ウィグナーのD行列のソースを表示

{{翻訳直後|[[:en:Special:Permalink/1076979112|Symmetry in quantum mechanics (00:07, 14 March 2022, UTC)]]|date=2022年3月}}

'''ウィグナーの{{mvar|D}}行列'''（ウィグナーのDぎょうれつ、{{Lang-en-short|Wigner D-matrix}}）は、[[特殊ユニタリ群|SU(2)]]および{{仮リンク|3次元回転群|en|3D rotation group|label=SO(3)}}の[[既約表現]]における[[ユニタリ行列]]である。{{mvar|D}}行列の複素共役は球対称な{{仮リンク|剛体回転子|en|Rigid rotor}}の[[ハミルトニアン]]の[[固有関数]]である。[[1927年]]に[[ユージン・ウィグナー]]により導入された。{{mvar|D}}は「表現、表示」を意味する{{Lang-de|Darstellung}}の頭文字からとられている。

== 定義 ==
{{Math|''J<sub>x</sub>'', ''J<sub>y</sub>'', ''J<sub>z</sub>''}}をSU(2)およびSO(3)の[[リー代数]]の[[生成子]]とする。[[量子力学]]において、これらの3つの演算子は[[角運動量演算子]]のベクトル成分である。たとえば、[[原子]]内における[[電子]]の[[軌道角運動量]]、電子の[[スピン角運動量]]、剛体回転子の[[角運動量]]として現われる。

これら全ての場合において、上の3演算子は次の[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]を満たす。

: <math> [J_x,J_y] = i J_z,\quad [J_z,J_x] = i J_y,\quad [J_y,J_z] = i J_x </math>

ここで、{{Mvar|i}}は[[虚数単位]]であり、[[ディラック定数]]{{mvar|ħ}}は1とした。{{仮リンク|カシミール不変量|en|Casimir element|label=カシミール演算子}}

: <math> J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 </math>

はこれらすべてのリー代数生成子と交換する。したがって、{{mvar|J<sub>z</sub>}}と同時に[[対角化]]することができる。

ここから[[球面テンソル|球面基底]]、すなわち次を満たす[[ブラ-ケット記法|ケット]]からなる[[完全系]]を定義することができる。

: <math> J^2 |jm\rangle = j(j+1) |jm\rangle,\quad J_z |jm\rangle = m |jm\rangle</math>

ここで、SU(2)の場合 {{Math|1=''j'' = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...}}、SO(3) の場合{{Math|1=''j'' = 0, 1, 2, ...}}であり、どちらの場合でも {{Math|1=''m'' = −''j'', −''j'' + 1, ..., ''j''}}である。

3次元[[回転 (数学)|回転]]演算子を以下のように書くこととする。

: <math>\mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\alpha J_z}e^{-i\beta J_y}e^{-i\gamma J_z}</math>

ここで、 {{Math|''α'', ''β'',  ''γ''}}は[[オイラー角]]である（zyz規約、右手系、右ねじの法則、active interpretation{{訳語疑問点|能動表現|date=2022年3月}}を採用する）。

'''ウィグナーの{{Mvar|D}}行列'''はこの球面基底上で回転演算子を表現する{{Math|2''j'' + 1}}次元ユニタリ[[正方行列]]であり、以下の[[行列要素]]を持つ。

: <math>D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv \langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle =e^{-im'\alpha } d^j_{m'm}(\beta)e^{-i m\gamma}</math>

ここで、

: <math>d^j_{m'm}(\beta)= \langle jm' |e^{-i\beta J_y} | jm \rangle = D^j_{m'm}(0,\beta,0) </math>

は'''ウィグナーの（小文字）{{Mvar|d}}行列'''の行列要素である。

したがって、この基底では

: <math> D^j_{m'm}(\alpha,0,0) = e^{-im'\alpha } \delta_{m'm} </math>

は[[対角行列]]で、{{Mvar|&gamma;}}要素についても同様だが、{{Mvar|&beta;}}要素については対角行列でない。

== ウィグナーの（小文字）{{Mvar|d}}行列 ==
ウィグナーは次の式を与えた<ref>{{cite book|first=E. P.|last=Wigner|title=Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren|publisher=Vieweg Verlag|location=Braunschweig|year=1931}} Translated into English by {{cite book|first=J. J.|last=Griffin|title=Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra|publisher=Academic Press|location=New York|year=1959}}</ref>。

: <math>d^j_{m'm}(\beta) =[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac{1}{2}} \sum_{s=s_{\mathrm{min}}}^{s_{\mathrm{max}}} \left[\frac{(-1)^{m'-m+s} \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!} \right]</math>

{{Mvar|s}}は、分母の[[階乗]]が非負になるような範囲、すなわち <math>s_{\mathrm{min}}=\mathrm{max}(0,m-m')</math> から <math>s_{\mathrm{max}}=\mathrm{min}(j+m,j-m')</math> までの総和をとる。

注：ここで定義される{{Mvar|d}}行列の行列要素は[[実数]]である。よく使われるz-x-z規約のオイラー角では、上式における係数<math>(-1)^{m'-m+s}</math>は<math>(-1)^s i^{m-m'}</math>と置き換わり、半数が[[純虚数]]となる。{{Mvar|d}}行列の要素の実数性は量子力学的応用上好ましく、ここでz-y-z規約を採用した理由の一つである。

{{Mvar|d}}行列の要素は{{Math|''a'', ''b''}}を非負として{{仮リンク|ヤコビ多項式|en|Jacobi polynomials|de|Jacobi-Polynom|fr|Polynôme de Jacobi|es|Polinomios de Jacobi}}<math>P^{(a,b)}_k(\cos\beta)</math>と関連づけることができる<ref>{{Cite book|first=L. C.|last=Biedenharn|first2=J. D.|last2=Louck|title=Angular Momentum in Quantum Physics|publisher=Addison-Wesley|location=Reading|year=1981|isbn=0-201-13507-8}}</ref>。

: <math> k = \min(j+m, j-m, j+m', j-m')</math>

とし、

: <math>k = \begin{cases}
        j+m:  & a=m'-m;\quad \lambda=m'-m\\
        j-m:  & a=m-m';\quad \lambda= 0 \\
        j+m': & a=m-m';\quad \lambda= 0 \\
        j-m': & a=m'-m;\quad \lambda=m'-m \\
\end{cases}</math>

<math>b=2j-2k-a</math>かつ<math> a,b \ge 0</math>とすると、次の式がなりたつ。

: <math>d^j_{m'm}(\beta) = (-1)^{\lambda} \binom{2j-k}{k+a}^{\frac{1}{2}} \binom{k+b}{b}^{-\frac{1}{2}} \left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^a \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^b P^{(a,b)}_k(\cos\beta)</math>


== ウィグナーの{{Mvar|D}}行列の性質 ==
{{Mvar|D}}行列の複素共役が満たすさまざまな性質を簡潔にあらわすため、次の演算子<math>(x, y, z) = (1, 2, 3)</math>を導入する。

: <math>\begin{align}
\hat{\mathcal{J}}_1 &= i \left( \cos \alpha \cot \beta \frac{\partial}{\partial \alpha} + \sin \alpha {\partial \over \partial \beta} - {\cos \alpha \over \sin \beta} {\partial \over \partial \gamma} \right) \\
\hat{\mathcal{J}}_2 &= i \left( \sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha} - \cos \alpha {\partial \over \partial \beta} - {\sin \alpha \over \sin \beta} {\partial \over \partial \gamma} \right) \\
\hat{\mathcal{J}}_3 &= - i {\partial \over \partial \alpha}
\end{align}</math>

これらは量子力学的には空間に固定した剛体回転子の角運動量演算子を意味する。

さらに、次のような演算子を定義する。

: <math>\begin{align}
\hat{\mathcal{P}}_1 &= i \left( {\cos \gamma \over \sin \beta}{\partial \over \partial \alpha } - \sin \gamma {\partial \over \partial \beta }- \cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma} \right)\\
\hat{\mathcal{P}}_2 &= i \left( - {\sin \gamma \over \sin \beta} {\partial \over \partial \alpha} - \cos \gamma
 {\partial \over \partial \beta} + \cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma} \right) \\
\hat{\mathcal{P}}_3 &= - i {\partial\over \partial \gamma}
\end{align}</math>

これは量子力学的には物体に固定した剛体回転子の角運動量演算子を意味する。

これらの演算子は次の交換関係および巡回的に添字を入れ換えた相当する交換関係を満たす。

: <math> \left[\mathcal{J}_1, \mathcal{J}_2\right] = i \mathcal{J}_3,\quad \left[\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2\right] = -i \mathcal{P}_3</math>

<math>\mathcal{P}_i</math> は ''anomalous commutation relations''{{訳語疑問点|date=2022年3月}}（右辺にマイナス符号がつく）を満たしている。

これら二つの組は相互に交換する。

: <math>\left[\mathcal{P}_i, \mathcal{J}_j\right] = 0,\quad i, j = 1, 2, 3,</math>

また、それぞれの二乗和は一致する。

: <math>\mathcal{J}^2 \equiv \mathcal{J}_1^2+ \mathcal{J}_2^2 + \mathcal{J}_3^2 = \mathcal{P}^2 \equiv \mathcal{P}_1^2+ \mathcal{P}_2^2 + \mathcal{P}_3^2</math>

これを陽に書き下すと以下のようになる。

: <math>\mathcal{J}^2= \mathcal{P}^2 =-\frac{1}{\sin^2\beta} \left( \frac{\partial^2}{\partial \alpha^2} +\frac{\partial^2}{\partial \gamma^2} -2\cos\beta\frac{\partial^2}{\partial\alpha\partial \gamma} \right)-\frac{\partial^2}{\partial \beta^2} -\cot\beta\frac{\partial}{\partial \beta}</math>

演算子 <math>\mathcal{J}_i</math> は{{Mvar|D}}行列の最初の添字（行）に作用する。

: <math>\begin{align}
\mathcal{J}_3 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* &=m' D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*  \\
(\mathcal{J}_1 \pm i \mathcal{J}_2) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* &= \sqrt{j(j+1)-m'(m'\pm 1)} D^j_{m'\pm 1, m}(\alpha,\beta,\gamma)^* 
\end{align}</math>

演算子<math>\mathcal{P}_i</math> は行列の2番目の添字（列）に作用する。

: <math>\mathcal{P}_3 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = m D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*</math>

また、<math>\mathcal{P}_i</math>の満たすanomalous commutation relationのため、[[昇降演算子]]は次のように通常とは符号を反転させたかたちで定義される。

: <math>(\mathcal{P}_1 \mp i \mathcal{P}_2) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} D^j_{m', m\pm1}(\alpha,\beta,\gamma)^*</math>

さらに、以下がなりたつ。

: <math>\mathcal{J}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* =\mathcal{P}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = j(j+1) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*</math>

したがって、ウィグナーの{{Mvar|D}}行列（の複素共役）の行と列は<math>\{\mathcal{J}_i\}</math>および<math>\{-\mathcal{P}_i\}</math>が生成する同型リー代数の既約表現を張る。

<math> \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) </math>と[[T対称性|時間反転]]演算子との交換関係から帰結する、ウィグナーの{{Mvar|D}}行列の重要な性質として、以下がなりたつ。

: <math>\langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle = \langle jm' | T^{ \dagger} \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) T| jm \rangle =(-1)^{m'-m} \langle j,-m' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| j,-m \rangle^*</math>

もしくは

: <math>D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) = (-1)^{m'-m} D^j_{-m',-m}(\alpha,\beta,\gamma)^*</math>

ここで、{{mvar|T}}が{{仮リンク|反ユニタリ演算子|en|Antiunitary operator}}であること（したがって{{Math|''T''{{sup|&dagger;}}}}をケットからブラに移す際に複素共役が出る）、<math> T | jm \rangle = (-1)^{j-m} | j,-m \rangle</math>、<math>(-1)^{2j-m'-m} = (-1)^{m'-m}</math>を用いた。

さらに、対称性から以下がいえる。

: <math>(-1)^{m'-m}D^{j}_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma)=D^{j}_{m'm}(\gamma,\beta,\alpha) </math>

== 直交関係 ==
ウィグナーの{{Mvar|D}}行列の要素<math>D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma)</math>は、オイラー角{{Math|''α'', ''β'',  ''γ''}}の直交関数群を成す。

: <math>\int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi d\beta \sin \beta \int_0^{2\pi} d\gamma \,\, D^{j'}_{m'k'}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma) = \frac{8\pi^2}{2j+1} \delta_{m'm}\delta_{k'k}\delta_{j'j}</math>

これは[[大直交性定理|シューアの直交関係]]の特殊例である。

{{仮リンク|ピーター・ワイルの定理|en|Peter–Weyl theorem}}により、これらは完全系を成すことが重要である。

<math>D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma)</math>がある球面基底<math> | lm \rangle</math>を別の球面基底<math> \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) | lm \rangle</math>に移すユニタリ変換であることをあらわす、次の関係式が成り立つ<ref>{{Cite book|last=Rose|first=Morris Edgar|url=https://www.worldcat.org/oclc/31374243|title=Elementary theory of angular momentum|date=1995|publisher=Dover|isbn=0-486-68480-6|edition=Dover|location=New York|oclc=31374243}}</ref>。

: <math>\sum_k   D^j_{m'k}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'},</math>
: <math>\sum_k   D^j_{k m'}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{km}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'}</math>

SU(2)の[[指標理論|指標]]は回転角{{Mvar|&beta;}}のみに依存する[[類関数]]であることから、回転軸に依存せず次式がなりたつ。

: <math>\chi^j (\beta)\equiv \sum_m D^j_{mm}(\beta)=\sum_m d^j_{mm}(\beta) = \frac{\sin\left (\frac{(2j+1)\beta}{2} \right )}{\sin \left (\frac{\beta}{2} \right )}</math>

このため、群の[[ハール測度]]を通じてより単純な以下の直交関係がなりたつ<ref name=":0">Schwinger, J. [https://www.osti.gov/biblio/4389568-angular-momentum "On Angular Momentum"], [[Harvard University]], Nuclear Development Associates, Inc., [[United States Department of Energy]] (through predecessor agency the [[United States Atomic Energy Commission|Atomic Energy Commission]]) (January 26, 1952)</ref>。

: <math>\frac{1}{\pi} \int _0^{2\pi} d\beta \sin^2 \left (\frac{\beta}{2} \right )  \chi^j (\beta)  \chi^{j'}(\beta)=  \delta_{j'j}</math>

また、以下の完全性関係式もなりたつ<ref name=":0" />。

: <math>\sum_j \chi^j (\beta) \chi^j (\beta')= \delta (\beta -\beta')</math>

したがって、{{Math|1=''&beta;''&prime; = 0}} のとき以下がなりたつ。

: <math>\sum_j \chi^j (\beta) (2j+1)= \delta (\beta )</math>

== ウィグナーの{{Mvar|D}}行列のクロネッカー積とクレブシュ–ゴルダン係数 ==
[[クロネッカー積]]行列の集合、

: <math>
 \mathbf{D}^j(\alpha,\beta,\gamma)\otimes \mathbf{D}^{j'}(\alpha,\beta,\gamma)
</math>

はSO(3)群およびSU(2)群の可約行列表現を与える。既約成分への簡約化は以下の式により行われる<ref>Rose, M. E. Elementary Theory of Angular Momentum. New York, JOHN WILEY & SONS, 1957.</ref>。

: <math>
  D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j'}_{m' k'}(\alpha,\beta,\gamma) =
  \sum_{J=|j-j'|}^{j+j'}  \langle j m j' m' | J \left(m + m'\right) \rangle
               \langle j k j' k' | J \left(k + k'\right) \rangle
  D^J_{\left(m + m'\right) \left(k + k'\right)}(\alpha,\beta,\gamma)
</math>

記号<math>\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle</math>は[[クレブシュ–ゴルダン係数]]である。

== 球面調和関数およびルジャンドル多項式との関係 ==
整数{{Mvar|l}}に対し、{{Mvar|D}}行列の2番目の添字を0とした要素は、[[コンドン–ショートレーの位相則]]を用い、正規化された[[球面調和関数]]および[[ルジャンドルの微分方程式|ルジャンドル陪多項式]]に比例する。

: <math>
D^{\ell}_{m 0}(\alpha,\beta,\gamma) = \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} Y_{\ell}^{m*} (\beta, \alpha ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\beta} ) \, e^{-i m \alpha }
</math>

したがって、{{Mvar|d}}行列について以下の関係式がなりたつ。

: <math>
d^{\ell}_{m 0}(\beta) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\beta} )
</math>

このため、球面調和関数の回転 <math> \langle \theta, \phi| \ell m'\rangle</math> は実質二つの回転の合成となる。

: <math>
 \sum^\ell_{m'=-\ell} Y_{\ell}^ {m'} (\theta, \phi )  ~ D^{\ell}_{m' ~m }(\alpha,\beta,\gamma)
</math>

両方の添字をゼロとしたとき、ウィグナーの{{Mvar|D}}行列の要素は[[ルジャンドル多項式]]となる。

: <math>
  D^{\ell}_{0,0}(\alpha,\beta,\gamma) = d^{\ell}_{0,0}(\beta) = P_{\ell}(\cos\beta)
</math>

本項で用いたオイラー角の規約では、{{Mvar|&alpha;}}はlongitudinal angle{{訳語疑問点|date=2022年3月}}、{{Mvar|&beta;}}はcolatitudinal angle{{訳語疑問点|date=2022年3月}}（球面極座標系における極角）である。これが分子物理学においてz-y-z規約がよく用いられる理由の一つである。ウィグナーの{{Mvar|D}}行列の時間反転特性からただちに次がいえる。

: <math>
\left( Y_{\ell}^m \right) ^* = (-1)^m Y_{\ell}^{-m}
</math>

{{仮リンク|スピン加重球面調和関数|en|Spin-weighted spherical harmonics}}との間には、より一般化された関係式がなりたつ。

: <math>
D^{\ell}_{m s}(\alpha,\beta,-\gamma) =(-1)^s \sqrt\frac{4\pi}{2{\ell}+1} {}_sY_{\ell}^m(\beta,\alpha) e^{is\gamma}
</math>

== ベッセル関数との関係 ==
<math>\ell \gg m, m^\prime</math>なる極限の下では、以下がなりたつ。

: <math>D^\ell_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma) \approx e^{-im\alpha-im'\gamma}J_{m-m'}(\ell\beta)</math>

ここで、<math>J_{m-m'}(\ell\beta)</math>は[[ベッセル関数]]であり、 <math>\ell\beta</math>は有限とする。

== {{Mvar|d}}行列の要素の一覧 ==
ウィグナーらによる符号規約を用いると、{{Math|1=''j'' = 1/2, 1, 3/2,  2}}における{{Mvar|d}}行列の要素<math>d^j_{m'm}(\theta) </math>は以下のように与えられる。

{{Math|1=''j'' = 1/2}}の場合、

: <math>\begin{align}
d_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} &= \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} &= -\sin \frac{\theta}{2}
\end{align}</math>

{{Math|1=''j'' = 1}}の場合、

: <math>\begin{align}
d_{1,1}^{1}  &= \frac{1}{2} (1+\cos \theta) \\[6pt]
d_{1,0}^{1}  &= -\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \\[6pt]
d_{1,-1}^{1} &= \frac{1}{2} (1-\cos \theta) \\[6pt]
d_{0,0}^{1}  &= \cos \theta
\end{align}</math>

{{Math|1=''j'' = 3/2}}の場合、

: <math>\begin{align}
d_{\frac{3}{2}, \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} &=  \frac{1}{2} (1+\cos \theta) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{3}{2}, \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{\sqrt{3}}{2} (1+\cos \theta) \sin \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{3}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &=  \frac{\sqrt{3}}{2} (1-\cos \theta) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{3}{2},-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{1}{2} (1-\cos \theta) \sin \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &=  \frac{1}{2} (3\cos \theta - 1) \cos \frac{\theta}{2} \\[6pt]
d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{1}{2} (3\cos \theta + 1) \sin \frac{\theta}{2}
\end{align}</math>

{{Math|1=''j'' = 2}}の場合、

: <math>\begin{align}
d_{2,2}^{2}  &= \frac{1}{4}\left(1 +\cos \theta\right)^2  \\[6pt]
d_{2,1}^{2}  &= -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 + \cos \theta\right)  \\[6pt]
d_{2,0}^{2}  &= \sqrt{\frac{3}{8}}\sin^2 \theta  \\[6pt]
d_{2,-1}^{2} &= -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 - \cos \theta\right)  \\[6pt]
d_{2,-2}^{2} &= \frac{1}{4}\left(1 -\cos \theta\right)^2  \\[6pt]
d_{1,1}^{2}  &= \frac{1}{2}\left(2\cos^2\theta + \cos \theta-1 \right) \\[6pt]
d_{1,0}^{2}  &= -\sqrt{\frac{3}{8}} \sin 2 \theta  \\[6pt]
d_{1,-1}^{2} &= \frac{1}{2}\left(- 2\cos^2\theta + \cos \theta +1 \right)  \\[6pt]
d_{0,0}^{2}  &= \frac{1}{2} \left(3 \cos^2 \theta - 1\right)
\end{align}</math>

ウィグナーの{{Mvar|d}}行列の下付き添字の交換については、以下の関係式がなりたつ。

: <math>d_{m', m}^j = (-1)^{m-m'}d_{m, m'}^j = d_{-m,-m'}^j</math>

== 対称性と特殊例 ==

: <math>\begin{align}
d_{m',m}^{j}(\pi)        &= (-1)^{j-m}  \delta_{m',-m} \\[6pt]
d_{m',m}^{j}(\pi-\beta)  &= (-1)^{j+m'}  d_{m',-m}^{j}(\beta)\\[6pt]
d_{m',m}^{j}(\pi+\beta)  &= (-1)^{j-m}  d_{m',-m}^{j}(\beta)\\[6pt]
d_{m',m}^{j}(2\pi+\beta) &= (-1)^{2j}    d_{m',m}^{j}(\beta)\\[6pt]
d_{m',m}^{j}(-\beta)     &= d_{m,m'}^{j}(\beta) = (-1)^{m'-m} d_{m',m}^{j}(\beta)
\end{align}</math>

== 関連項目 ==

* [[クレブシュ–ゴルダン係数]]
* {{仮リンク|テンソル演算子|en|Tensor operator}}
* {{仮リンク|量子力学における対称性|en|Symmetry in quantum mechanics}}

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* [http://pdg.lbl.gov/2008/reviews/clebrpp.pdf PDG Table of Clebsch-Gordan Coefficients, Spherical Harmonics, and d-Functions]

{{DEFAULTSORT:ういくなあのDきようれつ}}
[[Category:回転対称性]]
[[Category:行列]]
[[Category:リー群の表現論]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:ユージン・ウィグナー]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]