ウェルチのt検定のソースを表示

{{DISPLAYTITLE:ウェルチの''t''検定}}
{{Expand English|Welch's t-test|date=2024年5月}}
[[統計学]]において、'''ウェルチの''t''検定'''（ウェルチの''t''けんてい、{{lang-en-short|Welch's ''t'' test}}）は、2標本の[[位置の検定]]であり、2つの[[母集団]]が等しい[[期待値|平均]]を持つという仮説を検定するために用いられる。ウェルチ＝アスピン検定（Welch-Aspin Test）とも呼ばれる。[[T検定|スチューデントの''t''検定]]の改良型であり、非等[[分散 (確率論)|分散]]を持つ可能性のある2つの標本に用いることが意図されている<ref>{{Cite journal | last = Welch | first = B. L. | title = The generalization of "Student's" problem when several different population variances are involved | journal = [[Biometrika]] | volume = 34 |issue=1&ndash;2 | pages = 28&ndash;35 | year = 1947 |doi =10.1093/biomet/34.1-2.28 | mr = 19277 }}</ref>。ウェルチの''t''検定は、[[ベーレンス＝フィッシャー問題]]の近似解である。

==式==
ウェルチのt検定は統計量''t''を以下の式によって定義する。
:<math>
t = {\overline{X}_1 - \overline{X}_2 \over \sqrt{ {s_1^2 \over N_1} + {s_2^2 \over N_2} }}\,</math>
<math>\overline{X}_{i}</math>、<math>s_{i}^{2}</math>、<math>N_{i}</math>はそれぞれ<math>i</math><sup>th</sup>の[[標本平均]]、[[不偏分散]]、[[サンプルサイズ]]である。スチューデントの''t''検定とは異なり、分母は推定された[[合併分散]]に基づかない。

この推定分散と関連した[[自由度]]<math>\nu</math>は、[[ウェルチ-サタスウェイトの式]]を用いて近似される。

:<math>
\nu   \approx 
 {{\left( {s_1^2 \over N_1} + {s_2^2 \over N_2}\right)^2 } \over
 {{s_1^4 \over N_1^2 \cdot \nu_1}+{s_2^4 \over N_2^2 \cdot \nu_2}}}={{\left( {s_1^2 \over N_1} + {s_2^2 \over N_2}\right)^2 } \over
 {{s_1^4 \over N_1^2 \cdot \left({N_1-1}\right)}+{s_2^4 \over N_2^2 \cdot \left({N_2-1}\right)}}}
\,
</math>

ここで<math>\nu_i = N_i-1</math>であり、自由度は<math>i</math><sup>th</sup>推定分散と関連している。この自由度の式は、Welch (1938)<ref> {{Cite journal | last = Welch | first = B. L. | title = The significance of the difference between two means when the population variances are unequal | journal = Biometrika | volume = 29 |issue=3&ndash;4 | pages = 350&ndash;362 | year = 1938 |url=http://www.stat.cmu.edu/~fienberg/Statistics36-756/Welch-Biometrika-1937.pdf |doi = 10.1093/biomet/29.3-4.350 }}</ref> の式(9)に見られる。

==統計検定==
''t''および''<math>\nu</math>''が計算されると、これらの統計量は、「2つの母集団の平均は等しい」（[[両側検定]]）という[[帰無仮説]]あるいは「母集団の一方の平均がもう一方よりも大きいあるいは等しい」（片側検定）という帰無仮説を検定するために[[t分布|''t''分布]]と共に用いることができる。具体的には、この検定によって得られる[[p値|''p''値]]は、帰無仮説を棄却あるいは採択するための十分な証拠を与える。

== 出典 ==
{{Reflist}}

==推薦文献==
* Daniel Borcard, ''[http://biol09.biol.umontreal.ca/BIO2041e/Correction_Welch.pdf  Lecture Note Appendix: t-test with Welch correction''], excerpt from Legendre, P. and D. Borcard. ''Statistical comparison of univariate tests of homogeneity of variances''.
* {{cite journal |last=Sawilowsky |first=Shlomo S. |year=2002 |url=http://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1022&context=coe_tbf |title=Fermat, Schubert, Einstein, and Behrens–Fisher: The Probable Difference Between Two Means When &sigma;<sub>1</sub> &ne; &sigma;<sub>2</sub> |journal=Journal of Modern Applied Statistical Methods |volume=1 |number=2 |pages=461-472}}

{{統計学}}

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