ウィッテン指数のソースを表示

{{正確性|date=2015年10月}}
[[場の量子論]]や[[統計力学]]において、[[逆温度]] ''β'' での'''ウィッテン指数''' ({{lang-en-short|Witten index}}) は、標準的な[[分配函数 (場の量子論)|分配函数]]の変形
:<math>\operatorname{Tr}[(-1)^F e^{-\beta H}]</math>
として定義される。{{仮リンク|(-1)^F|en|(-1)^F|label=(&minus;1)<sup>F</sup>}} に注意、ただし ''F'' は[[フェルミオン]]の[[数演算子]]。これが通常の[[分配函数 (数学)|分配函数]]との違いである。

[[超対称性]]の理論では、各々の非零エネルギー[[固有値]]は、同じ個数のボゾンの数とフェルミオンの数を含んでいる。これにより、ウィッテン指数は温度と独立であり、零エネルギーのボゾンの[[真空状態]]の数からフェルミオンの真空状態の数を引いた値を与える。特に、[[超対称性の破れ|超対称性が破れる]]と、零エネルギーの基底状態が存在せず、ウィッテン指数は 0 に等しくなる。

超対称性を持つ場の理論のウィッテン指数は、オイラー特性数で与えられる<ref>* {{cite book |last=Hori |first=Kentaro |authorlink= Kentaro Hori|author2=Sheldon Katz |author3=Albrecht Klemm |author4=Rahul Pandharipande |author5=Richard Thomas |author6=Cumrun Vafa |author7=Ravi Vakil |author8=Eric Zaslow  |year=2003 |title=[[Mirror symmetry (string theory)|Mirror Symmetry]] |isbn= 978-0-8218-2955-4| series=CIMM 1}} p191 (10.124)</ref>。
:<math>\textrm{Tr}[(-1)^F e^{-\beta H}]=\sum_{p\in\mathbb{Z}}(-1)^pb_p=\chi(M) \ . </math>
これは、準位相的な量の例であり、[[ラグランジアン (場の理論)|ラグランジアン]]の{{仮リンク|D-項|en|D-term}}には依存せず、{{仮リンク|F-項|en|F-term}}(F-term)のみに依存する。2つのパラメータの変形の族を持つフェルミオン数演算子の右移動部分(righta-moving)のみを使いウィッテン指数を構成すると、2-次元のさらに精密化された不変量は[[種数 (乗法的数列)|楕円種数]]である。
<!--In [[quantum field theory]] and [[statistical mechanics]], the '''Witten index''' at the [[inverse temperature]] β is defined as a modification of the standard [[partition function (quantum field theory)|partition function]]:

:<math>Tr[(-1)^F e^{-\beta H}]</math>

Note the [[(-1)^F|(-1)<sup>F</sup>]] operator, where F is the [[fermion]] [[number operator]]. This is what makes it different from the ordinary [[partition function (mathematics)|partition function]].

In a [[supersymmetry|supersymmetric]] theory, each nonzero energy [[eigenvalue]] contains an equal number of bosonic and fermionic states. Because of this, the Witten index is independent of the temperature and gives the number of zero energy bosonic [[vacuum state]]s minus the number of zero energy fermionic vacuum states.  In particular, if [[supersymmetry breaking|supersymmetry is spontaneously broken]] then there are no zero energy ground states and so the Witten index is equal to zero.

The Witten index of a supersymmetric field theory is given by the Euler characteristic.<ref>* {{cite book |last=Hori |first=Kentaro |authorlink= Kentaro Hori|author2=Sheldon Katz |author3=Albrecht Klemm |author4=Rahul Pandharipande |author5=Richard Thomas |author6=Cumrun Vafa |author7=Ravi Vakil |author8=Eric Zaslow  |year=2003 |title=[[Mirror symmetry (string theory)|Mirror Symmetry]] |isbn= 978-0-8218-2955-4| series=CIMM 1}} p191 (10.124)</ref>
:<math>\textrm{Tr}[(-1)^F e^{-\beta H}]=\sum_{p\in\mathbb{Z}}(-1)^pb_p=\chi(M) \ . </math>
It is an example of a quasi-topological quantity, which is a quantity that depends only on [[F-term]]s and not on [[D-term]]s in the [[Lagrangian (field theory)|Lagrangian]].  A more refined invariant in 2-dimensional theories, constructing using only the right-moving part of the fermion number operator together with a 2-parameter family of variations, is the [[Genus of a multiplicative sequence|elliptic genus]].-->

==参考文献==
{{reflist}}
* Edward Witten ''Constraints on Supersymmetry Breaking'',  Nucl. Phys. '''B202''' (1982) 253-316

{{DEFAULTSORT:ういつてんしすう}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:超対称性]]
[[Category:物理学のエポニム]]