ウェーブレットのソースを表示

{{Expand English|date=2023年5月}}
'''ウェーブレット'''（{{lang-en-short|wavelet}}）や'''マザーウェーブレット'''（{{lang-en-short|mother wavelet}}）とは、数学において、局在する波、つまり、有限の長さの波もしくは速やかに減衰する波の事。'''ファーザーウェーブレット'''（{{lang-en-short|father wavelet}}）とは、[[多重解像度解析]]にて使われる、マザーウェーブレット関数とセットで使われるスケーリング関数の事。waveletはwave（波）とlet（小さい）の合成語である。

[[ウェーブレット変換]]・ウェーブレット解析とは、ウェーブレットを用いて変換・解析する事。信号表現は入力信号に合致するようなウェーブレット波形の拡大縮小（スケーリング）・平行移動（シフト）により行われる。より正確には、この信号表現はウェーブレット系列と呼ばれ、これは2乗可積分関数の[[ヒルベルト空間]]における完全[[正規直交系]]の[[基底関数]]集合（[[正規直交基底]]）を用いた線形基底展開である。
<!--In [[mathematics]], '''wavelets''', '''wavelet analysis''', and the '''wavelet transform''' refers to the representation of a signal in terms of a finite length or fast decaying oscillating waveform (known as the '''mother wavelet''').  This waveform is [[Scaling (geometry)|scaled]] and [[Translation (geometry)|translated]] to match the input signal. In formal terms, this representation is a [[wavelet series]], which is the coordinate representation of a [[square integrable]] [[function (mathematics)|function]] with respect to a [[complete]], [[orthonormal]] set of [[basis function]]s for the [[Hilbert space]] of square integrable functions. 
-->

== 歴史 ==
<!--
The development of wavelets can be linked to several separate trains of thought, starting with [[Alfred Haar|Haar]]'s work in the early 20th century. Later work by [[Dennis Gabor]] yielded [[Gabor atom]]s (1946), which are constructed similarly to wavelets, and applied to similar purposes. Notable contributions to wavelet theory can be attributed to [[George Zweig|Zweig]]’s discovery of the continuous wavelet transform in 1975 (originally called the cochlear transform and discovered while studying the reaction of the ear to sound), Pierre Goupillaud, [[Alex Grossman|Grossmann]] and [[Jean Morlet|Morlet]]'s formulation of what is now known as the CWT (1982), Jan-Olov Strömberg's early work on discrete wavelets (1983), [[Ingrid Daubechies|Daubechies]]' orthogonal wavelets with compact support (1988), [[Stephane Mallat|Mallat]]'s multiresolution framework (1989), Nathalie Delprat's time-frequency interpretation of the CWT (1991), Newland's [[harmonic wavelet transform]] (1993) and many others since.
-->
ウェーブレットの発展は、20世紀初頭の[[ハンガリー|ハンガリー人]][[数学|数学者]][[ハール・アルフレッド]]によるいくつかの断片的な考察に基づく。[[ガーボル・デーネシュ]]によるその後の研究で{{仮リンク|ガボール・アトム|en|Gabor atom}}が得られた。ガボール・アトムはウェーブレットと似た形で構成され、似た目的に応用された。ウェーブレット理論への大きな貢献のひとつは、[[1975年]]の[[ジョージ・ツワイク]]による{{仮リンク|連続ウェーブレット変換|en|Continuous wavelet transform}}（初期には cochlear 変換と呼ばれていて、耳の音に対する反応を研究していたときに発見された。）
<ref>http://scienceworld.wolfram.com/biography/Zweig.html Zweig, George Biography on Scienceworld.wolfram.com</ref>
の発見である。

<!-- The word ''wavelet'' is due to [[Jean Morlet|Morlet]] and [[Alex Grossman|Grossman]] in the early [[1980s]]. They used the [[French language|French]] word ''ondelette'', meaning "small wave". A little later it was transformed into English by translating "onde" into "wave", giving wavelet.  The principal difference between the two is the continuous transform operates over every possible scale and translation whereas the discrete uses a specific subset of all scale and translation values.
-->
ウェーブレットの概念は、1975年に[[エルフ・アキテーヌ|エルフ]]で石油探査をしていた[[フランス|フランス人]][[地球物理学|地球物理学者]]{{仮リンク|ジャン・モーレー|en|Jean Morlet}}が発見した。[[1981年]]、モーレーは
[[クロアチア|クロアチア系]][[フランス|フランス人]][[物理学|物理学者]]{{仮リンク|アレックス・グロスマン|en|Alex Grossmann}}との共同研究から{{仮リンク|連続ウェーブレット変換|en|Continuous wavelet transform}}の定式化（[[:en:Pierre Goupillaud|Goupillaud]]）を行なった。彼らは[[フランス語]]で"小さい波"を意味する{{lang|fr|''ondelette''}}という言葉を用いていたが、少し後に英語に翻訳された際に"onde"は"wave"と訳されてウェーブレット({{lang|en|"wavelet"}})という用語が誕生した。

その後のウェーブレット理論における大きな貢献には、[[:en:Jan-Olov Stromberg|Stromberg]]による[[離散ウェーブレット変換]]における初期研究(1983年)、[[イングリッド・ドブシー]]による[[コンパクト台]]を持つ直交ウェーブレット(1988年)、[[:en:Stephane Mallat|Mallat]]による[[多重解像度解析]]に関する提案(1989年)、[[:en:Nathalie Delprat|Delprat]]による連続ウェーブレット変換における時間-周波数変換(1991年)、[[:en:David Edward Newland|Newland]]による{{仮リンク|ハーモニックウェーブレット変換|en|Harmonic wavelet transform}}など、枚挙にいとまがない。

=== 年表 ===
* 1909年: 最初のウェーブレット (Haarによる[[ハールウェーブレット]])
* 1950年代以降: Jean Morlet , Alex Grossman
* 1980年代以降: Yves Meyer, Stephane Mallat, Ingrid Daubechies, Ronald Coifman, Victor Wickerhauser

== ウェーブレット理論のアウトライン ==
<!-- 
Wavelet theory is applicable to several other subjects. All wavelet transforms may be considered to be forms of [[time-frequency representation]] and are, therefore, related to the subject of [[harmonic analysis]]. 
-->
ウェーブレット理論は、いくつかの異なる目的で応用される。
全てのウェーブレット変換は、{{仮リンク|時間周波数表現|en|Time–frequency representation}}であると考えられるが、[[調和解析]]とも関係がある。

<!-- 
Wavelet transforms are broadly classified into the [[discrete wavelet transform]] (DWT) and the [[continuous wavelet transform]] (CWT). 
-->
ウェーブレット変換は、大きく{{仮リンク|連続ウェーブレット変換|en|Continuous wavelet transform}}(CWT)と[[離散ウェーブレット変換]](DWT)に分類される。これらの違いは、連続ウェーブレット変換では可能な全てのスケールとシフトが用いられるのに対して、離散ウェーブレット変換では一部分のみが使われることにある。

<!-- 
The wavelets forming a CWT are subject to [[Werner Heisenberg|Heisenberg]]'s [[uncertainty principle]] and, equivalently, discrete wavelet bases may be considered in the context of other forms of the [[uncertainty principle]].
-->
{{仮リンク|連続ウェーブレット変換|en|Continuous wavelet transform}}は、[[ヴェルナー・ハイゼンベルク|ハイゼンベルク]]の[[不確定性原理]]に支配されている。同様に、離散ウェーブレットにおいても[[不確定性原理]]は考慮されなければならない。

<!-- 
Almost all practically useful ''discrete wavelet transforms'' make use of filterbanks containing [[finite impulse response]] filters. 
-->
多くの場合に有用である[[離散ウェーブレット変換]]は、[[有限インパルス応答]](FIR)フィルタで構成される[[フィルタバンク]]である。

<!-- 
Wavelet transforms are broadly divided into three classes, the continuous wavelet transform, the discretised wavelet transform and multiresolution-based wavelet transforms. 
-->
ウェーブレット変換は３つに分類されることが多い。{{仮リンク|連続ウェーブレット変換|en|Continuous wavelet transform}}、[[離散ウェーブレット変換]]、[[多重解像度解析]](MRA)による離散ウェーブレット変換である。以下、この３つについて解説する。

===連続ウェーブレット変換===
<!--
In the [[continuous wavelet transform]], a given signal of finite energy is projected on a continuous family of frequency bands (or similar subspaces of the [[Lp space|function space]] <math>L^2(\R)</math>), for instance on every frequency band of the form <math>[f,2f]</math> for all positive frequencies ''f>0''. By a suitable integration over all the thus obtained frequency components one can reconstruct the original signal.
-->
{{仮リンク|連続ウェーブレット変換|en|Continuous wavelet transform}}においては、有限なエネルギーを持った信号は、連続な周波数バンドの群（もしくは<math>L^2(\R)</math>[[ヒルベルト空間#ルベーグ空間|関数空間の一部]]) として投影される。得られた周波数成分は、適切な積分によって元の信号を再構成することができる。
<!--
The frequency bands or subspaces are scaled versions of a subspace at scale ''1''. This subspace in turn is in most situations generated by the shifts of one generating function <math>\psi\in L^2(\R)</math>, the ''mother wavelet''. For the example of the scale one frequency band <math>[1,2]</math> this function is  
-->

部分空間の群は、スケール''1''の部分空間を拡大縮小（スケール）して生成されたものである。この部分空間は、１つの関数すなわちマザーウェーブレット<math>\psi\in L^2(\R)</math>をシフトすることによって生成される。
<!--例えば、<math>[1,2]</math>の周波数バンドをもつ関数の例は以下のとおりである。

:<math>\psi(t)=2\,\operatorname{sinc}(2t)-\,\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(2\pi t)-\sin(\pi t)}{\pi t}</math>

これは、正規化された[[Sinc関数]]を用いている。
-->
一般的なマザーウェーブレットの例は以下のとおりである。
{|
| [[Image:Wavelet_-_Meyer.png|thumb|150px|Meyer]]
| [[Image:Wavelet_-_Morlet.png|thumb|150px|Morlet]]
| [[Image:Wavelet_-_Mex_Hat.png|thumb|150px|Mexican Hat]]
|}
<!--
The subspace of scale ''a'' or frequency band <math>[1/a,\,2/a]</math> is generated by the functions (sometimes called ''baby wavelets'')
:<math>\psi_{a,b} (t) = \frac1{\sqrt a }\psi \left( \frac{t - b}{a} \right)</math>,
where ''a'' is positive and defines the scale and ''b'' is any real number and defines the shift. The pair ''(a,b)'' defines a point in the upper halfplane <math>\R_+\times \R</math>. 

The projection of a function ''x'' onto the subspace of scale ''a'' has then the form 
:<math>x_a(t)=\int_\R WT_\phi\{x\}(a,b)\cdot\psi_{a,b}(t)\,db</math> 
with ''wavelet coefficients''
:<math>WT_\phi\{x\}(a,b)=\langle x,\psi_{a,b}\rangle=\int_\R x(t)\overline{\psi_{a,b}(t)}\,dt</math>.

For the analysis of the signal ''x'', one can assemble the wavelet coefficients into a [[scaleogram]] of the signal. -->

スケール''a''の部分空間は、以下の式で生成される。(これは''ベビーウェーブレット''と呼ばれることがあるがあまり一般的ではない)
:<math>\psi_{a,b} (t) = \frac1{\sqrt a }\psi \left( \frac{t - b}{a} \right)</math>
ただし、''a''は正の実数でありスケールを決定する。''b''は任意の実数でありシフトを決定する。''(a,b)''のペアは、<math>\R_+\times \R</math>の上半面において定義される。

関数''x''をスケール''a''の部分空間へ投影すると、以下の式で示される。
:<math>x_a(t)=\int_\R WT_\phi\{x\}(a,b)\cdot\psi_{a,b}(t)\,db</math> 
但し、WTはウェーブレット係数である。
:<math>WT_\phi\{x\}(a,b)=\langle x,\psi_{a,b}\rangle=\int_\R x(t)\overline{\psi_{a,b}(t)}\,dt</math>.

信号''x''の解析のためには、ウェーブレット係数を{{仮リンク|スケーログラム|en|Scaleogram}}にする。

===離散ウェーブレット変換===
{{main|離散ウェーブレット変換}}
全てのウェーブレット係数を使って信号を解析することは実用上不可能である。信号を対応するウェーブレット係数から再構成することは，上半面の離散部分集合さえ取り出せば十分可能だと思うだろう。その一つとして実数パラメータ''a>1''，''b>0''によるアフィン系がある。対応する半面の離散部分集合は，全ての点<math>(a^m, n\,a^m b)</math>を含む（<math>m,n\in\Z</math>）。対応する''ベビーウェーブレット''は以下で与えられる。
:<math>\psi_{m,n}(t)=a^{-m/2}\psi(a^{-m}t-nb)</math>.

式
:<math> x(t)=\sum_{m\in\Z}\sum_{n\in\Z}\langle x,\,\psi_{m,n}\rangle\cdot\psi_{m,n}(t)</math>
による有限エネルギーを持つ任意の信号''x''の再構成のための十分条件は，関数群<math>\{\psi_{m,n}:m,n\in\Z\}</math>が<math>L^2(\R)</math>の{{仮リンク|ベクトル空間のフレーム|en|Frame_of_a_vector_space#Tight_frames|label=タイトフレーム}}を形作ることである。

===多重解像度解析による離散ウェーブレット変換===
{{main|多重解像度解析}}
[[image:Daubechies4-functions.png|thumb|180px|right|D4 wavelet]]
各種あるウェーブレット変換の離散化の全ての方法において、上半面上の各有界矩形領域は有限個の係数のみを持つ。しかし、各係数を求めるためには積分の評価が必要となる。このような数値的な複雑さを避けるために、スケーリング関数（ファーザーウェーブレット）と呼ばれる補助関数 <math>\phi\in L^2(\R)</math> が利用される。このとき ''a'' は整数でなければならない。例えば典型的な係数として ''a=2''、''b=1'' が用いられる。最も有名なファーザー・マザーウェーブレットの組として[[イングリッド・ドブシー|ドブシー]]の[[:en:Daubechies wavelet|4タップウェーブレット]]がある。
<!--
In each instance of the discretised wavelet transform, there are only a finite number of wavelet coefficients for each bounded rectangular region in the upper halfplane. Still, each coefficient requires the evaluation of an integral. To avoid this numerical complexity one needs one auxiliary function, the ''father wavelet'' <math>\phi\in L^2(\R)</math>. Further, one has to restrict ''a'' to be an integer number. A typical choice is ''a=2'' and ''b=1''. The most famous pair of father and mother wavelets is the [[Daubechies wavelets|Daubechies]] 4 tap wavelet.-->

マザー・ファーザーそれぞれのウェーブレットから部分空間
<!-- From the mother and father wavelets one constructs the subspaces  -->
:<math>V_m=\operatorname{span}(\phi_{m,n}:n\in\Z)</math>, where <math>\phi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi(2^{-m}t-n)</math>
と
:<math>W_m=\operatorname{span}(\psi_{m,n}:n\in\Z)</math>, where <math>\psi_{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi(2^{-m}t-n)</math>.
が構成される。これらより、系列
<!-- From these one requires that the sequence -->
:<math>\{0\}\subset\dots\subset V_1\subset V_0\subset V_{-1}\subset\dots\subset L^2(\R)</math>
は <math>L^2(\R)</math> の[[多重解像度解析]]を形成することになり、また部分空間 <math>\dots,W_1,W_0,W_{-1},\dots\dots</math> は上の系列の直交する''差分''、つまり <math>W_m</math> は  <math>V_{m-1}</math> 中にある <math>V_m</math> の直交補空間となる。[[サンプリング定理]]と同様に、sampling distance <math>2^m</math> の空間 <math>V_m</math> は  ''0'' から <math>2^{-m-1}</math>の周波数帯域をほぼカバーすることになる。また <math>W_m</math> は直交補空間として帯域 <math>[2^{-m-1},2^{-m}]</math> を大まかにカバーする。
<!--
forms a [[multiresolution analysis]] of <math>L^2(\R)</math> and that the subspaces <math>\dots,W_1,W_0,W_{-1},\dots\dots</math> are the orthogonal "differences" of the above sequence, that is,
<math>W_m</math> ist the orthogonal complement of <math>V_m</math> inside the subspace <math>V_{m-1}</math>. In analogy to the [[sampling theorem]] one may conclude that the space <math>V_m</math> with sampling distance <math>2^m</math> more or less covers the frequency baseband from ''0'' to <math>2^{-m-1}</math>. As orthogonal complement, <math>W_m</math> roughly covers the band <math>[2^{-m-1},2^{-m}]</math>.
-->

<!--
From those inclusions and orthogonality relations follows the existence of sequences <math>h=\{h_n\}_{n\in\Z}</math> and 
<math>g=\{g_n\}_{n\in\Z}</math> that satisfy the identities
-->
このような包含と直交の関係より，2組の恒等式
:<math>h_n=\langle\phi_{0,0},\,\phi_{1,n}\rangle</math> 
:<math>\phi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} h_n\phi(2t-n)</math>
<!-- and -->
と
:<math>g_n=\langle\psi_{0,0},\,\phi_{1,n}\rangle</math>
:<math>\psi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} g_n\phi(2t-n)</math>
を満たす系列 <math>h=\{h_n\}_{n\in\Z}</math> と <math>g=\{g_n\}_{n\in\Z}</math> が存在することになる。

<!-- 
The second identity of the first pair is a [[Refinable function|refinement equation]] for the father wavelet <math>\phi</math>. 
Both pairs of identities form the basis for the algorithm of the [[fast wavelet transform]].
-->
2番目の恒等式はファーザーウェーブレット <math>\phi</math> の{{仮リンク|細分可能な函数|en|Refinable function|label=洗練条件}}と呼ばれる。これらの恒等関係は{{仮リンク|高速ウェーブレット変換|en|Fast wavelet transform}}アルゴリズムの土台となっている。

== マザーウェーブレット ==
<!--
For practical applications one prefers for efficiency reasons continuously differentiable functions with compact support as mother (prototype) wavelet (functions). However, to satisfy analytical requirements (in the continuous WT) and in general for theoretical reasons one chooses the wavelet functions from a subspace of the [[Lp space|space]] <math>L^1(\R)\cap L^2(\R)</math>. This is the space of [[Lebesgue integration|measurable functions]] that are both absolutely and square [[integrable function|integrable]]: 
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|\, dt <\infty</math> and <math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 \, dt <\infty</math>.
-->
実応用での効率性を考えると、マザー（プロトタイプ）ウェーブレット（関数）はコンパクトサポートの連続微分可能関数であることが望ましい。しかし、（連続ウェーブレット変換における）解析的であることの要求と、理論的な理由から、一般的にウェーブレット関数は [[Lp空間|空間]] <math>L^1(\R)\cap L^2(\R)</math> の部分空間から選ばれる。これは[[絶対値積分可能関数|絶対値積分可能]]かつ[[自乗可積分函数|2乗積分可能]]な[[ルベーグ積分|可測関数]]の空間である。
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|\, dt <\infty</math> and <math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 \, dt <\infty</math>. 

<!--
Being in this space ensures that one can formulate the conditions of zero mean and square norm one:
-->
この関数空間では必ずゼロ平均と二乗ノルムの条件が定式化できる。
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} \psi (t)\, dt = 0</math> （ゼロ平均の条件）
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2\, dt = 1</math> （二乗ノルム正規の条件）

<!--
For <math>\psi</math> to be a wavelet for the [[continuous wavelet transform]] (see there for exact statement), the mother wavelet must satisfy an admissibility criterion (loosely speaking, a kind of half-differentiability) in order to get a stably invertible transform. 
-->
<math>\psi</math> が {{仮リンク|連続ウェーブレット変換|en|Continuous wavelet transform}}（正確な議論はリンク先参照）のウェーブレットであるためには、マザーウェーブレットは安定な逆変換を持つための許容性の規範（簡単に言うとこれは半微分可能性のようなもの）を満たさなければならない。

<!--
For the [[discrete wavelet transform]], one needs at least the condition that the [[wavelet series]] is a representation of the identity in the [[Lp space|space]] <math>L^2(\R)</math>. Most constructions of discrete
WT make use of the [[multiresolution analysis]], which defines the wavelet by a scaling function. This scaling function itself is solution to a functional equation.
-->
[[離散ウェーブレット変換]]における最低限満たさなければならない条件として、[[ウェーブレット系列]]は[[Lp空間]] <math>L^2(\R)</math> 中の単位元でなければならない。離散ウェーブレット変換のほとんどの構成は[[多重解像度解析]]を用いており、この場合ウェーブレットはスケール関数により決定される。このスケール関数自体が汎関数方程式である。

<!--
In most situations it is useful to restrict <math>\psi</math> to be a continuous function with a higher number ''M'' of vanishing moments, i.e. for all integer ''m<M''
-->
多くの場合において <math>\psi</math> をvanishing moments を表すより大きい数字 ''M'' の連続関数、つまり全ての整数 ''m<M'' について以下の式を満たす関数に限定することは有用である。
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} t^m\,\psi (t)\, dt = 0</math>

<!--
The mother wavelet is scaled (or dilated) by a factor of <math>a</math> and translated (or shifted) by a factor of <math>b</math> to give (under Morlet's original formulation):
-->
マザーウェーブレットは、<math>a</math>の因数による拡大縮小（スケール）と、<math>b</math> の因数による平行移動（シフト）により、（Morlet によるオリジナルの定式化のように）以下のように与えられる。

:<math>\psi _{a,b} (t) = {1 \over {\sqrt a }}\psi \left( {{{t - b} \over a}} \right)</math>.

<!--
For the continuous WT, the pair ''(a,b)'' varies over the full half-plane <math>\R_+\times\R</math>; for the discrete WT this pair varies over a discrete subset of it, which is also called ''affine group''.
-->
連続ウェーブレット変換では、''(a,b)'' のペアは全半平面 <math>\R_+\times=R</math> 上で変化する。また離散ウェーブレット変換では、このペアは、''affine群''とも呼ばれる離散部分集合上で変化する。

<!--
These functions are often incorrectly referred to as the basis functions of the (continuous) transform. In fact, as in the continuous Fourier transform, there is no basis in the continuous wavelet transform. Time-frequency interpretation uses a subtly different formulation (after Delprat).
-->
これらの関数はたびたび（連続）変換の基底関数という誤った捉え方をされる。事実、連続フーリエ変換にあるような基底は、連続ウェーブレット変換にはみあたらない。時間周波数解釈では少し違う定式化が使用される（Delpratによる）。

== フーリエ変換との比較 ==
<!--
The wavelet transform is often compared with the [[Fourier transform]], in which signals are represented as a sum of sinusoids.  The main difference is that wavelets are localized in both time and frequency whereas the standard [[Fourier transform]] is only localized in [[frequency]].  The [[Short-time Fourier transform]] (STFT) is also time and frequency localized but there are issues with the frequency time resolution and wavelets often give a better signal representation using [[Multiresolution analysis]].

The discrete wavelet transform is also less computationally [[complexity|complex]], taking O(''N'') time as compared to O(''N'' log ''N'') for the [[fast Fourier transform]] (''N'' is the data size).
-->
ウェーブレット変換は、三角関数の級数表現の[[フーリエ変換]]としばしば比較される。主な違いは、ウェーブレット変換は時間と周波数の両方の成分を局在化するが、標準的な[[フーリエ変換]]は[[周波数]]成分だけを局在化することである。[[短時間フーリエ変換]]も時間と周波数の両方を局在化できるが、時間周波数分解能に問題がある。一方、ウェーブレット変換ではしばしば[[多重解像度解析]]という、より良い表現が用いられる。

また、離散ウェーブレット変換の計算量はO(''N'')であり、[[高速フーリエ変換]]のO(''N'' log ''N'')に比べて小さい(ここで、''N''はデータの大きさである)。
<!--上記原文ではtimeを用いているが、O記法は計算時間ではなく計算量を表す方法なので訳すときは注意されたし。詳細はO記法（ランダウの記号）参照-->

== ウェーブレット関数の定義方法 ==
<!-- There are a number of ways of defining a wavelet (or a wavelet family). -->
ウェーブレット（およびウェーブレット族）の定義の仕方には様々な方法がある。

=== スケーリングフィルター ===
<!--
The wavelet is entirely defined by the scaling filter ''g'' - a low-pass [[finite impulse response]] (FIR) filter of length ''2N'' and sum 1.  In biorthogonal wavelets, separate decomposition and reconstruction filters are defined.
-->
ウェーブレットはもっぱらスケーリングフィルタ ''g'' により定義される。これは長さ ''2N'' で和が 1 となる有限インパルス応答(FIR) の低域通過フィルタである。双直交ウェーブレットでは、分解と再合成のフィルタが別々に決定される。

<!--
For analysis the high pass filter is calculated as the [[quadrature mirror filter|QMF]] of the low pass, and reconstruction filters the time reverse of the decomposition.
-->
分析では、高域通過フィルタは低域通過フィルタの QMF として計算され、再合成フィルタは分解フィルタの時間反転である。

<!--
Daubechies and Symlet wavelets can be defined by the scaling filter.
-->
例えば、{{仮リンク|ドブシー・ウェーブレット|en|Daubechies wavelet}}と{{仮リンク|Symlet|cs|Symlety|label=Symletウェーブレット}}は、スケーリングフィルタで定義することができる。

=== スケーリング関数 ===
<!--
Wavelets are defined by the wavelet function <math>\psi (t)</math> (i.e. the mother wavelet) and scaling function <math>\phi (t)</math> (also called father wavelet) in the time domain.

The wavelet function is in effect a band-pass filter and scaling it for each level halves its bandwidth.  This creates the problem that in order to cover the entire spectrum an infinite number of levels would be required.  The scaling function filters the lowest level of the transform and ensures all the spectrum is covered.  See [http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/wavelets/wavelets.html#note7] for a detailed explanation.

For a wavelet with compact support, <math>\phi (t)</math> can be considered finite in length and is equivalent to the scaling filter ''g''.

Meyer wavelets can be defined by scaling functions
-->
ウェーブレットは、ウェーブレット関数<math>\psi(t)</math>(マザーウェーブレット)とスケーリング関数<math>\phi(t)</math>(ファーザーウェーブレット)から定義される。

実際のところウェーブレット関数は帯域通過フィルターであり、それぞれの水準の半分の帯域幅でスケールされている。これによって、全てのスペクトルを扱うために無限の水準が必要となる問題が生じる。スケーリング関数を用いれば、最低限の水準で全てのスペクトルを扱うことができる。詳細な説明は[http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/wavelets/wavelets.html#note7]にある。

コンパクトサポートをもつウェーブレットでは、<math>\phi (t)</math>は有限長であり、スケーリングフィルター''g''と同等である。

例えば、[[:en:Yves Meyer|Meyer]]ウェーブレットは、スケーリング関数で定義することができる。

=== ウェーブレット関数 ===
<!-- The wavelet only has a time domain representation as the wavelet function <math>\psi (t)</math>. -->
ウェーブレットはウェーブレット関数<math>\psi (t)</math>のような時間領域表現をただ一つ持つ。

<!-- 
For instance, [[Mexican hat wavelet]]s can be defined by a wavelet function. See a list of a few Continuous wavelets.
-->
例えば、[[:en:Mexican hat wavelet|Mexican hat wavelet]]は、ウェーブレット関数で定義することができる。
いくつかの{{仮リンク|連続ウェーブレット|en|Continuous wavelet}}のリストを参照。

== 応用 ==
<!-- Generally, the DWT is used for [[data compression]] whereas the CWT is used for [[signal analysis]]. Consequently, the DWT is commonly used in engineering and computer science and the CWT is most often used in scientific research. Wavelet transforms are now being adopted for a vast number of different applications, often replacing the conventional [[Fourier transform]]. Many areas of physics have seen this paradigm shift, including [[molecular dynamics]], [[ab initio calculations]], [[astrophysics]], [[Density matrix|density-matrix]] localisation, seismic geophysics, [[optics]], [[turbulence]] and [[quantum mechanics]].  Other areas seeing this change have been [[image processing]], blood-pressure, heart-rate and [[ECG]] analyses, [[デオキシリボ核酸|DNA]] analysis, [[protein]] analysis, [[climatology]], general [[signal processing]], [[speech recognition]], [[computer graphics]] and [[multifractal analysis]]. In [[computer vision]] and [[image processing]], the notion of [[scale-space]] representation and Gaussian derivative operators is regarded as a canonical multi-scale representation.-->

大まかに、離散ウェーブレット変換は[[データ圧縮]]に使われる一方で、連続ウェーブレット変換は[[信号解析]]に使われる。その結果として、離散ウェーブレット変換は工学と計算機科学において一般的に使われ、連続ウェーブレット変換は科学研究においてもっともよく使われている。ウェーブレット変換は、現在非常に多くの様々な用途に、しばしば従来の[[フーリエ変換]]を置き換えて使用されている。[[分子動力学]]、[[第一原理計算]]、[[宇宙物理学]]、[[密度行列]]局在、地震地球物理学、[[光学]]、[[乱流]]そして[[量子力学]]を含む、物理学の多くの分野でこの[[パラダイムシフト]]が起こった。この変化が起こった他の分野は[[画像処理]]、血圧、心拍や[[ECG]]の解析、[[デオキシリボ核酸|DNA]]解析、[[タンパク質]]解析、[[気候学]]、一般的な[[信号処理]]、[[音声認識]]、[[コンピュータグラフィックス]]そして{{仮リンク|マルチフラクタル・システム|en|Multifractal system|label=マルチフラクタル解析}}である。[[コンピュータビジョン]]や[[画像処理]]において、{{仮リンク|スケール空間|en|Scale space|label=尺度空間}}表現やガウス微分オペレータの概念は正規化された多重解像度表現の一つであると考えられている。

=== JPEG 2000 ===
<!--
One use of wavelets is in data compression. Like several other transforms, the wavelet transform can be used to transform raw data (like images), then encode the transformed data, resulting in effective compression. [[JPEG 2000]] is an image standard that uses wavelets.  For details see [[wavelet compression]].-->
ウェーブレットはデータ圧縮の分野でも用いられる。デジタル信号処理における他の時間-周波数変換と同様、ウェーブレット変換は(たとえば画像などの)圧縮されていないデータに対し適用でき、その後圧縮処理がなされることで、結果として効果的なデータ圧縮を実現できる。JPEG 2000はウェーブレットを利用した画像形式の一つである。ウェーブレットを利用したデータ圧縮については[[ウェーブレット圧縮]]を参照されたい。

[[JPEG 2000]]で使われているウェーブレットは双直交ウェーブレットであり、ウェーブレット系列の座標は異なる2つの基底関数集合を用いて計算されるため、注意を要する。

== 様々なウェーブレット変換 ==
異なる用途に応じて、多くの[[ウェーブレット変換]]が存在する。以下にその一例を列挙するが、すべてのウェーブレット変換についてのリストは{{仮リンク|ウェーブレット変換の一覧|en|List of wavelet-related transforms}}を参照されたい。

* {{仮リンク|連続ウェーブレット変換|en|Continuous wavelet transform}} (CWT)
* [[離散ウェーブレット変換]] (DWT)
* {{仮リンク|高速ウェーブレット変換|en|Fast wavelet transform}} (FWT)
* {{仮リンク|ウェーブレットパケット分解|en|Wavelet packet decomposition}} (WPD)
* {{仮リンク|定常ウェーブレット変換|en|Stationary wavelet transform}} (SWT)

== ウェーブレット一覧 ==
=== 離散ウェーブレット ===
* [[Beylkin]] (18)
* [[:en:Coiflet|Coiflet]] (6, 12, 18, 24, 30)
* {{仮リンク|ドブシー・ウェーブレット|en|Daubechies wavelet}} (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
* {{仮リンク|Cohen-Daubechies-Feauveauウェーブレット|en|Cohen-Daubechies-Feauveau wavelet}} (CDF N/PまたはDaubechies双直交ウェーブレットとして参照されることがある)
* [[ハールウェーブレット]]
* {{仮リンク|Symlet|cs|Symlety|label=Symletウェーブレット}}

=== 連続ウェーブレット<!--[[Continuous wavelet]]s--> ===
* [[:en:Mexican hat wavelet|Mexican hat wavelet]]
* [[:en:Hermitian wavelet|Hermitian wavelet]]
* [[:en:Hermitian hat wavelet|Hermitian hat wavelet]]
* [[:en:Complex mexican hat wavelet|Complex mexican hat wavelet]]
* [[:en:Morlet wavelet|Morlet wavelet]]
* [[:en:Modified Morlet wavelet|Modified Morlet wavelet]]
* [[:en:Beta wavelet|Beta wavelet]]
* [[:en:Hilbert-Hermitian wavelet|Hilbert-Hermitian wavelet]]

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|Chirplet変換|en|Chirplet transform}}
* {{仮リンク|Curvelet|en|Curvelet}}
* {{仮リンク|ウェーブレット木|en|Wavelet Tree}} - [[データ構造]]
* [[フィルタバンク]]
* [[非整数次フーリエ変換]]
* [[多重解像度解析]]
* [[短時間フーリエ変換]]
* {{仮リンク|スケール空間|en|Scale space|label=尺度空間}}
* [[超広帯域]]ラジオはウェーブレットを送信する。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2018年1月}}
=== 英文参考図書 ===
* Paul S. Addison, ''The Illustrated Wavelet Transform Handbook'', [[Institute of Physics]], 2002, ISBN 0-7503-0692-0
* [[Ingrid Daubechies]], ''Ten Lectures on Wavelets'', Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-274-2
* P. P. Vaidyanathan, ''Multirate Systems and Filter Banks'', Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-605718-7
* Mladen Victor Wickerhauser, ''Adapted Wavelet Analysis From Theory to Software'', A K Peters Ltd, 1994, ISBN 1-56881-041-5
* Gerald Kaiser, ''A Friendly Guide to Wavelets'', Birkhauser, 1994, ISBN 0-8176-3711-7

=== 日本語参考図書 ===
* チャールズ K.チュウイ、桜井明（訳）、新井勉（訳）：「ウェーブレット入門」、東京電機大学出版局、ISBN 4-501-52060-4（1993年5月20日）。
* 榊原進：「ウェーブレットビギナーズガイド」、東京電機大学出版局、ISBN 4-501-52270-4（1995年5月20日）。
*J.J.ベネディット（著）、M.W.フレージャー（著）、山口昌哉（訳）、山田道夫（訳） 「ウェ－ブレット：理論と応用」、シュプリンガー・フェアラーウ東京、ISBN 4-431-70681-X (1995年12月12日)。
* 齋藤兆古：「Mathematicaによるウェーブレット変換」、朝倉書店、ISBN 4-254-22139-8 (1996年9月5日)。FD付き。
* 芦野隆一、山本鎮男：「ウェーブレット解析 - 誕生・発展・応用」、共立出版、ISBN 4-320-01537-1（1997年6月5日）。
* チャールズ K.チュウイ、桜井明（訳）、新井勉（訳）：「ウェーブレット応用：信号解析のための数学的手法」、東京電機大学出版局、ISBN 4-501-52780-3(1997年12月10日)。
* 齋藤兆古：「ウェーブレット変換の基礎と応用 - Mathematicaで学ぶ」、朝倉書店、ISBN 4-254-22141-X (1998年4月10日)。FD付き。
* G.ストラング、T.グエン、高橋進一（訳）、池原雅章（訳）：「ウェーブレット解析とフィルタバンク I 入門編」、培風館、ISBN 4-563-00594-0（1999年7月10日）。
* G.ストラング、T.グエン、高橋進一（訳）、池原雅章（訳）：「ウェーブレット解析とフィルタバンク II 応用編」、培風館、ISBN 4-563-00595-9（1999年7月12日）。
* 中野宏毅、山本鎮男、吉田靖夫：「ウェーブレットによる信号処理と画像処理」、共立出版、ISBN 4-320-08549-3（1999年8月15日）。
* 新井康平：「ウェーブレット解析の基礎理論」、森北出版、ISBN 4-627-07511-1（2000年11月24日）．
* 前田肇、佐野昭、貴家仁志、原普介：「ウェーブレット変換とその応用」、朝倉書店、ISBN 4-254-20943-6 (2001年1月15日)。
* G.G.ウォルター、榊原進（訳）、萬代武史（訳）、芦野隆一（訳）：「ウェーヴレットと直交関数系」、東京電機大学出版局、ISBN 4-501-61870-1(2001年4月20日)。
* 謝哀潔、鈴木武：「ウェーブレットと確率過程入門」、内田老鶴圃、ISBN 4-7536-0120-X (2002年3月20日)。
* B.B.ハバード著、山田道夫（訳）、西野操（訳）：「ウェーブレット入門」、朝倉書店、ISBN 4-254-22146-0 (2003年2月20日)。
* I. ドブシー、山田道夫（訳）、佐々木文夫（訳）：「ウェーブレット10講」（原題 Ten Lectures on Wavelets）、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-70870-7 (2003年11月26日)。
* Paul S. Addison、新誠一（訳）、中野和司（監訳）：「図説 ウェーブレット変換ハンドブック」、朝倉書店、ISBN 4-254-22148-7(2005年5月20日)。
* 電気学会編：「ウェーブレット解析の産業応用」、朝倉書店、ISBN 4-254-22042-1 (2005年9月30日)。
* 新井仁之：「ウェーブレット」、共立出版、ISBN 978-4-320-01698-9（2010年1月15日）。
* 一條博:「MATLAB/SCILABによる　ウェーブレット信号解析入門」、秀和システム、ISBN 978-4-7980-3616-8（2012年12月28日）。
* 山田道夫、萬代武史、芦野隆一：「応用のためのウェーブレット」、共立出版、シリーズ応用数理第5巻、ISBN 978-4-320-01954-6（2016年1月25日）。

== 外部リンク ==
* [http://www.wavelet.org Wavelet Digest]
* [http://wavelets.ens.fr/ENSEIGNEMENT/COURS/UCSB/index.html Course on Wavelets given at UC Santa Barbara, 2004]
* [http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html The Wavelet Tutorial by Polikar]
* [http://herbert.the-little-red-haired-girl.org/en/software/wavelet/ OpenSource Wavelet C Code]
* [http://www.isye.gatech.edu/~brani/wp/kidsA.pdf Wavelets for Kids (PDF file)] (introductory)
* [http://www.cosy.sbg.ac.at/~uhl/wav.html Link collection about wavelets]
* [http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/wavelets/wavelets.html A really friendly guide to wavelets]
* [http://sine.ni.com/nips/cds/view/p/lang/en/nid/1395 Advanced Signal Processing Toolkit] - Commercial software from [[National Instruments]] for wavelet-based analysis and processing in [[LabVIEW]]

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