ウォリス積のソースを表示

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[[数学]]において、'''ウォリス積''' (Wallis' product) とは無限積
:<math> 
\prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1}\right)
= \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \cdot \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \cdot \frac{6\cdot6}{5\cdot7}  \cdot \frac{8\cdot8}{7\cdot9} \cdots
</math>
のことであり、この値は {{pi}}/2 に等しい。これを'''ウォリスの公式'''という<ref>[http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html Wolfram Mathworld: Wallis Formula]</ref>。

== ウォリスの公式の証明 ==
[[平方根]]を取ることより[[ウォリス積分]]より得られる極限の式に帰着されるが、別の観点として、[[複素解析|複素関数]]としての[[三角関数の無限乗積展開]]
:<math>\frac{\pi z}{\sin \pi z} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2 -z^2}</math>
から自然に導出される。この式に ''z'' = 1/2 を代入すると
:<math>\frac{\pi}{2} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}</math>
を得る。

== 円周率の計算 ==
[[円周率]]に収束する無限積として、[[根号]]を含まず計算しやすいが、収束はとても遅く<ref>[[#ベックマン2006|ベックマン 2006]], pp. 213&ndash;214, 339.</ref>、実用的ではない。
{{See also|円周率の歴史#17世紀}}

== 関連項目 ==
*[[ジョン・ウォリス]]
*[[ウォリス積分]]
*[[スターリングの近似]]

== 出典 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
|author = ペートル・ベックマン
|authorlink = ペートル・ベックマン
|others = [[田尾陽一]]・[[清水韶光]]訳
|year = 2006
|month = 4
|title = {{π}}の歴史
|publisher= 筑摩書房
|series = ちくま学芸文庫
|isbn = 4-480-08985-3
|url = http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480089854/
|ref = ベックマン2006
}}

{{デフォルトソート:うおりすせき}}
[[Category:解析学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:円周率]]
[[Category:数学のエポニム]]