ウォルステンホルム素数のソースを表示

[[数論]]における'''ウォルステンホルム素数'''（ウォルステンホルムそすう、{{Lang-en-short|Wolstenholme prime}}）とは、強い形の{{仮リンク|ウォルステンホルムの定理|en|Wolstenholme's theorem}}を満たすような特別な形をした[[素数]]のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 ''p'' において ''p&minus;1'' までの[[調和数|逆数の和]]を表す分数の分子は ''p''{{sup|2}} を因数にもつことは知られている。この分数の分子が ''p''{{sup|3}} の因数をもつ素数の事である。名称は[[19世紀]]にこの定理を初めて記述した数学者{{仮リンク|ジョセフ・ウォルステンホルム|en|Joseph Wolstenholme}}にちなむ。

ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つ[[フェルマーの最終定理]]との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。

既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（{{OEIS|A088164}}）。10<sup>9</sup> 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない<ref>{{MathWorld|urlname=WolstenholmePrime|title=Wolstenholme prime}}</ref>。

==定義==
ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。

===二項係数による定義===
素数 ''p''&nbsp;>&nbsp;7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という<ref>{{cite web | url = http://www.johndcook.com/binomial_coefficients.html | title = Binomial coefficients | first = J. D. | last = Cook | accessdate = 21 December 2010}}</ref>。
:<math>{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^4}</math>
ここで左辺は[[二項係数]]。

一方ウォルステンホルムの定理によれば、''p''&nbsp;>&nbsp;3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。
:<math>{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}</math>

===ベルヌーイ数による定義===
素数 ''p'' は、[[ベルヌーイ数]] ''B''<sub>''p''−3</sub> の分子を割り切るときウォルステンホルム素数という{{sfn|Clarke|Jones|2004|p=553}}{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}{{sfn|Zhao|2008|p=25}}。よってウォルステンホルム素数は[[正則素数|非正則素数]]の部分集合である。

===非正則素数による定義===
{{Main|正則素数}}
素数 ''p'' は、(''p'', ''p''–3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数という{{sfn|Johnson|1975|p=114}}{{sfn|Buhler|Crandall|Ernvall|Metsänkylä|1993|p=152}}。

===調和数による定義===
素数 ''p'' は、[[調和数 (発散列)|調和数]] <math>H_{p-1}</math> を既約分数で表したときの分子が ''p''<sup>3</sup> で割り切れるときウォルステンホルム素数という{{sfn|Zhao|2007|p=18}}。

==研究とその現状==
ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった<ref>Selfridge and Pollack published the first Wolstenholme prime in {{Harvnb|Selfridge|Pollack|1964|p=97}} (see {{Harvnb|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}).</ref>。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表された{{sfn|Ribenboim|2004|p=23}}。

1.2{{e|7}} までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数はなく{{sfn|Zhao|2007|p=25}}、この範囲は徐々に広げられた。具体的には2{{e|8}}以下（McIntosh, 1995年）{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}、2.5{{e|8}}以下（Trevisan & Weber, 2001年）{{sfn|Trevisan|Weber|2001|p=283–284}}、{{10^|9}}以下{{sfn|McIntosh|Roettger|2007|p=2092}}、{{10^|11}}以下（Booker et al., 2022年）{{Sfn|Booker|Hathi|Mossinghoff|Trudgian|2022}}。

==ウォルステンホルム素数の個数の予想==
ウォルステンホルム素数は無限個存在すると予想されている。また[[素数定理]]から ''x'' 以下のウォルステンホルム素数の個数は約 ''ln ln x'' 個（ ''ln'' は[[自然対数]]）だと予想されている。素数 ''p''&nbsp;≥&nbsp;5 に対し'''ウォルステンホルム商''' は
: <math>W_p {{=}} \frac{{2p-1 \choose p-1}-1}{p^3}</math>
と定義される。明らかに、''p'' がウォルステンホルム素数であることと ''W''<sub>''p''</sub>&nbsp;≡&nbsp;0&nbsp;(mod&nbsp;''p'') であることは同値である{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}。数値計算からは、''W''<sub>''p''</sub> を ''p''で割った余りは {0, 1, ..., ''p''–1} 上ランダムに分布することが示唆されている{{sfn|McIntosh|1995|p=387}}。

==関連項目==
* {{仮リンク|ヴィーフェリッヒ素数|en|Wieferich prime}}
* {{仮リンク|ウォール–スン–スン素数|en|Wall–Sun–Sun prime}}
* [[ウィルソン素数]]
* {{仮リンク|合同関係の一覧|en|Table of congruences}}
* {{仮リンク|ウォルステンホルムの定理|en|Wolstenholme's theorem}}
* {{仮リンク|ウォルステンホルム数|en|Wolstenholme number}} - ウォルステンホルム素数と混同しないこと

==脚注==
{{Reflist|colwidth=30em}}

==参考文献==
* {{Citation | last1=Selfridge | first1=J. L. | last2=Pollack | first2=B. W. | title=Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000 | year=1964 | journal=Notices of the American Mathematical Society | volume=11 | pages=97}}
* {{Citation | last1=Johnson | first1=W. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants | year=1975 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=29 | issue=129 | pages=113–120 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf | doi=10.2307/2005468}} {{webarchive|url=https://webcitation.org/5v79AhVZp}}
* {{Citation | last1=Buhler | first1=J. | last2=Crandall | first2=R. | last3=Ernvall | first3=R. | last4=Metsänkylä | first4=T. | title=Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million | year=1993 | journal=[[Mathematics of Computation]] | volume=61 | issue=203 | pages=151–153 | url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf | doi=10.2307/2152942}} {{webarchive|url=https://webcitation.org/5uBfEhNBI}}
* {{Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | title=On the converse of Wolstenholme's Theorem | year=1995 | journal=[[Acta Arithmetica]] | volume=71 | pages=381–389 | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf}} {{webarchive|url=https://webcitation.org/5u5TTjyoj}}
* {{Citation | last1=Trevisan | first1=V. | last2=Weber | first2=K. E. | title=Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem | year=2001 | journal=Matemática Contemporânea | volume=21 | pages=275–286 | url=http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1}} {{webarchive|url=https://webcitation.org/5usC3fNXN}}
* {{Citation | author1-link=Paulo Ribenboim | last1=Ribenboim | first1=P. | title=The Little Book of Bigger Primes | location=New York | publisher=Springer-Verlag New York, Inc. | year=2004 | isbn=0-387-20169-6 |chapter=Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime}} {{webarchive|url=https://webcitation.org/5uTrtgMk3}}
* {{Citation | last1=Clarke | first1=F. | last2=Jones | first2=C. | title=A Congruence for Factorials | year=2004 | journal=Bulletin of the London Mathematical Society | volume=36 | pages=553–558 | url=http://blms.oxfordjournals.org/content/36/4/553.full.pdf | doi=10.1112/S0024609304003194 | issue=4}} {{webarchive|url=https://webcitation.org/5vRE6GbVK}}
* {{Citation | last1=McIntosh | first1=R. J. | last2=Roettger | first2=E. L. | title=A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes | year=2007 | journal=Mathematics of Computation | volume=76 | pages=2087–2094 | doi=10.1090/S0025-5718-07-01955-2 | url=http://www.ams.org/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf| bibcode=2007MaCom..76.2087M }} {{webarchive|url=https://webcitation.org/5usE0UWhy}}
* {{Citation | last1=Zhao | first1=J. | title=Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p<sup>5</sup> variations of Lucas' theorem | year=2007 | journal=Journal of Number Theory | volume=123 | pages=18–26 | doi=10.1016/j.jnt.2006.05.005 | url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf}}{{webarchive|url=https://webcitation.org/5uBfrPYe8}}
* {{Citation | last1=Zhao | first1=J. | title=Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums | year=2008 | journal=International Journal of Number Theory | volume=4 | issue=1 | pages=73–106 | url=http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf | doi=10.1142/s1793042108001146}} {{webarchive|url=https://webcitation.org/5uXu6BHu7}}
* {{Cite journal2|language=en|last=Booker|first=Andrew R.|last2=Hathi|first2=Shehzad|last3=Mossinghoff|first3=Michael J.|last4=Trudgian|first4=Timothy S.|title=Wolstenholme and Vandiver primes|journal=The Ramanujan Journal|publisher=Springer|volume=58|issue=3|pages=913–941|date=2022|doi=10.1007/s11139-021-00438-3}}

==さらに詳しく==
* {{Citation | last1=Babbage | first1=C. | title=Demonstration of a theorem relating to prime numbers | journal=The Edinburgh Philosophical Journal | volume=1 | year=1819 | pages=46–49 | url=https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 |ref=}}
* {{Citation | last1=Krattenthaler | first1=C. | last2=Rivoal | first2=T. | title=On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II | year=2009 | journal=Communications in Number Theory and Physics | volume=3 | issue=  | arxiv=0907.2578 |ref=| bibcode=2009arXiv0907.2578K }}
* {{Citation | last1=Wolstenholme | first1=J. | title=On Certain Properties of Prime Numbers | year=1862 | journal=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics | volume=5 | pages=35–39 | url=https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35#v=onepage&q&f=false |ref=}}

==外部リンク==
* Caldwell, Chris K. [http://primes.utm.edu/glossary/xpage/Wolstenholme.html Wolstenholme prime] （"The Prime Glossary"より）
* McIntosh, R. J. [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status Wolstenholme Search Status as of March 2004] （e-mailは[[Paul Zimmermann (mathematician)|Paul Zimmermann]]まで）
* Bruck, R. [http://imperator.usc.edu/~bruck/research/stirling/ Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients]
* Conrad, K. [http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/padicharmonicsum.pdf The ''p''-adic Growth of Harmonic Sums] （2つのウォルステンホルム素数を含む興味深い結果）

{{素数の分類}}
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