ウィルソンの信頼区間のソースを表示

'''ウィルソンの信頼区間'''（ウィルソンの得点区間）は二項分布の成功確率の信頼区間を与える。正規分布に近似して得られる信頼区間に比べて、少ないサンプルでも良い性質をもつとされる。[[エドウィン・ビドウェル・ウィルソン]] (1927)によって最初に提唱された<ref name=Wilson1927>
{{Cite journal
 | last1 = Wilson
 | first1 = E. B.
 | title = Probable inference, the law of succession, and statistical inference
 | journal = Journal of the American Statistical Association
 | volume = 22
 | pages = 209–212
 | year = 1927
 |jstor = 2276774
}}</ref>。

== ウィルソンの信頼区間 ==

ウィルソンの信頼区間の上限と下限は、試行数を<math>n</math>、標本成功確率を<math>\hat p</math>、[[Z検定|Z値]]を<math>z</math>として、以下のように与えられる。
:<math>
  w^\pm = 
  \frac{1}{1 + \frac{1}{n} z^2}
  \left[
    \hat p + \frac{1}{2n} z^2 \pm
    z \sqrt{
      \frac{1}{n}\hat p \left(1 - \hat p\right) +
      \frac{1}{4n^2}z^2
    } 
   \right]
</math>

これは<math>n</math>が小さい場合や<math>\hat p</math>が0や1に近い場合でも良い性質を持つ。

ウィルソン区間は2群(自由度1)のピアソンのカイ二乗検定から求めることができる。
:<math>
  \mbox{Pr}\left(\frac{(n\hat p - n\theta)^2}{n\theta} + {\frac{\left(n(1-\hat p) - n(1-\theta)\right)^2}{n(1 - \theta)} } \le
  F_{\chi^2_1}(1-\alpha) \right)
= \mbox{Pr}\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \le
  \frac{\hat p - \theta}{\sqrt{\frac{1}{n} \theta \left({1 - \theta} \right)}} \le
  z_{1-\frac{\alpha}{2}} \right) 
  = 1-\alpha
</math>

上の括弧内の式を<math>\theta</math>について解くことによって信頼区間が求まる。不等式の中央の項は{{仮リンク|スコア検定量|en|Score test}}と等しいため、この信頼区間はウィルソンの得点区間とも呼ばれる。

== ウィルソンの連続性修正を伴う得点区間 ==
ウィルソン区間は[[連続性補正]]を用いて調整されることがある。下式の連続性補正を伴うウィルソンの信頼区間はニューカム(1998)により提案された<ref name=New/>。

:<math>
  w^- = \operatorname{max}\left\{0, \frac { 2n\hat p + z^2 - [z \sqrt{z^2 - \frac{1}{n} + 4n\hat p(1 -\hat p)+(4\hat p - 2)}+1] }
               { 2(n+z^2) }\right\}
</math>
:<math>
  w^+ = \operatorname{min}\left\{1, \frac { 2n\hat p + z^2 + [z \sqrt{z^2 - \frac{1}{n} + 4n\hat p(1 -\hat p)-(4\hat p - 2)}+1] }
               { 2(n+z^2) }\right\}
</math>

ウィルソン区間がピアソンの[[カイ二乗検定]]によく似ているように、[[連続性補正]]を伴うウィルソン区間は[[イェイツのカイ二乗検定|イェイツの連続性補正]]と同等のものである。

== 他の信頼区間との比較 ==
ウィルソンの信頼区間と、他の二項分布の信頼区間を比較した報告はいくつか存在する<ref name=Wallis2013>{{Cite journal
 | last1 = Wallis
 | first1 = Sean A.
 | title = Binomial confidence intervals and contingency tests: mathematical fundamentals and the evaluation of alternative methods
 | journal = Journal of Quantitative Linguistics
 | volume = 20
 | issue = 3
 | pages = 178–208
 | year = 2013
 | doi = 10.1080/09296174.2013.799918
 | url = http://www.ucl.ac.uk/english-usage/staff/sean/resources/binomialpoisson.pdf
}}</ref><ref name=New>Newcombe, R. G. (1998). "Two-sided confidence intervals for the single proportion: comparison of seven methods". Statistics in Medicine 17 (8): 857–872.</ref><ref name=Rei>Reiczigel J. (2003) [http://www.zoologia.hu/qp/Reiczigel_conf_int.pdf Confidence intervals for the binomial parameter: some new considerations]. ''Statistics in Medicine,'' 22, 611&ndash;621.</ref><ref name=SL>Sauro J., Lewis J.R. (2005) [http://www.measuringusability.com/papers/sauro-lewisHFES.pdf "Comparison of Wald, Adj-Wald, Exact and Wilson intervals Calculator"]. ''Proceedings of the Human Factors and Ergonomics Society, 49th Annual Meeting (HFES 2005)'', Orlando, FL,  p2100-2104</ref>。
例えば、アグレスティとコウル (1998)<ref name=AgrestiCoull1998>
{{Cite journal
 | last1 = Agresti
 | first1 = Alan
 | last2 = Coull
 | first2 = Brent A.
 | title = Approximate is better than 'exact' for interval estimation of binomial proportions
 | journal = The American Statistician
 | volume = 52
 | pages = 119–126
 | year = 1998
 | jstor = 2685469
 | doi=10.2307/2685469
}}</ref>およびロス(2003)<ref name=Ross>{{Cite journal
 | last1 = Ross   | first1 = T. D.
 | title = Accurate confidence intervals for binomial proportion and Poisson rate estimation
 | journal = Computers in Biology and Medicine
 | volume = 33
 | pages = 509–531
 | year = 2003
 | doi = 10.1016/S0010-4825(03)00019-2 }}
</ref>の両者はクロッパー-ピアソン区間のようないわゆる''正確法''でさえも正しい信頼区間を与えないことがあると指摘している。

これらの多くの区間は[[R言語]]を使用したパッケージ[http://cran.r-project.org/web/packages/binom/index.html binom]、[[Python]]言語やJupyter Notebookを使用したパッケージ[https://github.com/KazKobara/ebcic ebcic] (Exact Binomial Confidence Interval Calculator)で計算することができる。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[区間推定]]
*{{仮リンク|正規近似区間|en|Binominal proportion confidence interval#Normal approximation interval}}
*{{仮リンク|ジェフリーの区間|en|Binominal proportion confidence interval#Jeffreys interval}}
*{{仮リンク|クロッパー-ピアソンの区間|en|Binominal proportion confidence interval#Clopper-Pearson interval}}
*{{仮リンク|アグレスティ-コウルの区間|en|Binominal proportion confidence interval#Agresti-Coul interval}}
*{{仮リンク|逆正弦変換|en|Binominal proportion confidence interval#Arc sine transformation}}
*{{仮リンク|二項比率の信頼区間|en|Binominal proportion confidence interval}}
*{{仮リンク|範囲確率|en|Coverage probability|}}
*{{仮リンク|得点検定|en|Score test|}}
*[[カイ二乗検定]]
*[[イェイツのカイ二乗検定]]
*[[連続性補正]]

{{Statistics-stub}}

{{DEFAULTSORT:ういるそんのれんぞくせいほせいをともなうとくてんかんかく}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:統計検定]]
[[Category:統計学的近似]]