ウィルソンループのソースを表示

{{要改訳}}
{{Refimprove|date=February 2011}}
[[ゲージ理論]]では、'''ウィルソンループ'''(Wilson loop)（[[ケネス・ウィルソン]](Kenneth G. Wilson)に因む）は、[[ゲージ不変]]な[[観測量]]を与えられたループの[[ゲージ理論|ゲージ接続]]の{{仮リンク|ホロノミー|en|holonomy}}(holonomy)から得る。古典論では、ウィルソンループの集まりは、[[ゲージ理論|ゲージ変換]]を同一視したゲージ接続を再構成する十分な情報を構成する<ref name="Giles 1981">{{cite journal| authorlink=Roscoe Giles |first= R.| last= Giles | journal=[[Physical Review D]] | title=Reconstruction of Gauge Potentials from Wilson loops | volume= 24| issue=8| page= 2160| year=1981| doi=10.1103/PhysRevD.24.2160|bibcode = 1981PhRvD..24.2160G }}</ref>。
<!--{{Refimprove|date=February 2011}}
{{Redirect|Wilson line|the Wilson Line shipping company|Thomas Wilson Sons & Co.}}
In [[gauge theory]], a '''Wilson loop''' (named after [[Kenneth G. Wilson]]) is a [[gauge-invariant]] [[observable]] obtained from the [[holonomy]] of the [[gauge connection]] around a given loop. In the classical theory, the collection of all Wilson loops contains sufficient information to reconstruct the gauge connection, up to [[gauge transformation]].<ref name="Giles 1981">{{cite journal| authorlink=Roscoe Giles |first= R.| last= Giles | journal=[[Physical Review D]] | title=Reconstruction of Gauge Potentials from Wilson loops | volume= 24| issue=8| page= 2160| year=1981| doi=10.1103/PhysRevD.24.2160|bibcode = 1981PhRvD..24.2160G }}</ref>-->

[[場の量子論]]では、ウィルソンループ観測量の定義は、[[フォック空間]]上の「{{仮リンク|善意の|en|bona fide}}(bona fide)」[[作用素 (関数解析学)|作用素]]である。（実際、{{仮リンク|ハーグの定理|en|Haag's theorem}}(Haag's theorem)は、フォック空間は相互作用のある QFT に対しては存在しないという定理がある。）この定義は、数学的にはデリケートな問題であり、通常は'''フレーミング'''を持つ各々のループを備えた[[繰り込み]]が要求される。ウィルソン作用素の作用は、量子場の基本励起を作り出すことを解釈され、量子場はループへ局所化される。このようにして、[[マイケル・ファラデェー]](Michael Faraday)の「フラックスチューブ」は量子電磁気場の基本励起となる。

ウィルソンループは、1970年代に[[量子色力学]] (QCD) の非摂動的定式化の試み、少なくとも QCD の強い相互作用の領域を扱う一連の変数記法として導入された<ref name="Wilson 1974">{{cite journal| authorlink=Kenneth G. Wilson| first=K.| last= Wilson| journal=[[Physical Review D]] | title=Confinement of quarks | volume= 10| issue=8| page= 2445| year= 1974| doi=10.1103/PhysRevD.10.2445|bibcode = 1974PhRvD..10.2445W }}</ref>。ウィルソンループは、[[クォークの閉じ込め]]の問題を解くことを意図し考案されたが、今日、未解決のままである。

強い相互作用を持つ量子場理論は、基本的な非摂動的励起をもっているという事実は、{{仮リンク|アレクサンダー・ポリヤコフ|en|Alexander Markovich Polyakov}}(Alexander Polyakov)により、最初の[[弦理論]]を定式化するために提唱された。これは時空での基本量子のループの伝播を記述している。

ウィルソンループは[[ループ量子重力理論]]の定式化で重要な役割を果たすが、そこでは、[[スピンネットワーク]]に取って変わられ（後日、{{仮リンク|スピンフォアム|en|spinfoam}}(spinfoam)となった）、ウィルソンループの一種の一般化となっている。

[[素粒子物理学]]と[[弦理論]]において、ウィルソンループ、特にコンパクト多様体の非可縮なループの周りのウィルソンループは、'''ウィルソンライン'''(Wilson lines)とよく言われる。
<!--In [[quantum field theory]], the definition of Wilson loop observables as ''[[bona fide]]'' [[operator (mathematics)|operator]]s on [[Fock space]] (actually, [[Haag's theorem]] states that Fock space does not exist for interacting QFTs) is a mathematically delicate problem and requires [[regularization (physics)|regularization]], usually by equipping each loop with a ''framing''. The action of Wilson loop operators has the interpretation of creating an elementary excitation of the quantum field which is localized on the loop. In this way, [[Michael Faraday|Faraday]]'s "flux tubes" become elementary excitations of the quantum electromagnetic field.

Wilson loops were introduced in the 1970s in an attempt at a nonperturbative formulation of [[quantum chromodynamics]] (QCD), or at least as a convenient collection of variables for dealing with the strongly interacting regime of QCD.<ref name="Wilson 1974">{{cite journal| authorlink=Kenneth G. Wilson| first=K.| last= Wilson| journal=[[Physical Review D]] | title=Confinement of quarks | volume= 10| issue=8| page= 2445| year= 1974| doi=10.1103/PhysRevD.10.2445|bibcode = 1974PhRvD..10.2445W }}</ref> The problem of [[colour confinement|confinement]], which Wilson loops were designed to solve, remains unsolved to this day.

The fact that strongly coupled quantum gauge field theories have elementary nonperturbative excitations which are loops motivated [[Alexander Markovich Polyakov|Alexander Polyakov]] to formulate the first [[string theory|string theories]], which described the propagation of an elementary quantum loop in spacetime.

Wilson loops played an important role in the formulation of [[loop quantum gravity]], but there they are superseded by [[spin network]]s (and, later, [[spinfoam]]s), a certain generalization of Wilson loops.

In [[particle physics]] and [[string theory]], Wilson loops are often called '''Wilson lines''', especially Wilson loops around non-contractible loops of a compact manifold.-->

== 方程式 ==

'''ウィルソンライン'''(Wilson line)変数 <math>W_C</math>（あるいは、'''ウィルソンループ'''(Wilson loop)変数のほうがよいが、）、常に閉曲線として扱うので、C に沿って動く[[ゲージ理論|ゲージ場]] <math>A_\mu</math> の{{仮リンク|経路順序べき|en|path-ordered exponential}}(path-ordered exponential)のトレースにより定義された次の量である。

:<math>W_C := \mathrm{Tr}\,(\, \mathcal{P}\exp i \oint_C A_\mu dx^\mu \,)\,.</math>

ここに、<math>C</math> は空間内の閉曲線であり、<math>\mathcal{P}</math> は{{仮リンク|経路順序|en|path-ordering}}(path-ordering)作用素である。ゲージ変換

:<math>\mathcal{P}e^{i \oint_C A_\mu dx^\mu} \to g(x) \mathcal{P}e^{i \oint_C A_\mu dx^\mu} g^{-1}(x)\,</math>,

であり、ここに <math>x\,</math> は、ループの単に起点と終点に対応する（ラインの起点と終点のみが寄与することに対し、間にあるゲージ変換は互いにキャンセルする）。たとえば、SU(2) ゲージに対し、<math>g^{\pm 1}(x)\equiv\exp\{\pm i\alpha^j(x)\frac{\sigma^j}{2}\}</math> となる。<math>\alpha^j(x)</math> は <math>x\,</math> の任意の実函数であり、<math>\sigma^j</math> は 3つのパウリ行列(Pauli matrices)で、和は通常の繰り返しのインデックスを渡る和を意味する。
<!--== An equation ==

The '''Wilson line''' variable <math>W_C</math> (or better '''Wilson loop''' variable, since one is always dealing with closed lines)  is a quantity defined by the trace of a [[path-ordered exponential]] of a [[gauge field]] <math>A_\mu</math> transported along a closed line C:

:<math>W_C := \mathrm{Tr}\,(\, \mathcal{P}\exp i \oint_C A_\mu dx^\mu \,)\,.</math>

Here, <math>C</math> is a closed curve in space, <math>\mathcal{P}</math> is the [[path-ordering]] operator. Under a gauge transformation

:<math>\mathcal{P}e^{i \oint_C A_\mu dx^\mu} \to g(x) \mathcal{P}e^{i \oint_C A_\mu dx^\mu} g^{-1}(x)\,</math>,

where <math>x\,</math> corresponds to the initial (and end) point of the loop (only initial and end point of a line contribute, whereas gauge transformations in between cancel each other). For SU(2) gauges, for example, one has <math>g^{\pm 1}(x)\equiv\exp\{\pm i\alpha^j(x)\frac{\sigma^j}{2}\}</math>; <math>\alpha^j(x)</math> is an arbitrary real function of <math>x\,</math>, and <math>\sigma^j</math> are the three Pauli matrices; as usual, a sum over repeated indices is implied.-->

{{仮リンク|巡回置換|en|cyclic permutation}}(cyclic permutation)の下の[[トレース (線型代数学)|トレース]]の不変性は、<math>W_C</math> が[[ゲージ理論|ゲージ変換]]の下で不変であることを保証する。トレースを取る量は、ゲージ[[リー群]]の元で、ロレースは実際、無限に多い[[既約表現]]の指標に関して、この元の[[指標 (数学)|指標]]であることに注意する。このことは、作用素 <math> A_\mu\,dx^\mu</math> が「トレースクラス」（従って、純粋離散スペクトル）へ限定するべきではないが、一般には通常通りエルミート的（数学的には自己随伴)である。詳しいは、最終的に観測している量はこのトレースであるので、どのループ上のどの点を起点とするかは問題ではない。それらの点はすべて同一の値を与える。

実際、A を[[主バンドル|主 G-バンドル]]上の[[接続形式]]とみなすと、上の方程式は実際、リー群 G の元を与えるループを回る単位元の[[平行移動]]と理解すべきである。

経路順序べきは、物理で共通に使われる便利な記法であるが、数学的な作用素の公正な値を秘匿している。数学者は接続の順序べきを「接続のホロノミー」として選び、ウィルソンループが満たすべき平行移動の微分方程式として特徴付けるであろう。

T=0 では、[[クォークの閉じ込め]]、あるいはゲージ不変な量子場理論の閉じ込めを解くこと、すなわち、変数が値の増加する「領域」か、ループの「周り」で逆になるかに従って、ウィルソンループ変数が特徴付けられる（「領域の中の法則」か「半径の法則」としても知られる「周囲の法則」となるか）。

有限温度の QCD において、ウィルソンループの熱的期待値は、と閉じ込められたハドロン相と場の閉じ込めの解かれた状態、つまり[[クォークグルーオンプラズマ]]とを識別する。
<!--The invariance of the [[Trace (linear algebra)|trace]] under [[cyclic permutation]]s guarantees that <math>W_C</math> is invariant under [[gauge transformation]]s. Note that the quantity being traced over is an element of the gauge [[Lie group]] and the trace is really the [[character (mathematics)|character]] of this element with respect to one of the infinitely many [[irreducible representation]]s, which implies that the operators <math> A_\mu\,dx^\mu</math>  don't need to be restricted to the "trace class" (thus with purely discrete spectrum), but can be generally hermitian (or mathematically: self-adjoint) as usual. Precisely because we're finally looking at the trace, it doesn't matter which point on the loop is chosen as the initial point. They all give the same value.

Actually, if A is viewed as a [[connection form|connection]] over a [[principal bundle|principal G-bundle]], the equation above really ought to be "read" as the [[parallel transport]] of the identity around the loop which would give an element of the Lie group G.

Note that a path-ordered exponential is a convenient shorthand notation common in physics which conceals a fair number of mathematical operations. A mathematician would refer to the path-ordered exponential of the connection as "the holonomy of the connection" and characterize it by the parallel-transport differential equation that it satisfies.

At T=0, the Wilson loop variable characterizes the [[color confinement|confinement]] or deconfinement of a gauge-invariant quantum-field theory, namely according to whether the variable increases with the ''area'', or alternatively with the ''circumference'' of the loop ("area law", or alternatively "circumferential law" also known as "perimeter law").

In finite-temperature QCD, the thermal expectation value of the Wilson line distinguishes
between the confined "hadronic" phase, and the deconfined state of the field, e.g., the [[quark–gluon plasma]].-->

==参照項目==
* [[回転数 (数学)|巻き付き数]]

==参考文献==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:ういるそんるうふ}}
[[Category:場の量子論]]
[[Category:量子色力学]]
[[Category:物理学のエポニム]]