ウィルソン素数のソースを表示

'''ウィルソン素数'''（ウィルソンそすう、{{Lang-en-short|Wilson prime}}）とは、''p''<sup>2</sup> が (''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1)!&nbsp;+&nbsp;1 を[[約数|割り切る]]ような[[素数]] ''p'' である。ここで "!" は[[階乗]]。任意の素数 ''p'' が (''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1)!&nbsp;+&nbsp;1 を割り切ることはわかっている（[[ウィルソンの定理]]）。名称は[[イングランド人|イングランド]]の数学者{{仮リンク|ジョン・ウィルソン (数学者)|en|John Wilson (mathematician)|label=ジョン・ウィルソン}}にちなむ。 

既知のウィルソン素数は 5, 13, 563 のみである（{{OEIS|id=A007540}}）。もしこれ以外のウィルソン素数が存在すれば、それは 2{{e|13}} より大きくなければならない<ref name="Search">[https://arxiv.org/pdf/1209.3436v2.pdf A Search for Wilson primes] Retrieved on November 2, 2012.</ref>。ウィルソン素数は無限個存在し、さらに[[区間 (数学)|区間]]  [''x'',&nbsp;''y''] に約 log(log(''y'')/log(''x'')) 個存在すると[[予想 (数学)|予想]]されている<ref>[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WilsonPrime The Prime Glossary: Wilson prime]</ref>。

新たなウィルソン素数を発見すべく、コンピュータによる探索が幾度か行われた<ref>{{Cite web | last = McIntosh | first = R. | authorlink = Richard McIntosh | title = WILSON STATUS (Feb. 1999) | work = E-Mail to [[Paul Zimmermann (mathematician)|Paul Zimmermann]] | date = 9 March 2004 | url = http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status | accessdate = 6 June 2011}}</ref><ref>''A search for Wieferich and Wilson primes'', p 443</ref><ref>{{Cite book | last = Ribenboim | first = P. | authorlink = Paulo Ribenboim | last2 = Keller | first2 = W. | title = Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde | publisher = Springer | year = 2006 | location = Berlin Heidelberg New York | page = 241 | language = German | url = https://books.google.com/?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA248&dq=die+welt+der+primzahlen+rodenkirch#v=onepage&q&f=false | isbn = 3-540-34283-4}}</ref>。{{仮リンク|Ibercivis|en|Ibercivis}}[[分散コンピューティング]]にはウィルソン素数の探索も含まれており<ref>[http://www.ibercivis.net/index.php?module=public&section=channels&action=view&id_channel=2&id_subchannel=138 Ibercivis site]</ref>、また mersenneforum.org でも探索の連携が行われている<ref>[http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=16028 Distributed search for Wilson primes] (at mersenneforum.org)</ref>。

==一般化==

=== オーダー ''n'' のウィルソン素数 ===
ウィルソンの定理はより一般に、任意の整数 ''n''&nbsp;&ge;&nbsp;1 と素数 ''p''&nbsp;&ge;&nbsp;''n'' に対し 

:<math>(n-1)!(p-n)!\equiv(-1)^n\  (\bmod p ) </math>

と表現できる（ <math>p-n+k\equiv(-1)(n-k)\  (\bmod p ) </math> だから）。オーダー ''n'' の一般化ウィルソン素数（generalized Wilson prime of order n）とは ''p''<sup>2</sup> が(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)!(''p''&nbsp;&minus;&nbsp;n)!&nbsp;&minus;&nbsp;(&minus;&nbsp;1)<sup>n</sup> を割り切るような素数 ''p'' のことである。

任意の自然数 ''n'' に対し、オーダー ''n'' の一般化ウィルソン素数は無限に存在すると予想されている。

{|class="wikitable"
!''n''
!''p''<sup>2</sup> が(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)!(''p''&nbsp;&minus;&nbsp;n)!&nbsp;&minus;&nbsp;(&minus;&nbsp;1)<sup>n</sup> を<br />割り切るような素数 ''p''
![[OEIS]]
|-
|1
|5, 13, 563, ...
|{{OEIS2C|id=A007540}}
|-
|2
|2, 3, 11, 107, 4931, ...
|{{OEIS2C|id=A079853}}
|-
|3
|7, ...
|
|-
|4
|10429, ...
|
|-
|5
|5, 7, 47, ...
|
|-
|6
|11, ...
|
|-
|7
|17, ...
|
|-
|8
|...
|
|-
|9
|541, ...
|
|-
|10
|11, 1109, ...
|
|-
|11
|17, 2713, ...
|
|-
|12
|...
|
|-
|13
|13, ...
|
|-
|14
|...
|
|-
|15
|349, ...
|
|-
|16
|31, ...
|
|-
|17
|61, 251, 479, ...
|{{OEIS2C|id=A152413}}
|-
|18
|13151527, ...
|
|-
|19
|71, ...
|
|-
|20
|59, 499, ...
|
|-
|21
|217369, ...
|
|-
|22
|...
|
|-
|23
|...
|
|-
|24
|47, 3163, ...
|
|-
|25
|...
|
|-
|26
|97579, ...
|
|-
|27
|53, ...
|
|-
|28
|347, ...
|
|-
|29
|...
|
|-
|30
|137, 1109, 5179, ...
|
|}

オーダー ''n'' の一般化ウィルソン素数の最小値を順に並べた数列は以下のとおりである。この次の項（''n'' = 8）の値は 1.4×10<sup>7</sup> よりも大きいことが分かっている。
:5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ...  （{{OEIS2C|id=A128666}}）

===ニアウィルソン素数===

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="border:0px;text-align:right;" align="right"
|-
! ''p'' !! ''B''
|-
| 1282279 || +20
|-
| 1306817 || −30
|-
| 1308491 || −55
|-
| 1433813 || −32
|-
| 1638347 || −45
|-
| 1640147 || −88
|-
| 1647931 || +14
|-
| 1666403 || +99
|-
| 1750901 || +34
|-
| 1851953 || −50
|-
| 2031053 || −18
|-
| 2278343 || +21
|-
| 2313083 || +15
|-
| 2695933 || −73
|-
| 3640753 || +69
|-
| 3677071 || −32
|-
| 3764437 || −99
|-
| 3958621 || +75
|-
| 5062469 || +39
|-
| 5063803 || +40
|-
| 6331519 || +91
|-
| 6706067 || +45
|-
| 7392257 || +40
|-
| 8315831 || +3
|-
| 8871167 || −85
|-
| 9278443 || −75
|-
| 9615329 || +27
|-
| 9756727 || +23
|-
| 10746881 || −7
|-
| 11465149 || −62
|-
| 11512541 || −26
|-
| 11892977 || −7
|-
| 12632117 || −27
|-
| 12893203 || −53
|-
| 14296621 || +2
|-
| 16711069 || +95
|-
| 16738091 || +58
|-
| 17879887 || +63
|-
| 19344553 || −93
|-
| 19365641 || +75
|-
| 20951477 || +25
|-
| 20972977 || +58
|-
| 21561013 || −90
|-
| 23818681 || +23
|-
| 27783521 || −51
|-
| 27812887 || +21
|-
| 29085907 || +9
|-
| 29327513 || +13
|-
| 30959321 || +24
|-
| 33187157 || +60
|-
| 33968041 || +12
|-
| 39198017 || −7
|-
| 45920923 || −63
|-
| 51802061 || +4
|-
| 53188379 || −54
|-
| 56151923 || −1
|-
| 57526411 || −66
|-
| 64197799 || +13
|-
| 72818227 || −27
|-
| 87467099 || −2
|-
| 91926437 || −32
|-
| 92191909 || +94
|-
| 93445061 || −30
|-
| 93559087 || −3
|-
| 94510219 || −69
|-
| 101710369 || −70
|-
| 111310567 || +22
|-
| 117385529 || −43
|-
| 176779259 || +56
|-
| 212911781 || −92
|-
| 216331463 || −36
|-
| 253512533 || +25
|-
| 282361201 || +24
|-
| 327357841 || −62
|-
| 411237857 || −84
|-
| 479163953 || −50
|-
| 757362197 || −28
|-
| 824846833 || +60
|-
| 866006431 || −81
|-
| 1227886151 || −51
|-
| 1527857939 || −19
|-
| 1636804231 || +64
|-
| 1686290297 || +18
|-
| 1767839071 || +8
|-
| 1913042311 || −65
|-
| 1987272877 || +5
|-
| 2100839597 || −34
|-
| 2312420701 || −78
|-
| 2476913683 || +94
|-
| 3542985241 || −74
|-
| 4036677373 || −5
|-
| 4271431471 || +83
|-
| 4296847931 || +41
|-
| 5087988391 || +51
|-
| 5127702389 || +50
|-
| 7973760941 || +76
|-
| 9965682053 || −18
|-
| 10242692519 || −97
|-
| 11355061259 || −45
|-
| 11774118061 || −1
|-
| 12896325149 || +86
|-
| 13286279999 || +52
|-
| 20042556601 || +27
|-
| 21950810731 || +93
|-
| 23607097193 || +97
|-
| 24664241321 || +46
|-
| 28737804211 || −58
|-
| 35525054743 || +26
|-
| 41659815553 || +55
|-
| 42647052491 || +10
|-
| 44034466379 || +39
|-
| 60373446719 || −48
|-
| 64643245189 || −21
|-
| 66966581777 || +91
|-
| 67133912011 || +9
|-
| 80248324571 || +46
|-
| 80908082573 || −20
|-
| 100660783343 || +87
|-
| 112825721339 || +70
|-
| 231939720421 || +41
|-
| 258818504023 || +4
|-
| 260584487287 || −52
|-
| 265784418461 || −78
|-
| 298114694431 || +82
|-
|}

小さな ''|B|'' に対し[[合同式]] (''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1)! ≡ &minus;1&nbsp;+&nbsp;''Bp'' (mod ''p''<sup>2</sup>) を満たす素数 ''p'' を'''ニアウィルソン素数'''（near-Wilson prime）という。ニアウィルソン素数で ''B''&nbsp;=&nbsp;0 としたものがウィルソン素数である。本節の表は {{10^|6}} から 4{{e|11}} までで ''|B|''&nbsp;&le;&nbsp;100 となる全てのニアウィルソン素数を挙げたものである<ref name="Search"/>。

===ウィルソン数===
'''ウィルソン数'''（Wilson number）は ''W''(''n'') ≡ 0 (mod ''n''<sup>2</sup>) となる自然数 ''n'' である。ここで <math>W(n) =e+ \prod_\stackrel{1 \le k \le n}{\gcd(k,n)=1}{k} </math> であり、定数 ''e'' は ''n'' を法とする[[原始根]]が存在するとき 1 , そうでないとき ''e'' = &minus;1 とする<ref>[[:en:Wilson's theorem#Gauss.27s generalization|Gauss's generalization of Wilson's theorem]]を参照。[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]はウィルソンの定理を一般化し、次を証明した。
:<math>
\prod_{k = 1 \atop \gcd(k,m)=1}^m \!\!k \ \equiv
\begin{cases}
-1      \pmod{m}  & \text{if } m=4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\
\;\;\,1 \pmod{m}  & \text{otherwise}
\end{cases}
</math>
ここで、''p'' は奇数、&alpha; は正整数。剰余が &minus;1 になるための必要十分条件は ''m'' を法とする原始根が存在することである。
</ref>。全ての自然数 ''n'' に対し ''W''(''n'') は ''n'' で割り切れる（この商を一般化[[ウィルソン商]]という（{{OEIS2C|id=A157249}}））。ウィルソン数は
:1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... （{{OEIS2C|id=A157250}}）

と続く。ウィルソン数 ''n'' が素数であるとき、ウィルソン素数である。5{{e|8}} までに13個のウィルソン数が存在する<ref>{{cite journal | doi=10.1090/S0025-5718-98-00951-X |  first1 = Takashi | last1 = Agoh | first2 = Karl | last2 = Dilcher | first3 = Ladislav | last3 = Skula | authorlink3 = Ladislav Skula| title=Wilson quotients for composite moduli | journal=Math. Comput. | volume=67 | issue=222 | pages=843–861 | year=1998 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-222/S0025-5718-98-00951-X/S0025-5718-98-00951-X.pdf}}</ref>。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ヴィーフェリッヒ素数|en|Wieferich prime}}
* {{仮リンク|ウォール–スン–スン素数|en|Wall–Sun–Sun prime}}
* [[ウォルステンホルム素数]]
* [[PrimeGrid]]
* {{仮リンク|合同関係の一覧|en|Table of congruences}}

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite journal | first = N. G. W. H. | last = Beeger | title=Quelques remarques sur les congruences ''r''<sup>''p''−1</sup> ≡&nbsp;1 (mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>) et (''p''&nbsp;−&nbsp;1!)&nbsp;≡&nbsp;−1 (mod p<sup>2</sup>) | journal=[[Messenger of Mathematics|The Messenger of Mathematics]] | volume=43 | pages=72–84 | year=1913–1914}}
* {{cite journal | first = Karl | last = Goldberg | title=A table of Wilson quotients and the third Wilson prime | journal=[[J. London Math. Soc.]]| volume=28 | issue=2 | pages=252–256 | year=1953 | doi=10.1112/jlms/s1-28.2.252 }}
* {{cite book | title=The new book of prime number records | first = Paulo | last = Ribenboim | authorlink=Paulo Ribenboim | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1996 | isbn=0-387-94457-5 | pages=346 }}
* {{cite journal | first = Richard E. | last = Crandall | first2 = Karl | last2 = Dilcher | first3 = Carl | last3 = Pomerance | title=A search for Wieferich and Wilson primes | journal=Math. Comput. | volume=66 | issue=217 | pages=433–449 | year=1997 | doi=10.1090/S0025-5718-97-00791-6 }}
* {{cite book | title=Prime Numbers: A Computational Perspective | first = Richard E. | last = Crandall | first2 = Carl | last2 = Pomerance | publisher=Springer-Verlag | year=2001 | page=29 | isbn=0-387-94777-9 }}
* {{cite journal | first = Erna H. | last = Pearson | title=On the Congruences (''p''&nbsp;−&nbsp;1)! ≡&nbsp;−1 and 2<sup>''p''−1</sup>&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;(mod&nbsp;''p''<sup>2</sup>) | journal=Math. Comput. | volume=17 | pages=194–195 | year=1963 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1963-17-082/S0025-5718-1963-0159780-0/S0025-5718-1963-0159780-0.pdf}}

== 外部リンク ==
* [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WilsonPrime The Prime Glossary: Wilson prime]
* {{MathWorld|urlname=WilsonPrime|title=Wilson prime}}
* [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status Status of the search for Wilson primes]

{{素数の分類}}
{{DEFAULTSORT:ういるそんそすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:素数]]
[[Category:素数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]