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{{出典の明記|date=2021年2月}}
{{要改訳}}
代数幾何学における'''ウィッテン予想''' (Witten conjecture) は、{{仮リンク|曲線のモジュライ空間|en|moduli space of curves}}の安定類の[[交点数]]についての予想であり、{{harvs|txt|last=Witten|authorlink=Edward Witten|year=1991}} において導入され、{{harvtxt|Witten|1993}} において一般化された。[[エドワード・ウィッテン|ウィッテン]]の元々の予想は、{{harvtxt|Kontsevich|1992}} によって証明された。

ウィッテン予想は、2つの異なる2次元量子重力モデルが同じ[[分配函数 (場の量子論)|分配函数]]を持つはずであるということに動機がある。これらのモデルの一方の分配函数は、代数曲線のモジュライスタック上の交点数の項で記述することができ、もう一方のモデルの分配函数は{{仮リンク|KdV階層|en|KdV hierarchy}}(KdV hierarchy)の τ函数の対数である。これらの分配函数を同一視することから、交点数から作られた母函数が KdV階層の微分方程式を満すはずであるというウィッテン予想が得られる。
<!--In algebraic geometry, the '''Witten conjecture''' is a conjecture about intersection numbers of stable classes on the [[moduli space of curves]], introduced by {{harvs|txt|last=Witten|authorlink=Edward Witten|year=1991}}, and generalized in {{harvtxt|Witten|1993}}.
Witten's original conjecture was proved by {{harvtxt|Kontsevich|1992}}.

Witten's motivation for the conjecture was that two different models of 2-dimensional quantum gravity should have the same partition function. The partition function for one of these models can be described in terms of intersection numbers on the moduli stack of algebraic curves, and the partition function for the other is the logarithm of the τ-function of the [[KdV hierarchy]]. Identifying these partition functions gives Witten's conjecture that a certain generating function formed from intersection numbers should satisfy the differential equations of the KdV hierarchy.-->

==ステートメント==

<math>M_{g,n}</math> を ''n'' 個の異るマークした点 ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub> を持つ種数 ''g'' のコンパクトリーマン面のモジュライスタックとして、<math>\widetilde{M}_{g,n}</math> をそのドリーニュ&ndash;マンフォードコンパクト化とすると、<math>\widetilde{M}_{g,n}</math> 上に ''n'' 個のラインバンドル <math>L_i</math> が存在し、そのモジュライスタックの点でのファイバーは、マークした点 ''x''<sub>''i''</sub> でのリーマン面の余接空間であるようにすることができる。交叉指数(intersection index) <math>\langle\tau_{d_1},\dots,\tau_{d_n}\rangle</math> は、<math>\widetilde{M}_{g,n}</math> 上の <math>\prod c_1(L_i)^{d_i}</math> の交叉指数である。ここに <math>\sum d_i = \widetilde{M}_{g,n} = 3g - 3 + n</math> であり、もしそのような ''g'' が存在しない場合は、この総和は 0 とする。また ''c''<sub>1</sub> はラインバンドルの第一[[チャーン類]]とする。ウィッテンの母函数
:<math>F(t_0,t_1,\ldots)
= \sum\langle\tau_0^{k_0}\tau_1^{k_1}\cdots\rangle\prod_{i\ge 0} \frac{t_i^{k_i}}{k_i!}
=\frac{t_0^3}{6}+ \frac{t_1}{24} + \frac{t_0t_2}{24} + \frac{t_1^2}{24}+ \frac{t_0^2t_3}{48} + \dotsb
</math>
は、すべての交叉指数を係数の中にエンコードする。

ウィッテン予想は、分配函数 <math>Z = \exp{F}</math> が{{仮リンク|KdV階層|en|KdV hierarchy}}(KdV hierarchy)の τ函数であるという予想であり、言い替えると、この函数は、''i'' ≥ &minus;1 に対する[[ヴィラソロ代数]]の元 <math>L_i</math> と対応する一連の偏微分方程式系を満たす。
<!--==Statement==

Suppose that ''M''<sub>''g'',''n''</sub> is the moduli stack of compact Riemann surfaces of genus ''g'' with ''n'' distinct marked points ''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>,
and {{overline|''M''}}<sub>''g'',''n''</sub> is its Deligne–Mumford compactification. There are ''n'' line bundles ''L''<sub>''i''</sub> on
{{overline|''M''}}<sub>''g'',''n''</sub>, whose fiber at a point of the moduli stack is given by the cotangent space of a Riemann surface at the marked point ''x''<sub>''i''</sub>. The intersection index 〈τ<sub>''d''<sub>1</sub></sub>, ..., τ<sub>''d''<sub>''n''</sub></sub>〉 is the intersection index of Π ''c''<sub>1</sub>(''L''<sub>''i''</sub>)<sup>''d''<sub>''i''</sub></sup> on {{overline|''M''}}<sub>''g'',''n''</sub> where Σ''d''<sub>''i''</sub> = dim{{overline|''M''}}<sub>''g'',''n''</sub> = 3''g'' – 3 + ''n'', and 0 if no such ''g'' exists, where ''c''<sub>1</sub> is the first [[Chern class]] of a line bundle. Witten's generating function
:<math>F(t_0,t_1,\ldots)
= \sum\langle\tau_0^{k_0}\tau_1^{k_1}\cdots\rangle\prod_{i\ge 0} \frac{t_i^{k_i}}{k_i!}
=\frac{t_0^3}{6}+ \frac{t_1}{24} + \frac{t_0t_2}{24} + \frac{t_1^2}{24}+ \frac{t_0^2t_3}{48} + \cdots
</math>
encodes all the intersection indices as its coefficients.

Witten's conjecture states that the partition function ''Z'' = exp ''F'' is a τ-function for the [[KdV hierarchy]], in other words it satisfies a certain series of partial differential equations corresponding to elements ''L''<sub>''i''</sub> for ''i''≥–1 of the [[Virasoro algebra]].-->

==証明の概略==

[[マキシム・コンツェビッチ|コンツェヴィッチ]]は、リボングラフのことばでのモジュライ空間の組合せ的な記述を用いて、

:<math>\sum_{d_1+\cdots+d_n=3g-3+n}\langle \tau_{d_1},\ldots,\tau_{d_n}\rangle \prod_{1\le i\le n} \frac{(2d_i-1)!!}{\lambda_i^{2d_i+1}}
=\sum_{\Gamma\in G_{g,n}}\frac{2^{-|X_0|}}{|\operatorname{Aut} \Gamma|}\prod_{e\in X_1}\frac{2}{\lambda(e)}
</math>

となることを示した。

ここに右辺は、''n'' 個のマークした点を持つ種数 ''g'' のコンパクトリーマン面のリボングラフ ''X'' の集合 ''G''<sub>''g'',''n''</sub> を渡る和である。辺(edge)の集合 ''e'' と ''X'' の点の集合は、''X''<sub> 0</sub> と ''X''<sub>1</sub> で表される。函数 λ はマークした点から実数への函数と考えられ、辺の両側に対応する 2つのマークした点での λ の値の和に等しいとすることにより辺からの函数 λ へ拡張する。

[[ファインマン・ダイアグラム]]のテクニックにより、これは、''F''(''t''<sub>0</sub>,...) は、Λ が無限になるに伴い、
:<math> \log\int \exp(i \text{tr} X^3/6)d\mu</math>
の[[漸近展開]]となることを意味する。ここに Λ と Χ は[[正定値]]な ''N''×''N'' の[[エルミート行列]]であり、''t''<sub>''i''</sub> は、
:<math> t_i = \frac{- \operatorname{tr} \Lambda^{-1-2i}}{1\times3\times5\times\dotsm\times (2i-1)}</math>
により与えられ、正定値なエルミート行列上の[[確率測度]] μ は、
:<math> d\mu =c_\Lambda\exp(-\operatorname{tr} X^2\Lambda/2)dX</math>
で与えられる。ここの ''c''<sub>Λ</sub> は正規化定数である。この測度は、
:<math>\int X_{ij}X_{kl}d\mu = \delta_{il}\delta_{jk}\frac{2}{\Lambda_i+\Lambda_j}</math>
という性質を持っていて、このことはファインマン・ダイアグラムのことばでの展開がリボングラフのことばでの ''F'' の展開を意味する。

このことから、コンツェヴィッチは <math>\exp{F}</math> が KdV階層の τ-函数であることを導き、従って、ウィッテン予想が証明される。
<!--==Proof==

Kontsevich used a combinatorial description of the moduli spaces in terms of ribbon graphs to show that
<math>\sum_{d_1+\cdots+d_n=3g-3+n}\langle \tau_{d_1},\ldots,\tau_{d_n}\rangle \prod_{1\le i\le n} \frac{(2d_i-1)!!}{\lambda_i^{2d_i+1}}
=\sum_{\Gamma\in G_{g,n}}\frac{2^{-|X_0|}}{|\text{Aut} \Gamma|}\prod_{e\in X_1}\frac{2}{\lambda(e)}
</math>

Here the sum on the right is over the set ''G''<sub>''g'',''n''</sub> of ribbon graphs ''X'' of compact Riemann surfaces of genus ''g'' with ''n'' marked points. The set of edges ''e'' and points of ''X'' are denoted by ''X''<sub> 0</sub> and ''X''<sub>1</sub>. The function λ is thought of as a function from the marked points to the reals, and extended to edges of the ribbon graph by setting λ of an edge equal to the sum of λ at the two marked points corresponding to each side of the edge.

By Feynman diagram techniques, this implies that
''F''(''t''<sub>0</sub>,...) is an asymptotic expansion of
:<math> \log\int \exp(i \text{tr} X^3/6)d\mu</math>
as Λ lends to infinity, where Λ and Χ are positive definite ''N'' by ''N'' hermitian matrices, and ''t''<sub>''i''</sub> is given by
:<math> t_i = \frac{- \text{tr} \Lambda^{-1-2i}}{1\times3\times5\times\cdots\times (2i-1)}</math>
and the probability measure μ on the positive definite hermitian matrices is given by
:<math> d\mu =c_\Lambda\exp(-\text{tr} X^2\Lambda/2)dX</math>
where ''c''<sub>Λ</sub> is a normalizing constant. This measure has the property that
:<math>\int X_{ij}X_{kl}d\mu = \delta_{il}\delta_{jk}\frac{2}{\Lambda_i+\Lambda_j}</math>
which implies that its expansion in terms of Feynman diagrams is the expression for ''F'' in terms of ribbon graphs.

From this he deduced that exp F is a τ-function for the KdV hierarchy, thus proving Witten's conjecture.-->

==参照項目==

{{仮リンク|ヴィラソロ予想|en|Virasoro conjecture}}(Virasoro conjecture)はウィッテン予想の一般化である。

==参考文献==

*{{Citation | last1=Cornalba | first1=Maurizio | last2=Arbarello | first2=Enrico | last3=Griffiths | first3=Phillip A. | title=Geometry of algebraic curves. Volume II | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | isbn=978-3-540-42688-2 | doi=10.1007/978-3-540-69392-5 |mr=2807457 | year=2011 | volume=268}}
*{{Citation | last1=Kazarian | first1=M. E. | last2=Lando | first2=Sergei K. | title=An algebro-geometric proof of Witten's conjecture | url=https://doi.org/10.1090/S0894-0347-07-00566-8 | doi=10.1090/S0894-0347-07-00566-8 |mr=2328716 | year=2007 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | issn=0894-0347 | volume=20 | issue=4 | pages=1079–1089}}
*{{Citation | last1=Kontsevich | first1=Maxim | title=Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function | url=http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.cmp/1104250524 |mr=1171758 | year=1992 | journal=Communications in Mathematical Physics | issn=0010-3616 | volume=147 | issue=1 | pages=1–23|doi=10.1007/BF02099526}}
*{{Citation | last1=Lando | first1=Sergei K. | last2=Zvonkin | first2=Alexander K. | title=Graphs on surfaces and their applications | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences | isbn=978-3-540-00203-1 |mr=2036721 | year=2004 | volume=141 |url=http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9783540002031-c1.pdf?SGWID=0-0-45-100940-p13863104}}
*{{Citation | last1=Witten | first1=Edward | author1-link=Edward Witten | title=Surveys in differential geometry (Cambridge, MA, 1990) | publisher=Lehigh Univ. | location=Bethlehem, PA | isbn=978-0-8218-0168-0 |mr=1144529 | year=1991 | volume=1 | chapter=Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space | pages=243–310}}
*{{Citation | last1=Witten | first1=Edward | author1-link=Edward Witten | editor1-last=Goldberg | editor1-first=Lisa R. | editor2-last=Phillips | editor2-first=Anthony V. | title=Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY, 1991) | publisher=Publish or Perish | location=Houston, TX | series=Proceedings of the symposium in honor of John Milnor's sixtieth birthday held at the State University of New York, Stony Brook, New York, June 14–21, 1991. | isbn=978-0-914098-26-3 |mr=1215968 | year=1993 | chapter=Algebraic geometry associated with matrix models of two-dimensional gravity | pages=235–269}}

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