナーの定理の仮定に従う。

このようにして、ウィグナーの定理に従い、T はユニタリかもしくは反ユニタリである。上の2つの例(時間の移動とローレンツ変換）では、T はユニタリ演算子に対応する。[[時間反転対称性]]{{enlink|time-reversal symmetry}}演算子は、反ユニタリ対称演算子の有名な例である。

==参照項目==
*{{仮リンク|素粒子物理と表現論|en|Particle physics and representation theory}}

==参考文献==
<references/>
* Bargmann, V.  "Note on Wigner's Theorem on Symmetry Operations".  Journal of Mathematical Physics Vol 5, no. 7, Jul 1964.
* Molnar, Lajos.  "An Algebraic Approach to Wigner's Unitary-Antiunitary Theorem". {{arxiv|math/9808033}}

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