ウィーナー＝池原の定理のソースを表示

解析学において、'''ウィーナー＝池原の定理'''（ウィーナー＝いけはらのていり、{{lang-en-short|Wiener-Ikehara theorem}}）とは、関数の漸近挙動に関する[[タウバー型定理]]の一つ<ref name ="montgomery_vaughan_2012"> H. L. Montgomery and R. C. Vaughan (2012), chapter.8</ref><ref name ="korevaar2002">J. Korevaar (2002)</ref>。ウィーナー＝池原のタウバー型定理とも呼ばれる。関数の[[ラプラス＝スティルチェス変換]]の定義域の境界における解析性に関する条件から、元の関数の漸近的性質が得られることを主張する。定理の名は数学者[[ノーバート・ウィーナー]]と、ウィーナーの下で指導を受けた[[池原止戈夫]]に因む。1931年に池原はウィーナーによるタウバー型定理の初期の結果からこの定理を導き、[[素数定理]]の[[エドムント・ランダウ]]による証明法の改良を与えた<ref name ="ikehara1931">S. Ikehara (1931)</ref>。さらにウィーナーは1932年に[[フーリエ変換]]におけるタウバー型定理の論文の中で池原の結果を取り上げるともに、その内容を補完した<ref name ="wiener1932">N. Wiener (1932)</ref>。現在、ウィーナー＝池原のタウバー型定理は素数定理の標準的な証明法の一つであり<ref name ="montgomery_vaughan_2012"></ref>、定理の改良が続けられてきている<ref name ="korevaar19822">J. Korevaar (1982)</ref><ref name ="zagier1994">D. Zagier (1994)</ref>。

== 定理の内容 ==
{{math|&alpha;(''t'')}}を{{math|[0, &infin;)}}で非負、非減少関数であるとし、ラプラス＝スティルチェス変換

:<math> f(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st} d\alpha(t) </math>

は{{math|Re(''s'') &gt; 0}}で収束するとする。このとき、ある定数{{mvar|A}}が存在し、

:<math> g(s)=f(s)-\frac{A}{s-1} </math>

が閉半平面{{math|Re(''s'') &ge; 0}}に連続拡張可能であれば、{{math|''t'' &rarr; +&infin;}}での[[ランダウの記号#一般化と関連用法|漸近的挙動]]として、

:<math> \alpha(t) \sim A e^{t} </math>

が成り立つ<ref name ="montgomery_vaughan_2012"></ref><ref name ="korevaar2002"></ref>。

== 定理の系 ==
[[解析的整数論]]では、次の[[メリン＝スティルチェス変換]]、もしくは[[ディリクレ級数]]に適用した次の系が応用される。

=== メリン＝スティルチェス変換 ===
ラプラス＝スティルチェス変換において、{{math|&alpha;(''t'')}} の代わりに {{math|&alpha;(''e<sup>t</sup>'')}} をとり、{{math|''u''{{=}}''e<sup>t</sup>''}} と変数変換すれば、メリン＝スティルチェス変換に対する定理の系が得られる。

{{math|&alpha;(''u'')}}を{{math|[1, &infin;)}}で非負、非減少関数であるとし、メリン＝スティルチェス変換

:<math> f(s)=\int_{1}^{\infty}u^{-s} d\alpha(u) </math>

は{{math|Re(''s'') &gt; 1}}で収束するとする。このとき、ある定数{{mvar|A}}が存在し、

:<math> g(s)=f(s)-\frac{A}{s-1} </math>

が閉半平面{{math|Re(''s'') &ge; 1}}に連続拡張可能であれば、{{math|''u'' &rarr; +&infin;}}での漸近的挙動として、

:<math> \alpha(u) \sim A u </math>

が成り立つ<ref name ="montgomery_vaughan_2012"></ref><ref name ="korevaar2002"></ref>。

=== ディリクレ級数 ===
数列 {{math|{''a<sub>n</sub>''{{)}}}} から定義される 

:<math> \alpha(t)=\sum_{n \leq e^t}a_n</math>

にラプラス＝スティルチェス変換を行えば、次のディリクレ級数に対する定理の系が得られる。

{{math|''f''(''s'')}}を{{math|''a<sub>n</sub>'' &gt; 0}}を満たす数列 {{math|{''a<sub>n</sub>''{{)}}}} によって、{{math|Re(''s'') &gt; 1}}で定義される次の形のディリクレ級数とする。

:<math> f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s} </math>

このとき、正の定数{{mvar|A}}が存在し、

:<math> g(s)=f(s)-\frac{A}{s-1} </math>

が閉半平面{{math|Re(''s'') &ge; 1}}に連続拡張可能であれば、

:<math> s_n=\sum_{k=1}^na_k </math>

の{{math|''n'' &rarr; +&infin;}}での漸近的挙動として、

:<math> s_n \sim A n </math>

が成り立つ<ref name ="montgomery_vaughan_2012"></ref><ref name ="korevaar2002"></ref>。

同様の結果はエドムント・ランダウによって得られていたが、{{math|''f''(''s'')}} の[[''O''記法|増大条件]]として、ある定数 {{mvar|c}} が存在し、

:<math> f(s)=O(|s|^c) \quad (\operatorname{Re}s \geq 1)</math>

とする仮定を必要としていた。池原はこの条件を緩和し、より一般的にこの結果が成立することを示した<ref name ="ikehara1931"></ref><ref name ="wiener1932"></ref>。

== 素数定理への応用 ==
{{main|素数定理}}
=== 素数定理の主張 ===
素数定理は[[素数計数関数|値 {{mvar|x }} 以下の素数 {{mvar|p}} の個数]]

:<math> \pi (x) =\sum_{p \leq x} 1 </math>

について、

:<math> \pi (x) \sim \frac{x}{\ln{x}} \quad x \to \infty</math>

が成り立つ、またはそれと同値な内容として、[[チェビシェフ関数]]

:<math> \psi (x) =\sum_{p^k \leq x} \ln{p} = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)</math>

に対し、

:<math> \psi (x) \sim x \quad x \to \infty</math>

が成り立つことを述べている。但し、{{math|&Lambda;(''n'')}} は {{math|''n''{{=}}''p<sup>k</sup>''}} ({{mvar|p}} は素数、{{mvar|k}} は1以上の整数)のときは{{math|ln ''p''}}、それ以外はゼロの値をとる[[フォン・マンゴルト関数]]である。

===　証明の概略　===
素数定理は、[[リーマンゼータ関数]] {{math|&zeta;(''s'')}} の[[対数微分]]で定義される

:<math> f (s) =-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n =1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}</math>

にウィーナー＝池原の定理を適用することで示すことができる。実際、{{math|&zeta;(''s'')}} は{{math|Re(''s''){{=}}1}}上で[[零点]]を持たず、かつ {{math|''s''{{=}}1}} での[[留数]]１の１位の[[極 (複素解析)|極]]を除いて、半平面{{math|Re(''s'') &ge; 1}}で[[解析関数|解析的]]である<ref>解析性の結果は関係式<math>\zeta(s)=1+\frac{1}{s-1}+s\int_{1}^{\infty} ([v]-v) v^{-s-1}dv</math>から得られる。（H. L. Montgomery and R. C. Vaughan (2012), chapter.1を参照）</ref>。

よって、

:<math>g(s)=f(s)-\frac{1}{s-1} </math>

は{{math|Re(''s'') &ge; 1}}で解析的であり、ディリクレ級数におけるウィーナー＝池原の定理の系からチェビシェフ関数{{math|''&psi;''(''x'')}}は

:<math> \psi (x) \sim x \quad x \to \infty</math>

を満たす。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* S. Ikehara, "An extension of Landau's theorem in the analytic theory of numbers", ''J. Math. and Phys. M.I.T.'' '''10''' (1931), 1–12. {{doi|10.1002/sapm19311011}}
* J. Korevaar, "A century of complex Tauberian theory", ''Bull. Amer. Math. Soc.'' '''39''' (2002), 475-531. {{doi|10.1090/S0273-0979-02-00951-5}}
* J. Korevaar, "On Newman's quick way to the prime number theorem", ''Math. Intelligencer'' '''4''' (1982), 108-115. {{doi| 10.1007/BF03024240}}
* Hugh L. Montgomery and Robert C. Vaughan, ''Multiplicative Number Theory I: Classical Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) '', Cambridge University Press (2012, reprinted edition) ISBN 978-1107405820
* N. Wiener, "Tauberian theorems",  ''Ann. of Math.'' '''33''' (1932), 1-100. {{doi|10.2307/1968102}}
* D. Zagier, "Newman’s short proof of the prime number theorem", ''Am. Math. Mon.'' '''104''' (1994),  705–708. {{doi|10.2307/2975232}}

== 関連項目 ==
* [[素数定理]]
* [[タウバー型定理]]

{{DEFAULTSORT:ういないけはらのていり}}
[[Category:解析学の定理]]
[[Category:漸近解析]]
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:ノーバート・ウィーナー]]

[[Category:数学に関する記事]]