ウィグナー分布のソースを表示

{{No footnotes|date = 2015年11月}}[[ファイル:Winger_ville_vs_FIR_Bank_sonogram.jpg|thumb|ウィグナー・ビレ(上)と[[有限インパルス応答|FIR]][[フィルタバンク]](下)による時間・周波数分布解析。ウィグナー・ビレスペクトルは、緑色で示したBP2フィルタアレイよりY軸方向の周波数不確定性が低く、解像度は低いがより多くのアーティファクトを含み、かつ計算時間を要する。]]
'''ウィグナー分布''' ({{Lang-en-short|'''Wigner distribution function'''}}、 '''WDF''') は、信号処理の分野で{{仮リンク|時間周波数分析|en|Time-frequency analysis}}に用いられる変換である。

ウィグナー分布はもともと、[[1932年]]に[[ユージン・ウィグナー]]により古典統計力学への量子補正として提案され、{{仮リンク|位相空間上の量子力学|en|Phase space formulation}}において重要である（[[ウィグナー関数]]、またはウィグナー・ビレ分布も比較参照のこと）。

代数的に、位置-運動量の関係は時間-周波数の関係と同様に正準共役関係にあるので、この変換は信号処理の分野において時間-周波数解析に用いられる。{{仮リンク|ガボール変換|en|Gabor transform}}などの[[短時間フーリエ変換]]に比べて、ウィグナー分布はより明瞭な結果を与える場合がある。

== 数学的定義 ==
ウィグナー分布の定義にはいくつかの異なる流儀がある。[[ウィーナー＝ヒンチンの定理]]を参照されたい。以下に示す定義は時間周波数分析特有のものである。時系列信号  <math>x[t]</math> に対する[[自己相関]]関数は次のように定義される。
: <math> C_x(t_1, t_2) = \left\langle \left(x[t_1] - \mu[t_1]\right) \left(x[t_2] - \mu[t_2]\right)^* \right\rangle ,</math>
ここで <math>\langle \, \rangle</math> は全ての可能なプロセスにわたっての平均を意味し、 <math>\mu(t)</math> は時間に依存する、もしくは依存しない平均値を意味する。ウィグナー分布 '''<math>W_x(t,f)</math>''' はまずこの自己相関関数<math> C_x</math>を、平均時間 <math>t = (t_1+t_2)/2</math> と時間差 <math>\tau = t_1 - t_2</math> の関数に直し、時間差<math>\tau</math>についてフーリエ変換を施すことによって得られる。
: <math> W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty} C_x\left(t + \frac{\tau}{2}, t - \frac{\tau}{2}\right) \, e^{-2\pi i\tau f} \, d\tau .</math>
よって、 single (mean-zero) time series に対しては、ウィグナー分布は次のように単純に与えられる。
: <math> W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}x\left(t + \frac{\tau}{2}\right) \, x\left(t - \frac{\tau}{2}\right)^* \, e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .</math>
ウィグナー分布を用いる動機は、定常過程についてはそれが全ての時間 <math>t</math> に対して[[スペクトル密度]]関数に帰着し、非定常過程については自己相関関数と完全に一致することである。そのため、ウィグナー分布により、スペクトル密度が時間の経過につれてどのように変化するかを（おおよそ）知ることができる。

== 時間周波数解析の例 ==
ここでは、ウィグナー分布が時間周波数解析においてどのように用いられるかについての例を挙げる。

=== 定常入力信号 ===
入力信号が定数の場合、その時間周波数分布は時間軸に沿った水平線となる。たとえば、 ''x''(''t'')&nbsp;=&nbsp;1 の場合、以下のようになる。
: <math>W_x(t,f)=\int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi\tau\,f}\,d\tau=\delta(f).</math>

=== 正弦波信号 ===
入力信号が正弦波関数の場合、その時間周波数分布は時間軸から正弦波信号の周波数分だけ平行移動した、水平線となる。たとえば、{{Math|1=''x''(''t'') = e <sup>i2π''kt''</sup>}} の場合、以下のようになる。
: <math>\begin{align}
  W_x(t,f) &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{ i2\pi k    \left(t + \frac{\tau}{2}\right)}e^{-i2\pi k\left(t - \frac{\tau}{2}\right)}e^{-i2\pi\tau\,f}\,d\tau \\
           &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi \tau \left(f - k\right)}\,d\tau\\
           &= \delta(f - k).
\end{align}</math>

=== チャープ信号 ===
入力信号が[[チャープ信号]]の場合、その瞬間周波数は線形関数になる。つまり、時間周波数分布は直線となる。たとえば、
: <math>x(t) = e^{i2\pi kt^2}</math> <br>
の場合、瞬間周波数は次のようになり、
: <math>\frac{1}{2\pi}\frac{d(2\pi kt^2)}{dt} = 2kt~,</math>
そのウィグナー分布は
: <math>\begin{align}
  W_x(t,f) &= \int_{-\infty}^\infty e^{i2\pi k\left(t + \frac{\tau}{2}\right)^2}e^{-i2\pi k\left(t - \frac{\tau}{2}\right)^2}e^{-i2\pi\tau\,f} \, d\tau \\
           &= \int_{-\infty}^\infty e^{i4\pi kt\tau}e^{-i2\pi\tau f}\,d\tau \\
           &= \int_{-\infty}^\infty e^{-i2\pi\tau(f - 2kt)}\,d\tau\\
           &= \delta(f - 2kt) ~.
\end{align} </math>

=== デルタ関数 ===
入力信号がデルタ関数の場合、 t=0 でのみ非零で、無限の周波数成分を含むため、その時間周波数分布は原点を通り時間軸に垂直な線となる。つまり、デルタ関数の時間周波数分布もまたデルタ関数となる。ウィグナー分布は以下のようになる。
: <math>\begin{align}
  W_x(t,f) &= \int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(t + \frac{\tau}{2}\right)\delta\left(t - \frac{\tau}{2}\right) e^{-i2\pi\tau\,f}\,d\tau \\
           &= 4\int_{-\infty}^{\infty}\delta(2t + \tau)\delta2t - \tau)e^{-i2\pi\tau f}\,d\tau \\
           &= 4\delta(4t)e^{i4\pi tf} \\
           &= \delta(t)e^{i4\pi tf} \\
           &= \delta(t).
\end{align}
</math>
ウィグナー分布は、入力信号の位相が二次以下の場合に最も時間周波数解析に適する。このような信号については、ウィグナー分布は入力信号の時間周波数分布に完全に一致する。

=== 矩形関数 ===
: <math>x(t) = \begin{cases} 1 & |t|<1/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \qquad</math> <br>
上のような[[矩形関数]]の場合、ウィグナー関数は以下のようになる。
: <math>W_x(t,f) = \frac{1}{\pi f}\sin (f[1 - 2|t|])</math> <br>

== 交差項の性質 ==
ウィグナー分布は線形変換ではない。複数の周波数成分が入力信号に存在する場合、各成分の干渉による[[うなり]]に似た交差項（「時間うなり」）が生じる。もともとの[[ウィグナー関数]]では、この項は期待値を正確に与えるために必要であり、物理的に重要である。対照的に、短時間フーリエ変換ではこの交差項は生じない。ウィグナー分布における交差項の性質のうちいくつかを以下に示す。
* <math>x(t)=\begin{cases} \cos(2\pi t) & t\le-2 \\ \cos(4\pi t) & -2 < t \le 2 \\ \cos(3\pi t) & t>2 \end{cases}</math>

* <math>x(t)=e^{it^3}</math>
交差項問題を緩和するため、様々な変換が提案されている。{{仮リンク|修正ウィグナー分布関数|en|Modified_Wigner_distribution_function}}や{{仮リンク|ガボール・ウィグナー変換|en|Gabor–Wigner_transform}}、{{仮リンク|コーエンクラス分布|en|Cohen's_class_distribution_function}}などが挙げられる。

== ウィグナー分布関数の性質 ==
ウィグナー分布関数には、以下のような特徴的性質がある。
; Projection property
: <math>\begin{align}
  |x(t)|^2 &= \int_{-\infty}^\infty W_x(t,f)\,df \\
  |X(f)|^2 &= \int_{-\infty}^\infty W_x(t,f)\,dt
\end{align}</math>
; Energy property
: <math> \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty W_x(t,f)\,df\,dt = \int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2\,dt=\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2\,df </math>
; Recovery property
: <math>\begin{align}
   \int_{-\infty}^\infty W_x\left(\frac{t}{2}, f\right) e^{i2\pi ft}\,df &= x(t)x^*(0) \\
  \int_{-\infty}^\infty  W_x\left(t, \frac{f}{2}\right) e^{i2\pi ft}\,dt &= X(f)X^*(0)
\end{align}</math>
; Mean condition frequency and mean condition time
: <math> \begin{align}
                    X(f) &= |X(f)|e^{i2\pi\psi(f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi\phi(t)}, \\
     \text{if } \phi'(t) &= |x(t)|^{-2}\int_{-\infty}^\infty fW_x(t,f)\,df \\
  \text{ and } -\psi'(f) &= |X(f)|^{-2}\int_{-\infty}^\infty tW_x(t,f)\,dt
\end{align}</math>
; Moment properties 
: <math>\begin{align}
  \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty t^nW_x(t,f)\,dt\,df &= \int_{-\infty}^\infty t^n|x(t)|^2\,dt \\
  \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f^nW_x(t,f)\,dt\,df &= \int_{-\infty}^\infty f^n|X(f)|^2\,df
\end{align}</math>
; Real properties 
: <math>W^*_x(t, f) = W_x(t, f)</math>
; Region properties
: <math>\begin{align}
  \text{If } x(t) &= 0 \text{ for } t > t_0 \text{ then } W_x(t, f) = 0 \text{ for } t > t_0 \\ 
  \text{If } x(t) &= 0 \text{ for } t < t_0 \text{ then } W_x(t, f) = 0 \text{ for } t < t_0 
\end{align}</math>
; Multiplication theorem
:  <math>\begin{align}
        \text{If } y(t) &= x(t)h(t) \\
  \text{then } W_y(t,f) &= \int_{-\infty}^\infty W_x(t,\ rho)W_h(t, f-\rho)\,d\rho
\end{align}</math>
; Convolution theorem
: <math>\begin{align}
        \text{If }  y(t) &= \int_{-\infty}^\infty x(t - \tau)h(\tau)\,d\tau\\
  \text{then } W_y(t, f) &= \int_{-\infty}^\infty W_x(\rho, f)W_h(t - \rho, f)\,d\rho
\end{align}</math>
; Correlation theorem
: <math>\begin{align}
  \text{If } y(t) &= \int_{-\infty}^\infty x(t + \tau)h^*(\tau)\,d\tau\text{ then } \\
   W_y(t, \omega) &= \int_{-\infty}^\infty W_x(\rho,\omega)W_h(-t + \rho, \omega)\,d\rho
\end{align}</math>
; Time-shifting covariance 
:  <math>\begin{align}
        \text{If } y(t) &= x(t - t_0) \\
  \text{then } W_y(t,f) &= W_x(t - t_0, f)
\end{align}</math>
; Modulation covariance 
:  <math>\begin{align}
        \text{If }  y(t) &= e^{i2\pi f_0t}x(t) \\
  \text{then } W_y(t, f) &= W_x(t, f - f_0)
\end{align}</math>
; Scale covariance 
:  <math>\begin{align}
         \text{If } y(t) &= \sqrt{a} x(a t) \text{ for some } a > 0 \text{ then }\\
  \text{then } W_y(t, f) &= W_x(at, \frac{f}{a})
\end{align}</math>

== 仮リンク ==
* {{仮リンク|時間周波数分析|en|Time-frequency representation}}
* [[短時間フーリエ変換]]
* [[スペクトログラム]]
* {{仮リンク|ガボール変換|en|Gabor transform}}
* [[自己相関]]
* {{仮リンク|ガボール・ウィグナー変換|en|Gabor–Wigner transform}}
* {{仮リンク|修正ウィグナー分布関数|en|Modified Wigner distribution function}}
* {{仮リンク|多項式ウィグナー・ビレ分布|en|Polynomial Wigner–Ville distribution}}
* {{仮リンク|コーエンクラス分布|en|Cohen's class distribution function}}
* [[ウィグナー関数]]
* {{仮リンク|時間周波数解析における分布間の変換|en|Transformation between distributions in time-frequency analysis}}
* {{仮リンク|双線型時間周波数分布|en|Bilinear time–frequency distribution}}

== 出典 ==
* {{Cite journal|last1 = Wigner|first1 = E.|title = On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium|doi = 10.1103/PhysRev.40.749|journal = Physical Review|volume = 40|issue = 5|pages = 749|year = 1932|pmid = |pmc = |bibcode = 1932PhRv...40..749W}}
* {{Cite journal|author = {{仮リンク|ジャン・ビレ|label=J. Ville|fr|Jean Ville}}|year = 1948|title = Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique|journal = Câbles et Transmission|volume = 2|pages = 61–74}}
* {{Cite journal|year = 1980|title = The Wigner distribution-a tool for time-frequency signal analysis; Part I|journal = Philips J. Res|volume = 35|pages = 217–250|first = T. A. C. M.|last = Classen|first2 = W. F. G.|last2 = Mecklenbrauker}}
* {{Cite book|title = Time-Frequency Analysis|publisher = Prentice-Hall|location = New York|year = 1995|ISBN = 978-0135945322|first = L.|last = Cohen}} 
* {{Cite book|title = Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications|publisher = Prentice Hall|year = 1996|first = S.|last = Qian|first2 = D.|last2 = Chen}}
* {{Cite journal|year = 1988|title = Note on the Use of the Wigner Distribution for Time Frequency Signal Analysis|journal = IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing|volume = 36|issue = 9|pages = 1518–1521|month = Sept.|doi = 10.1109/29.90380|first = B.|last = Boashash}}
* {{Cite book|title = Time-Frequency Signal Analysis and Processing – A Comprehensive Reference|publisher = Elsevier Science|location = Oxford|year = 2003|ISBN = 0-08-044335-4|editor-first = B.|editor-last = Boashash}}
* {{Cite journal|year = 1992|title = Linear and quadratic time-frequency signal representation|journal = IEEE Signal Processing Magazine|month = Apr.|pages = 21–67|first = F.|last = Hlawatsch|first2 = G. F.|last2 = Boudreaux-Bartels}}
* {{Cite book|title = Signal Analysis: Time, Frequency, Scale, and Structure|publisher = Wiley- Interscience|year = 2004|first = R. L.|last = Allen|first2 = D. W.|last2 = Mills}}

{{DEFAULTSORT:ういくなあふんふ}}
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